Mathematisches Denken und Arbeiten

7.13 Beispiel. Die Addition zweier reellwertiger Funktionen f, g : R → R kann man als eine
Verkettung schreiben:
(f + g)(x) = (a ◦ (f × g)(x) = f(x) + g(x),
wobei a : R 2 → R, (x, y) → x + y die Addition von Zahlen ist.
Injektivität und Surjektivität einer Funktion kann man als Aussagen über die Lösbarkeit von
Gleichungen interpretieren. Sie sind andererseits notwendige Voraussetzungen für die Existenz
von Umkehrfunktionen.
7.14 Satz. Seien f : A → B und g : B → A mit g ◦f = id A . Dann ist f injektiv und g surjektiv.
Beweis. Injektivität von f: Seien x 1 , x 2 ∈ A mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Dann folgt x 1 = x 2 aus:
x 1 = id A (x 1 ) = (g ◦ f)(x 1 ) = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = · · · = x 2 .
Surjektivität von g: Sei a ∈ A. Setze b = f(a) ∈ B. Dann ist a = g(b), denn g(b) = (g◦f)(a) =
a.
7.15 Definition. Sei f : A → B eine Abbildung. Ist g : B → A eine Abbildung mit g ◦f = id A
und f ◦ g = id B , dann heißt g eine Umkehrabbildung von f.
7.16 Beispiel. Der natürliche Logarithmus ln : R + → R ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
7.17 Satz. Eine Abbildung f : A → B besitzt genau dann eine Umkehrabbildung wenn f
bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist eindeutig und wird mit f −1 bezeichnet.
Beweis. Aus Satz 7.14 folgt die Bijektivität von f, falls f eine Umkehrabbildung besitzt. Zum
Beweis der anderen Richtung der Äquivalenz sei f bijektiv. Die Relation
f −1 := {(y, x) ∈ B × A | (x, y) ∈ f}
ist rechtseindeutig, da f linkseindeutig (injektiv) ist. Da f surjektiv ist, existiert zu jedem y ∈ B
ein x ∈A mit y = f(x), also (y, x) ∈ f −1 . Es folgt, dass f −1 eine auf B definierte Abbildung
ist. Weiter gilt
denn f ist injektiv. Schließlich gilt noch
da f surjektiv und rechtseindeutig ist.
f −1 ◦ f = {(x, y) | ∃z ∈ B : (x, z) ∈ f ∧ (y, z) ∈ f}
= {(x, x) | x ∈ A} = id A ,
f ◦ f −1 = {(x, y) | ∃z ∈ B : (z, x) ∈ f ∧ (z, y) ∈ f}
= {(y, y) | y ∈ C} = id B ,
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