Mathematisches Denken und Arbeiten

Die leere Menge und die n-elementigen Mengen (n ∈ N) heißen endliche Mengen. Die leere
Menge hat keine Elemente; man setzt daher |∅| = 0.
8.3 Satz. Sei A eine endliche Menge. Dann gilt |P(A)| = 2 |A| .
Beweis. Wegen P(∅) = {∅} gilt |P(∅)| = 1 = 2 0 . Ist f : A → B bijektiv, dann ist auch
F : P(A) → P(B),
M ↦→ f(M)
eine bijektive Abbildung; denn durch N ↦→ f −1 (N) ist die Umkehrabbildung von F gegeben.
(Wir setzen f(∅) = ∅.) Da die Verkettung bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist, genügt es
zu zeigen, dass für alle n ∈ N gilt:
E(n) : |P({1, . . . , n})| = 2 n .
Induktionsanfang: P({1}) = {∅, {1}} ist 2-elementig. Somit ist E(1) wahr.
Induktionsschritt: Setze voraus, dass E(n) wahr ist. Dann gibt es eine bijektive Abbildung
f : {1, . . . , 2 n } → P({1, . . . , n}).
Wir haben folgende Induktionsbehauptung zu zeigen:
E(n + 1) : |P({1, . . . , n + 1})| = 2 n+1 .
Zur Abkürzung setzen wir N m := {1, . . . , m}. Sei M ∈ P(N n+1 ), d.h. M ⊆ N n+1 . Falls
n + 1 /∈ M, dann ist M ∈ P(N n ). Falls n + 1 ∈ M, dann ist M = M ′ ∪ {n + 1} mit
M ′ := M \ {n + 1} ∈ P(N n ). Durch
g(2k) = f(k),
g(2k − 1) = f(k) ∪ {n + 1},
k ∈ {1, . . . , 2 n }, wird eine Abbildung g : N 2 n+1 → P(N n+1 ) definiert. Nach obigen Überlegungen,
und weil f surjektiv ist, ist g surjektiv. Da f injektiv ist, ist auch g injektiv. Damit ist
die Induktionsbehauptung bewiesen und der Induktionsbeweis komplett.
Endliche Summen von reellen Zahlen a j ∈ R führt man auf die Addition von je zwei Zahlen
zurück:
a 1 + a 2 + a 3 := (a 1 + a 2 ) + a 3 ,
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 := (a 1 + a 2 + a 3 ) + a 4 = ((a 1 + a 2 ) + a 3 ) + a 4 ,
a 1 + a 2 + · · · + a n := (a 1 + · · · + a n−1 ) + a n .
Man verwendet meist das Summensymbol:
n∑
a j := ( n−1 ∑ )
a j + an ,
j=1 j=1
1∑
a j := a 1 .
j=1
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