Ecktransversalen im Dreieck.pdf - Hans & Meta Walser

Hans Walser, [20080214b]
Ecktransversalen im Dreieck
1 Eingangsbeispiel
In einem Dreieck werden alle drei Seiten gedrittelt und dann die Ecktransversalen gemäß
Figur eingezeichnet.
Ecktransversalen
Dann entsteht in der Mitte ein Dreieck, dessen Fläche 1 der großen Dreiecksfläche ist.
7
Das Problem soll zum ersten Mal 1912 in St. Petersburg in einer Prüfung gestellt worden
sein (vgl. [Alexanderson/Ross 2007], S. 279).
2 Lösung im Dreiecksraster
Wir betten das kleine Dreieck in einen Dreiecksraster ein.
7a
6a
4b
6b
2a
3a
7b
1
3b
5b
2b
5a
4a
Dreiecksraster

Hans Walser: Ecktransversalen im Dreieck 2/3
Dann sehen wir, dass das große Dreieck genau 7 kleine Dreiecke enthält. Aus Symmetriegründen
können wir nämlich die Teile na und nb, n { 2, 3, 4,5,6, 7}, jeweils zu einem
kleinen Dreieck zusammenfügen.
3 Rechnerische Lösung und Verallgemeinerung
Das Problem ist affin invariant, wir können uns also auf ein reguläres Dreieck in der
angegebenen Disposition beschränken.
A 1
y
B 0
A 0
1
x
A 2
Standardisierte Version
Das Dreieck hat die Eckpunktskoordinaten A 0 ( 1, 0), A 1 1 2 , 3
führen nun ein allgemeines Teilverhältnis = A 1B 0
A 1 A 2
= 1 3 .
( 2 ) , A 2 1 2 , 3
2
( ) . Wir
ein. Im Eingangsbeispiel war
Die Idee ist nun folgende: Das kleine Dreieck ist wiederum ein reguläres, der Abstand
der Transversale A 0 B 0 ist der Inkreisradius dieses Dreiecks. Damit sind die Flächenverhältnisse
berechenbar.
Die Transversale A 0 B 0 hat die Gleichung:
y = 21
3 x 21
3
und damit die Hessesche Normalform:
( 21)x 3y( 21)
= 0
2 2 +1
( ) des kleinen Drei-
Für den Abstand vom Ursprung und damit für den Inkreisradius
eckes erhalten wir daraus:

Hans Walser: Ecktransversalen im Dreieck 3/3
( )= ( 21)
2 2 +1
Das große Ausgangsdreieck hat den Inkreisradius 1 ; das Radienverhältnis ist also:
2
( 21)
2 +1
und das Flächenverhältnis ( ) das Quadrat davon:
Beispiele:
Weiter ist:
Dies ist auch geometrisch klar.
Funktionsgraf:
( )= 42 4+1
2 +1
( )
0 1
1
4
1
3
1
2
4
13
1
7
0
1 1
lim ( )=
4
±
( )= 42 4+1
2 +1
Literatur:
[Alexanderson/Ross 2007] Alexanderson, Gerald L. and Peter Ross: The Harmony of
the World. 75 Years of Mathematics Magazine. The Mathematical
Association of America. 2007. ISBN 978-0-88385-560-7