Mathematisches Denken und Arbeiten

Eine Anwendung auf die obige Definition der strengen Monotonie liefert, dass eine Funktion
f : D → R genau dann nicht streng monoton steigend ist, wenn gilt
also, im Einklang mit der Intuition,
∃x 1 , x 2 ∈ D : ¬(x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )),
∃x 1 , x 2 ∈ D : ¬(x 1 < x 2 ∧ f(x 1 ) ≥ f(x 2 )).
Will man eine Aussage beweisen, in der ein Allquantor auftritt, z.B. ∀x ∈ X : A(x), dann hat
sich folgendes Beweismuster bewährt.
Beweis: Sei x ∈ X (beliebig). Wir beweisen, dass A(x) wahr ist. . . .
Dieses Vorgehen haben wir bereits im Beweis des Satzes 1.3 kennengelernt. Wir illustrieren es
mit einem weiteren Beispiel, welches nach dem Schema Definition–Satz–Beweis aufgebaut ist.
3.2 Definition. Eine Funktion f : D → R, D ⊂ R, heißt nach oben beschränkt genau dann,
wenn gilt
∃M ∈ R ∀x ∈ D : f(x) ≤ M.
Man nennt M dann eine obere Schranke für f.
Durch Negation erhalten wir, dass f genau dann nicht nach oben beschränkt ist, wenn gilt:
∀M ∈ R ∃x ∈ D : f(x) > M (3.3)
3.3 Satz. Die Funktion f : [0, ∞[→ R, f(x) = √ x, ist nicht nach oben beschränkt.
Beweis. Sei M ∈ R beliebig. Wähle eine reelle Zahl y ≥ 0 mit M < y. Setze x = y 2 . Dann ist
x ∈ [0, ∞[ und es gilt M < y = f(x). Wir haben gezeigt, dass (3.3) gilt.
3.4 Bemerkung. Man beachte, dass hier vollständige deutsche Sätze ausgeschrieben wurden.
Dabei wurden mathematische Symbole sinnvoll in die Sprache integriert. Es ist sehr wichtig und
nützlich, diesem bewährten Vorgehen zu folgen. Oberste Priorität hat in der Mathematik (und
oft auch anderswo), dass das Gesagte und Geschriebene klar und übersichtlich ist. Der Leser ist
der Richter darüber, ob das im Einzelfall gelungen ist.
Übungsaufgaben.
(i) Definiere alle (Standard-)Junktoren mit Hilfe der Negation und der Disjunktion.
(ii) Seien A, B und C beliebige Aussagen. Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien?
a) ((C =⇒ A) ∧ ¬A) =⇒ ¬C,
b) (B ∨ (B =⇒ A)) =⇒ A,
c) ((A =⇒ B) ∧ ¬B) ⇐⇒ (¬(¬A ∨ B) ∧ ¬B).
(iii) Formuliere Satz 2.4 mit Quantoren.
(iv) Ist die folgende Aussage eine Tautologie?
((A =⇒ B) =⇒ A) =⇒ A
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