Mathematisches Denken und Arbeiten

oder x ∈ z. Im Falle z = x widerspricht die Menge M := {x} = {z} dem Fundierungsaxiom,
denn z ∈ x ∩ M. Im Falle x ∈ z widerspricht die Menge M := {x, z} dem Fundierungsaxiom,
denn z ∈ x ∩ M und x ∈ z ∩ M. Daher ist die Annahme falsch, und es gilt z ∈ y. Entsprechend
folgt y ⊆ x. Somit gilt schließlich x = y.
Wegen x ∈ S(x) gibt es keine Menge x, für die S(x) = ∅ gilt.
Ganze Zahlen definiert man als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen und rationale
Zahlen als Äquivalenzklassen gewisser Paare ganzer Zahlen. Die mengentheoretische
Konstruktion der reellen Zahlen ist subtiler.
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Schreibt man mathematische Gedanken und Resultate auf, so ist es unabdingbar, dass man sich
klar ausdrückt. So klar, dass ein Leser die Argumentation nachvollziehen kann. Dies bedeutet,
dass die verwendeten Begriffe erklärt werden und dass die Argumentationskette logisch aufgebaut
ist.
Standardbegriffe und Notationen, die häufig vorkommen, müssen in aller Regel nicht erklärt
werden. Dies gilt z.B. für die Zahlbereiche Z, Q, R und C; im Falle der natürlichen Zahlen, muss
man allerdings sagen ob 0 ∈ N gelten soll oder nicht; der Gebrauch ist hier nicht einheitlich.
Die Notation
f : M → N, x ↦→ f(x)
für eine Funktion (oder Abbildung) ist auch allgemein üblich und Bedarf keiner Erklärung. Wir
haben (andeutungsweise) gesehen, wie Zahlen und Funktionen mengentheoretisch verstanden
werden. Für den alltäglichen Umgang mit diesen Konzepten spielt dies keine Rolle; aber es
illustriert die Tatsache, dass die Mengenlehre Grundlage der modernen Mathematik ist.
Neue oder weniger geläufige Begriffe müssen explizit definiert werden. Beispielsweise haben
wir in den Definitionen 1.1 und 3.2 Eigenschaften von Funktionen eingeführt, nämlich streng
monoton steigend bzw. nach oben beschränkt. Diese Definitionen sind durch Anschauung motiviert.
Eine geometrische Eigenschaft einer Funktion ist ihre Krümmung. Wie definiert man die
Krümmung? Anschaulich ist dies klar: Liegt jede Sekante des Graphen oberhalb des Graphen,
dann heißt die Funktion nach links gekrümmt oder konvex. Die Sekante zwischen zwei Punkten
P 0 = (x 0 , y 0 ) und P 1 = (x 1 , y 1 ) des Graphen ist die Verbindungsstrecke zwischen diesen
Punkten:
[P 0 , P 1 ] = {(x, y) | x 0 ≤ x ≤ x 1 ∧ y = x − x 0
x 1 − x 0
y 1 + y 0 }
= {(1 − t)P 0 + tP 1 ∈ R 2 | 0 ≤ t ≤ 1}
Jetzt können wir eine präzise Definition aussprechen.
10.1 Definition. Sei f : I → R eine auf einem Intervall I ⊆ R definierte Funktion. Dann heißt
f nach strikt konvex, wenn für alle x 0 , x 1 ∈ I mit x 0 < x 1 gilt:
∀0 < t < 1 : f((1 − t)x 0 + tx 1 ) < (1 − t)f(x 0 ) + tf(x 1 ).
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