Mathematisches Denken und Arbeiten

(iv) Die Beziehung xRy mit
R = {(x, y) ∈ R 2 | ∃k ∈ Z : y − x = 2πk}
drückt aus, dass sich die Zahlen x und y nur durch ganzzahlige Vielfache von 2π unterscheiden.
Diese Relation hat unter anderem die Eigenschaft der Transitivität, d.h. aus xRy
und yRz folgt xRz.
(v) Ist f : D → R, D ⊆ R eine Funktion, dann ist sein Graph
G(f) := {(x, y) | x ∈ D ∧ y = f(x)}
eine Relation.
(vi) Auf der Menge der Menschen gibt es die Eltern-Kind-Relation.
Folgende Struktureigenschaften von Relationen unterscheidet man: Eine Relation R auf A
heißt
(i) reflexiv, falls ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R,
(ii) symmetrisch, falls ∀x, y ∈ A : xRy =⇒ yRx,
(iii) antisymmetrisch, falls ∀x, y ∈ A : xRy ∧ yRx =⇒ x = y,
(iv) transitiv, falls ∀x, y, z ∈ A : xRy ∧ yRz =⇒ xRz.
Ist R eine Relation auf A, dann auch ihre inverse Relation
R −1 := {(x, y) | (y, x) ∈ R}.
Offenbar ist R genau dann symmetrisch, wenn R −1 = R gilt und reflexiv genau dann, wenn sie
∆(A) := {(x, x) | x ∈ A},
die Diagonale von A, enthält. Die durch ∆(A) definierte Relation ist die Gleichheit auf A. Ist
R ′ eine weitere Relation auf A, dann ist die Komposition von R mit R ′ die Relation
R ◦ R ′ := {(x, z) ∈ A 2 | ∃y ∈ A : ((x, y) ∈ R) ∧ ((y, z) ∈ R ′ )}.
6.3 Satz. Eine Relation R ist genau dann transitiv, wenn R ◦ R ⊆ R gilt.
Beweis. Sei R transitiv. Wir zeigen: R ◦ R ⊆ R. Sei (x, y) ∈ R ◦ R. Nach Definition der
Komposition existiert z mit (x, z), (z, y) ∈ R. Aus der Transitivität von R folgt (x, y) ∈ R.
Zum Beweis der anderen Richtung setzen wir R ◦ R ⊆ R voraus. Wir zeigen, dass R transitiv
ist. Seien (x, z), (z, y) ∈ R. Dann ist (x, y) ∈ R ◦ R ⊆ R.
Die wichtigsten Typen von Relationen sind die Äquivalenzrelationen, die Ordnungen und die
Funktionen.
6.4 Definition. Eine Relation R auf einer Menge A heißt
(i) eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch and transitiv ist,
(ii) eine (partielle) Ordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch and transitiv ist.
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