Mathematisches Denken und Arbeiten
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(v) Beweise die Quantorenregeln:<br />
((∀x : A(x)) ∨ (∀x : B(x))) =⇒ (∀x : A(x) ∨ B(x))<br />
(∃x : A(x) ∧ B(x)) =⇒ ((∃x : A(x)) ∧ (∃x : B(x)))<br />
Sind die Implikationen sogar Äquivalenzen?<br />
(vi) Formuliere folgende Aussagen nur mit Hilfe der Standardjunktoren <strong>und</strong> der Quantoren ∀<br />
<strong>und</strong> ∃:<br />
a) Es gibt genau ein x mit der Eigenschaft A(x).<br />
b) Es gibt mindestens zwei x mit der Eigenschaft A(x).<br />
4 Mengen<br />
Der Schöpfer der Mengenlehre ist Georg Cantor. Er umschreibt Mengen als Zusammenfassungen<br />
von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente der betreffenden Menge.<br />
In der Mathematik interessieren uns nur mathematische Objekte, keine Äpfel <strong>und</strong> Birnen. Alle<br />
Konzepte der modernen Mathematik werden auf den Begrif der Menge zurückgeführt. Es zeigte<br />
sich früh in der Entwicklung der Mengenlehre, dass unlimitierte Mengenbildungen wie „die<br />
Menge aller Mengen“ zu Widersprüchen führen. Dies führte nachfolgend zur Herausbildung<br />
der axiomatischen Mengenlehre. Das Axiomensystem von Zermelo <strong>und</strong> Fraenkel ist die heute<br />
allgemein akzeptierte <strong>und</strong> bewährte Gr<strong>und</strong>lage. Wir werden die Axiome nicht systematisch behandeln,<br />
sondern wollen den praktischen Gebrauch der Mengenlehre in den Vordergr<strong>und</strong> stellen.<br />
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x ∈ M, anderenfalls x ∉ M. Konkrete<br />
Mengen gibt man manchmal durch Aufzählung ihrer Elemente an, beispielsweise<br />
M 1 = {2, −3, √ 2, π}<br />
für eine endliche Menge bestimmter Zahlen, in der Regel aber über das sogenannte Aussonderungsprinzip<br />
durch eine definierende Eigenschaft, z.B.<br />
M 2 = {x ∈ R | x 3 − x > 0}.<br />
Durch Auflösen der Ungleichung x 3 − x > 0 sieht man ein, dass M 2 auch wie folgt angegeben<br />
werden kann:<br />
M 2 =] − 1, 0[∪]1, ∞[.<br />
Hier haben wir die Definitionen<br />
für ein (offenes) Intervall <strong>und</strong><br />
für eine Vereinigungsmenge benutzt.<br />
]a, b[:= {x ∈ R | (a < x) ∧ (x < b)}<br />
A ∪ B := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}<br />
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