Mathematisches Denken und Arbeiten
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oder x ∈ z. Im Falle z = x widerspricht die Menge M := {x} = {z} dem F<strong>und</strong>ierungsaxiom,<br />
denn z ∈ x ∩ M. Im Falle x ∈ z widerspricht die Menge M := {x, z} dem F<strong>und</strong>ierungsaxiom,<br />
denn z ∈ x ∩ M <strong>und</strong> x ∈ z ∩ M. Daher ist die Annahme falsch, <strong>und</strong> es gilt z ∈ y. Entsprechend<br />
folgt y ⊆ x. Somit gilt schließlich x = y.<br />
Wegen x ∈ S(x) gibt es keine Menge x, für die S(x) = ∅ gilt.<br />
Ganze Zahlen definiert man als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen <strong>und</strong> rationale<br />
Zahlen als Äquivalenzklassen gewisser Paare ganzer Zahlen. Die mengentheoretische<br />
Konstruktion der reellen Zahlen ist subtiler.<br />
10 <strong>Mathematisches</strong> <strong>Denken</strong> <strong>und</strong> <strong>Arbeiten</strong><br />
Schreibt man mathematische Gedanken <strong>und</strong> Resultate auf, so ist es unabdingbar, dass man sich<br />
klar ausdrückt. So klar, dass ein Leser die Argumentation nachvollziehen kann. Dies bedeutet,<br />
dass die verwendeten Begriffe erklärt werden <strong>und</strong> dass die Argumentationskette logisch aufgebaut<br />
ist.<br />
Standardbegriffe <strong>und</strong> Notationen, die häufig vorkommen, müssen in aller Regel nicht erklärt<br />
werden. Dies gilt z.B. für die Zahlbereiche Z, Q, R <strong>und</strong> C; im Falle der natürlichen Zahlen, muss<br />
man allerdings sagen ob 0 ∈ N gelten soll oder nicht; der Gebrauch ist hier nicht einheitlich.<br />
Die Notation<br />
f : M → N, x ↦→ f(x)<br />
für eine Funktion (oder Abbildung) ist auch allgemein üblich <strong>und</strong> Bedarf keiner Erklärung. Wir<br />
haben (andeutungsweise) gesehen, wie Zahlen <strong>und</strong> Funktionen mengentheoretisch verstanden<br />
werden. Für den alltäglichen Umgang mit diesen Konzepten spielt dies keine Rolle; aber es<br />
illustriert die Tatsache, dass die Mengenlehre Gr<strong>und</strong>lage der modernen Mathematik ist.<br />
Neue oder weniger geläufige Begriffe müssen explizit definiert werden. Beispielsweise haben<br />
wir in den Definitionen 1.1 <strong>und</strong> 3.2 Eigenschaften von Funktionen eingeführt, nämlich streng<br />
monoton steigend bzw. nach oben beschränkt. Diese Definitionen sind durch Anschauung motiviert.<br />
Eine geometrische Eigenschaft einer Funktion ist ihre Krümmung. Wie definiert man die<br />
Krümmung? Anschaulich ist dies klar: Liegt jede Sekante des Graphen oberhalb des Graphen,<br />
dann heißt die Funktion nach links gekrümmt oder konvex. Die Sekante zwischen zwei Punkten<br />
P 0 = (x 0 , y 0 ) <strong>und</strong> P 1 = (x 1 , y 1 ) des Graphen ist die Verbindungsstrecke zwischen diesen<br />
Punkten:<br />
[P 0 , P 1 ] = {(x, y) | x 0 ≤ x ≤ x 1 ∧ y = x − x 0<br />
x 1 − x 0<br />
y 1 + y 0 }<br />
= {(1 − t)P 0 + tP 1 ∈ R 2 | 0 ≤ t ≤ 1}<br />
Jetzt können wir eine präzise Definition aussprechen.<br />
10.1 Definition. Sei f : I → R eine auf einem Intervall I ⊆ R definierte Funktion. Dann heißt<br />
f nach strikt konvex, wenn für alle x 0 , x 1 ∈ I mit x 0 < x 1 gilt:<br />
∀0 < t < 1 : f((1 − t)x 0 + tx 1 ) < (1 − t)f(x 0 ) + tf(x 1 ).<br />
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