Mathematisches Denken und Arbeiten

(ii) Die positive Wurzel aus einer positiven Zahl ergibt eine Funktion g :]0, ∞[→]0, ∞[, x ↦→
√ x. Durch x ↦→ ±
√ x ist keine Funktion definiert, da die Funktionswerte nicht eindeutig
bestimmt sind.
(iii) Die Sinusfunktion sin : R → R.
(iv) f : R → R,
f(x) =
{
sin x
x
, falls x ≠ 0,
1, falls x = 0.
(v) Eine Funktion f : R → R, deren Graphen man nicht skizzieren kann: f(x) = 1 n falls
x eine rationale Zahl ungleich Null ist, die als vollständig gekürzter Bruch x = m n
mit
m, n ∈ Z, n > 0 darstellbar ist.
(vi) Sei q ∈ N, q > 1. Definiere Z q wie im Beispiel 6.9(ii). Durch f : Z → Z q , x ↦→ [x] ist
eine Funktion definiert.
(vii) Die Addition reeller Zahlen ist eine Abbildung: R 2 → R, (x, y) ↦→ x + y.
(viii) Bezeichne F die Menge aller Funktionen f : R → R und
D = {f ∈ F | f ist differenzierbar}
die Menge aller differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Ableitung d : D → F , f ↦→ f ′
eine Abbildung.
Die Begriffe Abbildung und Funktion sind zwar synonym; es ist aber oft so, dass der Begriff
der Funktion bevorzugt verwendet wird, wenn der Bildbereich ein Körper ist. Ist der Definitionsbereich
die Menge der natürlichen Zahlen, dann spricht man meist von einer Folge statt einer
Abbildung.
Wir haben Funktionen in traditioneller Weise als Zuordnungen eingeführt. Mit dem Begriff
Zuordnung verbindet man eine Anschauung; er ist aber als Begriff von vornherein genauso wenig
definiert wie der der Funktion. Dank der Mengenlehre kann man Abbildungen und Funktionen
als gewisse Relationen definieren.
7.2 Definition. Eine Abbildung (oder Funktion) von einer Menge A in eine Menge B ist eine
nichtleere Relation f ⊆ A × B, welche rechtseindeutig ist, d.h. es gilt:
∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ f : x 1 = x 2 =⇒ y 1 = y 2
Man nennt D f = {x ∈ A | ∃y ∈ B : (x, y) ∈ f} den Definitionsbereich von f. Ist D f = A,
dann heißt f eine auf A definierte Abbildung. Man schreibt f : A → B und y = f(x) bedeutet
(x, y) ∈ f.
Die mengentheoretische Definition einer Funktion macht also keinen Unterschied zwischen
einer Funktion und ihrem Graphen (= Teilmenge von A × B).
7.3 Beispiele. Die folgenden Abbildungen sind fundamental.
(i) Die identische Abbildung id A : A → A, x ↦→ x ist durch die Diagonale id A = {(x, x) |
x ∈ A} gegeben.
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