Mathematisches Denken und Arbeiten

5 Operationen mit Mengen
Es gibt Regeln für die Bildung neuer Mengen aus gegebenen Mengen. Sind A und B Mengen,
dann hat man folgende elementaren Mengenbildungen:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
(Vereinigung)
(Durchschnitt)
(Differenz)
Aus den Rechenregeln für Junktoren folgende entsprechende Gesetze für diese Mengenbildungen,
z.B.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ ∅ = A, . . .
Die Komplementbildung A c einer Menge A ist oft nützlich. Ihre Bildung setzt voraus, dass eine
Grundmenge M vorliegt, in der A enthalten ist. Man definiert dann A c = M \ A. Hier sind
einige einfache Beispiele:
5.1 Beispiele.
(i) {1, 3, 6} ∩ {2, 6} = {6}
(ii) {1, 3, 6} ∪ {2, 6} = {1, 2, 3, 6}
(iii) {1, 2, 5, 8, 9} \ {2, 3, 5, 7, 9} = {1, 8}
(iv) {n 2 | n ∈ N} ∩ {2 n | n ∈ N} = {4 n | n ∈ N}
(v) Die Teilmengen
Q = {(x, y) | x > 0 ∧ y < 0}, K = {(x, y) | x 2 + y 2 < 1}
der Grundmenge R 2 kann man gut skizzieren. Das Gleiche gilt für Q ∪ K, Q ∩ K, Q \ K
und die Komplemente Q c und K c .
5.2 Definition. Für eine Menge A heißt
die Potenzmenge von A.
P(A) = {B | B ⊆ A}
Es gilt also B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A. Das Potenzmengenaxiom der (axiomatischen) Mengenlehre
fordert, dass für jede Menge ihre Potenzmenge existiert. Dies ist ein sehr starkes Mengenbildungsaxiom.
Ein einfaches Beispiel ist
Es gilt stets ∅, A ∈ P(A).
P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
5.3 Beispiel. Affine Geraden sind nichtleere Teilmengen von R 2 . Die Menge aller Geraden, die
den Nullpunkt enthalten, ist folgende Teilmenge von P(R 2 ):
RP 1 = {G | G ist eine Gerade G ⊂ R 2 , 0 ∈ G}.
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