Mathematisches Denken und Arbeiten

Sie liegt dem eindimensionalen reellen projektiven Raum zugrunde; über diese wichtige mathematische
Objekt werden hier nichts weiter sagen. In der mathematischen Theorie der Computertomografie
(CT) spielt die Menge Γ aller affinen Geraden – ebenfalls eine Teilmenge von P(R 2 )
– eine zentrale Rolle. Jeder Geraden G ∈ Γ ist ein Messwert zugeordnet, nämlich die Absorption
der Röntgenstrahlung längs des durch die Gerade spezifizierten Strahles. (Die einzelnen
Messwerte sind Integrale.)
Spätestens die Potenzmenge macht deutlich, dass Mengen Elemente von Mengen sein können.
Tatsächlich ist es so, dass Elemente von Mengen stets Mengen sind; es ist aber oft im jeweiligen
Kontext unwichtig, aus welchen Elementen sie bestehen.
Der Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen kann nicht nur für zwei Mengen, sondern
auch für endliche viele definiert werden. Mehr noch: Dank der Existenz von Potenzmengen kann
man „große“ Durchschnitte und Vereinigungen gilden. Ein Mengensystem auf einer Menge A
ist eine Teilmenge A ⊆ P(A). Man definiert zu einem solchen Mengensystem
∪A = {x | ∃B ∈ A : x ∈ B},
∩A = {x | ∀B ∈ A : x ∈ B}.
(große Vereinigung)
(großer Durchschnitt)
Was versteht man unter einem geordneten Paar (a, b)?
5.4 Satz. Für a, b, a ′ , b ′ gilt:
{{a}, {a, b}} = {{a ′ }, {a ′ , b ′ }} ⇐⇒ a = a ′ ∧ b = b ′ .
Beweis. Wir beweisen nur die Implikation „ =⇒ “. Dazu setzen wir voraus, dass
{{a}, {a, b}} = {{a ′ }, {a ′ , b ′ }} (5.1)
gilt. Im Beweis von a = a ′ ∧ b = b ′ unterscheiden wir die Fälle a ≠ b und a = b.
Fall a ≠ b: Dann gilt {a} ⊂ {a, b} (echte Teilmenge). Dann ist auch die Menge auf der rechten
Seite von (5.1) zweielementig, d.h. {a ′ } ≠ {a ′ , b ′ }, und weiter {a ′ } ⊂ {a ′ , b ′ }. Wäre {a} =
{a ′ , b ′ }, dann erhielte man den Widerspruch
{a ′ , b ′ } = {a} ⊂ {a, b} = {a ′ }.
Somit muss gelten: {a} = {a ′ } und {a, b} = {a ′ , b ′ }. Aus der ersten Gleichung folgt a = a ′ ;
wegen a ≠ b folgt aus der zweiten b = b ′ .
Fall a = b: Dann gilt {a} = {a, b} = {a ′ } = {a ′ , b ′ }. Hieraus schließt man a = b = b ′ =
a ′ .
Das geordnete Paar zweier Elemente a und b definiert man mengentheoretisch wie folgt:
(a, b) := {{a}, {a, b}}
Aus dem Satz 5.4 folgt, dass diese Definition geordneter Paare die gewünschten Eigenschaften
hat: (a, b) = (a ′ , b ′ ) gilt genau dann, wenn die Komponenten gleich sind; für a ≠ b ist auch
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