Mathematisches Denken und Arbeiten

(v) Beweise die Quantorenregeln:
((∀x : A(x)) ∨ (∀x : B(x))) =⇒ (∀x : A(x) ∨ B(x))
(∃x : A(x) ∧ B(x)) =⇒ ((∃x : A(x)) ∧ (∃x : B(x)))
Sind die Implikationen sogar Äquivalenzen?
(vi) Formuliere folgende Aussagen nur mit Hilfe der Standardjunktoren und der Quantoren ∀
und ∃:
a) Es gibt genau ein x mit der Eigenschaft A(x).
b) Es gibt mindestens zwei x mit der Eigenschaft A(x).
4 Mengen
Der Schöpfer der Mengenlehre ist Georg Cantor. Er umschreibt Mengen als Zusammenfassungen
von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente der betreffenden Menge.
In der Mathematik interessieren uns nur mathematische Objekte, keine Äpfel und Birnen. Alle
Konzepte der modernen Mathematik werden auf den Begrif der Menge zurückgeführt. Es zeigte
sich früh in der Entwicklung der Mengenlehre, dass unlimitierte Mengenbildungen wie „die
Menge aller Mengen“ zu Widersprüchen führen. Dies führte nachfolgend zur Herausbildung
der axiomatischen Mengenlehre. Das Axiomensystem von Zermelo und Fraenkel ist die heute
allgemein akzeptierte und bewährte Grundlage. Wir werden die Axiome nicht systematisch behandeln,
sondern wollen den praktischen Gebrauch der Mengenlehre in den Vordergrund stellen.
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x ∈ M, anderenfalls x ∉ M. Konkrete
Mengen gibt man manchmal durch Aufzählung ihrer Elemente an, beispielsweise
M 1 = {2, −3, √ 2, π}
für eine endliche Menge bestimmter Zahlen, in der Regel aber über das sogenannte Aussonderungsprinzip
durch eine definierende Eigenschaft, z.B.
M 2 = {x ∈ R | x 3 − x > 0}.
Durch Auflösen der Ungleichung x 3 − x > 0 sieht man ein, dass M 2 auch wie folgt angegeben
werden kann:
M 2 =] − 1, 0[∪]1, ∞[.
Hier haben wir die Definitionen
für ein (offenes) Intervall und
für eine Vereinigungsmenge benutzt.
]a, b[:= {x ∈ R | (a < x) ∧ (x < b)}
A ∪ B := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
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