Mathematisches Denken und Arbeiten
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Die Menge aller Äquivalenzklassen ist eine neue Menge, die Faktormenge (oder der Faktorraum)<br />
von A modulo ∼:<br />
A/ ∼:= {C a | a ∈ A} = {a/ ∼| a ∈ A}.<br />
Für das durch ein Element a ∈ A definierte Element in A/ ∼ sind außer C a oder a/ ∼ auch<br />
Bezeichnungen wie [a] oder ȧ gebräuchlich. Wie schreiben meist [a] ∈ A/ ∼.<br />
6.9 Beispiele. Hier sind Beispiele für Äquivalenzrelationen, ihre Äquivalenzklassen <strong>und</strong> Faktormengen.<br />
(i) Die im Beispiel 6.2(iv) definierte Relation<br />
x ∼ y ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − x = 2πk<br />
ist eine Äquivalenzrelation. Markiert man auf dem Umfang eines kreisförmigen Rades mit<br />
Radius 1 einen Punkt <strong>und</strong> rollt dann das Rad die reelle Achse entlang, dann berührt der<br />
Punkt jeden Punkt einer (durch die Lage des Punktes ausgewählten) Äquivalenzklasse<br />
C a = {a + 2πk | k ∈ Z} =: {a} + 2πZ.<br />
Den Faktorraum kann man mit der Kreislinie S 1 (gleich Umfangskreis des Rades) identifizieren.<br />
Dieser rein mengentheoretisch definierten Kreislinie S 1 fehlt noch eine Zuordnung<br />
ihrer geometrischen Eigenschaften.<br />
(ii) Sei 1 < q ∈ Z. Auf Z erhalten wir eine Äquivalenzrelation durch<br />
x ∼ q y ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − x = kq.<br />
Man sagt auch, dass x congruent y modulo q ist. Die zu x ∈ Z gehörige Äquivalenzklasse<br />
ist<br />
[x] = {x + kq ∈ Z | k ∈ Z} ∈ Z q .<br />
Dabei schreiben wir, wie es üblich ist, Z q für den Faktorraum Z/ ∼ q . Wir können auf Z q<br />
auf folgende Weise eine Multiplikation definieren<br />
[x] · [y] := [xy].<br />
Diese Multiplikation können wir aber erst dann als sinnvoll anerkennen, wenn Folgendes<br />
– die Wohldefiniertheit – gezeigt wurde:<br />
(<br />
([x] = [x ′ ]) ∧ ([y] = [y ′ ]) ) =⇒ ([xy] = [x ′ y ′ ])<br />
Dass dies gilt, folgt aus<br />
(<br />
(x ′ = x + kq) ∧ (y ′ = y + jq) ) =⇒ (x ′ y ′ = xy + lq),<br />
wobei l = xj + yk + kjq ∈ Z. Analog definiert man die Addition.<br />
(iii) Auf der Menge aller Dreiecke in der Ebene hat man mit der Kongruenz <strong>und</strong> der Ähnlichkeit<br />
zwei verschiedene Äquivalenzrelationen.<br />
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