Mathematisches Denken und Arbeiten

Wir befassen uns zunächst mit Äquivalenzrelationen. Ein Beispiel einer solchen ist in 6.2(iv)
gegeben. Man verwendet Äquivalenzrelationen, um Objekte als gleich anzusehen, falls sie sich
nur in unwesentlichen Aspekten unterscheiden. Äquivalenzrelationen werden oft mit ∼, ∼ = oder
≡ bezeichnet. Eine Äquivalenzrelation ∼⊆ A 2 auf A zerlegt A in disjunkte Teilmengen, die
Äquivalenzklassen
C a = {x ∈ A | x ∼ a}, a ∈ A.
(In [Dei10] wird C a mit a/ ∼ bezeichnet.) Wegen der Reflexivität ist C a ≠ ∅ für jedes a ∈ A.
6.5 Satz. Aus C a ∩ C b ≠ ∅ folgt C a = C b .
Beweis. Es gelte C a ∩ C b ≠ ∅. Wähle ein Element c ∈ C a ∩ C b .
Wir haben zu zeigen: C a = C b . Wir zeigen zuerst, dass C a ⊆ C b gilt. Sei dazu x ∈ C a , also
x ∼ a. Da c ∈ C a ist, gilt c ∼ a. Wegen der Symmetrie von ∼ folgt a ∼ c. Mit der Transitivität
erhält man weiter x ∼ c. Wegen c ∈ C b gilt c ∼ b. Mit der Transitivität erhalten wir schließlic
x ∼ b, also x ∈ C b .
Die Inklusion C b ⊆ C a beweist man genauso. Aus C a ⊆ C b und C b ⊆ C a folgt C a = C b .
6.6 Folgerung. Es gilt C a ∩ C b ≠ ∅ ⇐⇒ C a = C b .
Eine Äquivalenzrelation zerlegt eine Menge in nichtleere, disjunkte Teilmengen, die Äquivalenzklassen:
A = ⋃ {C a | a ∈ A}.
6.7 Definition. Eine Zerlegung (oder Partition) einer Menge A ist ein Mengensystem Z ⊂
P(A), für das gilt:
(i) ∅ ∉ Z,
(ii) ∀Z 1 , Z 2 ∈ Z : Z 1 ∩ Z 2 ≠ ∅ =⇒ Z 1 = Z 2 ,
(iii) A = ⋃ Z.
Umgekehrt definiert eine Zerlegung eine Äquivalenzrelation.
6.8 Satz. Sei Z ⊆ P(A) eine Zerlegung einer gegebenen Menge A. Dann ist
∼:= {(x, y) ∈ A 2 | ∃Z ∈ Z : x, y ∈ Z}
eine Äquivalenzrelation auf A. Die Äquivalenzklassen von ∼ sind genau die Elemente der Zerlegung
Z.
Beweis. Reflexivität: Sei x ∈ A = ∪Z. Es gibt also ein Z ∈ Z mit x ∈ Z; folglich ist x ∼ x.
Symmetrie: Es gelte x ∼ y, d.h. es gibt ein Z ∈ Z mit x, y ∈ Z. Nach Definition von ∼ (und
der Kommutativität des Junktors ∧) gilt dann auch y ∼ x. Transitivität: Es gelte x ∼ y und
y ∼ z; d.h. es gibt Z 1 , Z 2 ∈ Z, sodass x, y ∈ Z 1 und y, z ∈ Z 2 gilt. Wegen y ∈ Z 1 ∩ Z 1 ist
Z 1 ∩ Z 1 ≠ ∅, folglich Z 1 = Z 2 nach Definition von Zerlegungen. Somit ist x, z ∈ Z 1 , also
x ∼ z.
Sei Z ∈ Z. Da Z nichtleer ist existiert ein a ∈ Z. Nach Definition von Äquivalenzklassen ist
Z = C a .
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