Mathematisches Denken und Arbeiten

werden Schulkenntnisse über den Umgang mit Zahlen und Funktionen vorausgesetzt. Außerdem
wird elementare Mengennotation benutzt; auf den Umgang mit Mengen wird im Verlaufe der
Vorlesung noch ausführlicher eingegangen.
1.1 Definition. Eine Funktion f : D → R heißt streng monoton steigend, wenn für alle x 1 , x 2 ∈
D mit x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) < f(x 2 ).
Eine Funktion veranschaulicht man sich – falls möglich – durch seinen Graphen (Schaubild)
in der xy-Koordinatenebene. Die Bedeutung der obigen Definition illustrieren Skizzen von Graphen
einiger geeigneter Funktionen.
1.2 Definition. Eine Teilmenge I ⊆ R heißt ein Intervall, wenn sie mindestens zwei Punkte
enthält und wenn für a, b ∈ I und z ∈ R mit a < z < b folgt: z ∈ I.
Für reelle Zahlen a < b hat man die Intervalle
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b},
]a, b[ := {x ∈ R | a < x < b}.
Das erste Intervall heißt abgeschlossen, das zweite offen. Es gibt noch weitere Intervalltypen; R
ist auch ein Intervall. Teilmengen von R, die keine Intervalle sind, heißen unzusammenhängend.
(Auch dies ist eine Definition.)
Bei der Kurvendiskussion der Schulmathematik tritt u.A. die Aufgabe auf, die Monotoniebereiche
einer gegebenen Funktion zu bestimmen. Meist untersucht man differenzierbare Funktionen.
Dann kann man die Differentialrechnung verwenden, beispielsweise das folgende Resultat.
1.3 Satz. Sei I ein Intervall. Sei f : I → R differenzierbar mit positiver Ableitung. Dann ist f
streng monoton steigend.
Wir setzen hier voraus, dass die Differenzierbarkeit und der Begriff der Ableitung bereits
eingeführt wurden. Präzise Definitionen hierfür werden in der Analysis 1 gegeben. Uns sollen
hier die aus der Schule bekannten Konzepte genügen.
Für den Beweis des Satzes müssen wir uns auf Vorarbeiten abstützen, die in einer Vorlesung
über Analysis erst nach mehreren Wochen erbracht sind.
1.4 Satz (Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R differenzierbar. Dann existiert ein z ∈]a, b[ mit
f(b) − f(a)
b − a
= f ′ (z). (1.1)
Der Mittelwertsatz wird geometrisch illustriert durch Sekanten und dazu parallele Tangenten
an den Graphen der Funktion.
Beweis von Satz 1.3. Seien x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 . Es ist zu zeigen, dass gilt: f(x 1 ) < f(x 2 ).
Da I ein Intervall ist, gilt [x 1 , x 2 ] ⊆ I. Wir wenden den Mittelwertsatz an mit a = x 1 und
b = x 2 , und wir erhalten eine Zwischenstelle z wie in (1.1). Wegen f ′ (z) > 0 und x 1 < x 2
haben wir
f(x 2 ) − f(x 1 ) = f ′ (z)(x 2 − x 1 ) > 0.
Somit ist f(x 1 ) < f(x 2 ).
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