Mathematisches Denken und Arbeiten

lassen sich oft durch Skizzen veranschaulichen. Die Punkte des R 2 sind geordnete Koordinatenpaare
(x, y). Es gilt
(x 0 , y 0 ) = (x 1 , y 1 ) ⇐⇒ (x 0 = x 1 ∧ y 0 = y 1 ).
Ein wichtiges Beispiel einer echten Teilmenge der Ebene ist die (offene) Einheitskreisscheibe
K := {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 < 1}.
Geordnete Paare und das kartesische Produkt betrachten wir im nächsten Abschnitt genauer aus
mengentheoretischer Sicht.
In der Linearen Algebra wird R 2 mit einer natürlichen Vektorraumstruktur versehen; die Addition
und Skalarmultiplikation sind komponentenweise definiert. Wir benutzen dies im Folgenden.
Eine Teilmenge G ⊂ R 2 heißt eine affine Gerade, wenn es Punkte p, q ∈ R 2 mit p ≠ q
gibt, sodass gilt
G = {tq + (1 − t)p | t ∈ R}.
Dies ist die durch die Punkte p und q verlaufende Gerade. Setzen wir v := q − p ∈ R 2 , dann ist
v ≠ 0 und wir erhalten folgende Darstellung dieser Geraden:
G = {p + tv | t ∈ R}.
Man nennt diese Darstellung eine (die?) Punktrichtungsform der Geraden G. Man kann G auch
mit geigneten a, b, d ∈ R, a 2 + b 2 = 1 in sogenannter Hesse’scher Normalform angeben:
(Wie hängen a, b, d mit p und q zusammen?)
G = {(x, y) ∈ R 2 | ax + by = d}.
Übungsaufgaben.
(i) Sind die Mengen ∅ und {∅} gleich?
(ii) Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Warum?
(iii) Beweise die Transitivität der Teilmengenbeziehung für Mengen A, B, C:
(iv) Für welche a ∈ R gilt M a ⊆ [0, ∞[, wenn
(v) Welche Mengen sind gleich?
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) =⇒ (A ⊆ C)
M a := {x ∈ R | x 3 − x > a}.
{a}, {a, a}, {a, b}, {b, a}, {a, a, b}, {a, {a, b}}
13