Mathematisches Denken und Arbeiten

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(ii) Die positive Wurzel aus einer positiven Zahl ergibt eine Funktion g :]0, ∞[→]0, ∞[, x ↦→ √ x. Durch x ↦→ ± √ x ist keine Funktion definiert, da die Funktionswerte nicht eindeutig bestimmt sind. (iii) Die Sinusfunktion sin : R → R. (iv) f : R → R, f(x) = { sin x x , falls x ≠ 0, 1, falls x = 0. (v) Eine Funktion f : R → R, deren Graphen man nicht skizzieren kann: f(x) = 1 n falls x eine rationale Zahl ungleich Null ist, die als vollständig gekürzter Bruch x = m n mit m, n ∈ Z, n > 0 darstellbar ist. (vi) Sei q ∈ N, q > 1. Definiere Z q wie im Beispiel 6.9(ii). Durch f : Z → Z q , x ↦→ [x] ist eine Funktion definiert. (vii) Die Addition reeller Zahlen ist eine Abbildung: R 2 → R, (x, y) ↦→ x + y. (viii) Bezeichne F die Menge aller Funktionen f : R → R und D = {f ∈ F | f ist differenzierbar} die Menge aller differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Ableitung d : D → F , f ↦→ f ′ eine Abbildung. Die Begriffe Abbildung und Funktion sind zwar synonym; es ist aber oft so, dass der Begriff der Funktion bevorzugt verwendet wird, wenn der Bildbereich ein Körper ist. Ist der Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen, dann spricht man meist von einer Folge statt einer Abbildung. Wir haben Funktionen in traditioneller Weise als Zuordnungen eingeführt. Mit dem Begriff Zuordnung verbindet man eine Anschauung; er ist aber als Begriff von vornherein genauso wenig definiert wie der der Funktion. Dank der Mengenlehre kann man Abbildungen und Funktionen als gewisse Relationen definieren. 7.2 Definition. Eine Abbildung (oder Funktion) von einer Menge A in eine Menge B ist eine nichtleere Relation f ⊆ A × B, welche rechtseindeutig ist, d.h. es gilt: ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ f : x 1 = x 2 =⇒ y 1 = y 2 Man nennt D f = {x ∈ A | ∃y ∈ B : (x, y) ∈ f} den Definitionsbereich von f. Ist D f = A, dann heißt f eine auf A definierte Abbildung. Man schreibt f : A → B und y = f(x) bedeutet (x, y) ∈ f. Die mengentheoretische Definition einer Funktion macht also keinen Unterschied zwischen einer Funktion und ihrem Graphen (= Teilmenge von A × B). 7.3 Beispiele. Die folgenden Abbildungen sind fundamental. (i) Die identische Abbildung id A : A → A, x ↦→ x ist durch die Diagonale id A = {(x, x) | x ∈ A} gegeben. 22
(ii) Die Projektion p 1 : A × B → B, (a, b) ↦→ a auf den ersten Faktor eines kartesischen Produktes ist wie folgt gegeben: p 1 = {((a, b), a) | a ∈ A, b ∈ B} ⊆ (A × B) × A. Analog ist die Projektion auf den zweiten Faktor definiert. Für Abbildungen f : A → B sind folgende Fragen von Interesse. Wir ein Wert höchstens einmal angenommen? Ist jedes Element in B Wert von fß 7.4 Definition. Eine Abbildung f : A → B heißt injektiv, wenn sie linkseindeutig ist, d.h., wenn gilt ∀x 1 , x 2 ∈ A : f(x 1 ) = f(x 2 ) =⇒ x 1 = x 2 . Sie heißt surjektiv, wenn gilt ∀b ∈ B∃a ∈ A : b = f(a). Sie heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Man nennt f(A) := {f(x) | x ∈ A} den Wertebereich von f : A → B. Hiermit gilt: f ist genau dann surjektiv, wenn f(A) = B gilt. 7.5 Beispiele. (i) Projektionen sind surjektiv. Die Projektion p A : A × B → A, (a, b) ↦→ a ist genau dann injektiv, wenn B einelementig ist. (ii) Die Identität ist bijektiv. (iii) Die Funktion f : N → N, n ↦→ n 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv. (iv) Die Funktion f : Z → Z, n ↦→ n 2 ist weder injektiv noch surjektiv. (v) Die Funktion f : [0, 2] → [0, 4], x ↦→ x 2 ist bijektiv. Die Surjektivität folgt aus der Tatsache, dass man aus jeder positiven reellen Zahl eine Wurzel ziehen kann. Für reellwertige Funktionen stellt die Analysis Hilfsmittel bereit für die Untersuchung von Funktionen. 7.6 Satz. Streng monoton steigende (oder fallende) Funktionen sind injektiv. Beweis. Sei f : D ⊆ R → R streng monoton steigend. Seien x 1 , x 2 ∈ D mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Zu zeigen ist: x 1 = x 2 . Annahme x 1 ≠ x 2 . Dann ist x 1 < x 2 oder x 2 < x 1 . Ist x 1 < x 2 , dann ist f(x 1 ) < f(x 2 ) wegender strengen Monotonie. Dies widerspricht der Voraussetzung f(x 1 ) = f(x 2 ). Ebenso führt x 2 < x 1 auf einen Widerspruch. Somit ist die Annahme falsch, und der Satz ist bewiesen. Zusammen mit dem Satz 1.3 erhalten wir: 7.7 Folgerung. Sei I ein Intervall. Sei f : I → R differenzierbar mit (überall) positiver Ableitung. Dann ist f injektiv. 7.8 Beispiele. (i) Die Exponentialfunktion exp : R → R, x ↦→ e x ist injektiv, denn (e x ) ′ = e x > 0. 23
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