Mathematisches Denken und Arbeiten

(ii) Sei A eine Menge. Sei P ⊂ A, P ≠ ∅. Setze Q = A \ P . Zeige, dass
(P × P ) ∪ (Q × Q)
eine Äquivalenzrelation auf A ist.
(iii) Sei q ∈ N, q > 1. Definiere Z q = Z/ ∼ q wie im Beispiel 6.9(ii). Dort wurde eine die
Multiplikation [x] · [y] := [xy] eingeführt, und es wurde gezeigt, dass diese wohldefiniert
ist.
(a) Zeige, dass für [x], [y] ∈ Z q folgende Addition sinnvoll definiert ist:
[x] + [y] := [x + y] ∈ Z q .
(b) Für welche x und y gilt [x] + [y] = [0]?
(c) Aus der linearen Algebra ist der Begriff des Körpers bekannt. Unter welchen Voraussetzungen
an q ist Z q mit obiger Addition und Multiplikation ein Körper?
(d) Wie könnte man die Schreibweise im Umgang mit Elementen von Z q vereinfachen?
(iv) Für einen Punkt (x, y) ∈ R 2 der Koordinatenebene bezeichnet
‖(x, y)‖ := √ x 2 + 4y 2
einen Abstand vom Koordinatenursprung (0, 0), wobei die Koordinatenachsen unterschiedlich
skaliert sind.
(a) Zeige, dass durch
(x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) : ⇐⇒ ‖(x, y)‖ = ‖(x ′ , y ′ )‖
auf R 2 eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
(b) Skizziere die Äquivalenzklassen.
(c) Die Faktormenge R 2 / ∼ kann man mit dem Intervall [0, ∞[ identifizieren. Wie?
(d) Ist durch
(x, y) ≤ (x ′ , y ′ ) : ⇐⇒ ‖(x, y)‖ ≤ ‖(x ′ , y ′ )‖
eine partielle Ordnung auf R 2 gegeben?
7 Funktionen
Funktionen oder Abbildungen gehören zu den wichtigsten Objekten der Mathematik. Eine Funktion
f von einer Menge A in eine Menge B ordnet jedem Element aus A genau ein Element aus
B zu. Man schreibt:
f : A → B, x ↦→ f(x).
Man nennt A den Definitionsbereich und B den Bildbereich von f. Sind A, B ⊆ R, dann
veranschaulicht man f in vielen Fällen durch seinen Graphen.
7.1 Beispiele. Wir betrachten einige Beispiele für Abbildungen.
(i) Die Quadratfunktion f : R → R, x ↦→ x 2 . Sein Graph ist die durch y = x 2 gegebene
Normalparabel in der xy-Ebene.
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