Mathematisches Denken und Arbeiten

Die Menge aller Äquivalenzklassen ist eine neue Menge, die Faktormenge (oder der Faktorraum)
von A modulo ∼:
A/ ∼:= {C a | a ∈ A} = {a/ ∼| a ∈ A}.
Für das durch ein Element a ∈ A definierte Element in A/ ∼ sind außer C a oder a/ ∼ auch
Bezeichnungen wie [a] oder ȧ gebräuchlich. Wie schreiben meist [a] ∈ A/ ∼.
6.9 Beispiele. Hier sind Beispiele für Äquivalenzrelationen, ihre Äquivalenzklassen und Faktormengen.
(i) Die im Beispiel 6.2(iv) definierte Relation
x ∼ y ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − x = 2πk
ist eine Äquivalenzrelation. Markiert man auf dem Umfang eines kreisförmigen Rades mit
Radius 1 einen Punkt und rollt dann das Rad die reelle Achse entlang, dann berührt der
Punkt jeden Punkt einer (durch die Lage des Punktes ausgewählten) Äquivalenzklasse
C a = {a + 2πk | k ∈ Z} =: {a} + 2πZ.
Den Faktorraum kann man mit der Kreislinie S 1 (gleich Umfangskreis des Rades) identifizieren.
Dieser rein mengentheoretisch definierten Kreislinie S 1 fehlt noch eine Zuordnung
ihrer geometrischen Eigenschaften.
(ii) Sei 1 < q ∈ Z. Auf Z erhalten wir eine Äquivalenzrelation durch
x ∼ q y ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − x = kq.
Man sagt auch, dass x congruent y modulo q ist. Die zu x ∈ Z gehörige Äquivalenzklasse
ist
[x] = {x + kq ∈ Z | k ∈ Z} ∈ Z q .
Dabei schreiben wir, wie es üblich ist, Z q für den Faktorraum Z/ ∼ q . Wir können auf Z q
auf folgende Weise eine Multiplikation definieren
[x] · [y] := [xy].
Diese Multiplikation können wir aber erst dann als sinnvoll anerkennen, wenn Folgendes
– die Wohldefiniertheit – gezeigt wurde:
(
([x] = [x ′ ]) ∧ ([y] = [y ′ ]) ) =⇒ ([xy] = [x ′ y ′ ])
Dass dies gilt, folgt aus
(
(x ′ = x + kq) ∧ (y ′ = y + jq) ) =⇒ (x ′ y ′ = xy + lq),
wobei l = xj + yk + kjq ∈ Z. Analog definiert man die Addition.
(iii) Auf der Menge aller Dreiecke in der Ebene hat man mit der Kongruenz und der Ähnlichkeit
zwei verschiedene Äquivalenzrelationen.
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