Elektromagnetische Wellen

Physik III - Formelsammlung
von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Prof. Kalt
Optik
Elektromagnetische Wellen im Vakuum
(Elektrische Feldstärke: ⃗ E [ N As = V m ], magnetische Feldstärke ⃗ B [ V s
m 2 = T ]
Wellengleichung: ∆ ⃗ E = 1 c 2 ∂ 2 ⃗ E
∂t 2
Ebene transversale elektrische Welle: ⃗ E = ⃗ E 0 e i(ωt−⃗ k⃗r) , ⃗ E = ⃗ E0 cos(ωt − ⃗ k⃗r)
• Kreisfrequenz: ω = 2πν (Frequenz ν)
• Wellenlänge: λ
• Wellenvektor: ⃗ k
• Wellenzahl: | ⃗ k| = k = 2π λ
• Magnetfeld: ⃗ B = 1 ω (⃗ k × ⃗ E)
Für ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt:
• ⃗ k⊥ ⃗ E⊥ ⃗ B⊥ ⃗ k
• | ⃗ B| = 1 c |⃗ E|
• ⃗ E und ⃗ B in Phase
Linear polarisierte Welle: ⃗ E = ⃗ E 0 cos(ωt − kz) in z-Richtung mit den Komponenten E x und E y in Phase
• E x = E 0x cos(ωt − kz)
• E y = E 0y cos(ωt − kz)
Zirkular polarisierte Welle: gleiche Amplituden E 0x = E 0y = E 0 , aber 90 ◦ Phasenverschiebung:
• E x = E 0 cos(ωt − kz)
• E y = E 0 cos(ωt − kz − π 2 )
• σ + -Licht: Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung ( ˆ= links zirkular)
• σ − -Licht: Linksschraube in Ausbreitungsrichtung ( ˆ= rechts zirkular)
Elliptisch polarisierte Welle: E 0x ≠ E 0y oder Phasenverschiebung zwischen E x und E y ≠ 90 ◦
Poynting-Vektor: ⃗ S = ⃗ E × ⃗ H = ε 0 · c 2 · ⃗E × ⃗ B
• S = | ⃗ S| = ε 0 cE 2
• ⃗ S|| ⃗ k
[ W
m 2 ]
• S = Energie, die pro Zeit durch Flächeneinheit ⊥ ⃗ k transportiert wird (Energiestromdichte)
Intensität: I =< S(t) >= 1 2 · ε 0 · c · ⃗E 2 0
Dispersionsrelation für Licht im Vakuum: ω = c · k
1

Lichtausbreitung im Medium
Wellengleichung im Medium: ∆ ⃗ E − ε · ε 0 · µ 0
∂ 2 E
∂t 2 = 0
Monochromatische, ebene elektromagnetische Welle: ⃗ E = ⃗ E 0 e i(ωt−⃗ k⃗r)
Dispersionsrelation im transparenten Medium: ω = c n · k
Im Medium mit Brechungsindex ñ = n − iκ gilt:
• Wellenlänge λ = λ V ak
n
• Phasengeschwindigkeit c = c V ak
n
• Der Realteil gibt die Dispersion, der Imaginärteil die Absorption der Welle an
• In durchsichtigen Medien (Glas, Wasser, Luft...) gilt: ñ ≈ n
Beersches Absorptionsgesetz: I = I 0 e −αz
• Absorptionskoezient α = 2 · k V ak · κ = 4πκ
λ V ak
[
m
−1 ]
Reexions- und Brechungsgesetz:
• Beim Übergang zwischen zwei Medien kann sich die Wellenlänge ändern, aber nicht die Frequenz ω.
• Einfallswinkel α = Reexionswinkel α ′
• Snelliussches Brechungsgesetz: sin α
sin β = c′ 1
c
= n2
′
2 n 1
Fresnel-Formeln (e=einfallend, r=reektiert, g=gebrochen, A=Amplitude):
• Reexionskoezient ⊥ zur Einfallsebene: ϱ s = Ars
A es
• Transmissionskoezient ⊥ zur Einfallsebene: τ s = Ags
A es
• Reexionskoezient || zur Einfallsebene: ϱ p = Arp
A ep
= − sin(α−β)
sin(α+β)
=
= tan(α−β)
tan(α+β)
• Transmissionskoezient || zur Einfallsebene: τ s = Agp
A ep
=
Reexionsvermögen: R =
Ir cos α′
I e cos α
≈ Ir
I e
= A2 r
A 2 e
• Bei senkrechtem Einfall gilt: R(α = 0) =
( ) 2
n 1−n 2
n 1+n 2
2 sin β cos α
sin(α+β)
2 sin β cos α
sin(α+β) cos(α−β)
Transmissionsvermögen: T =
Brewsterwinkel: tan α B = n2
n 1
Ig cos β n2 cos β A
I e cos α
= 2 g
n 1 cos α A 2 e
• ⇔ reektierte Welle ⊥ gebrochene Welle ⇔ α + β = 90 ◦
• Keine Reexionsverluste unter dem Einfallswinkel α B
Grenzwinkel der Totalreexion: sin α g = n2
n 1
• Nur beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium (n 1 > n 2 )
Phasensprung von π der zur Einfallsebene senkrechten Komponente
• bei reexion am optisch dichteren Medium
2

Lichtausbreitung in anisotropen Medien
In anisotropen Medien sind Ausbreitungsrichtung der Phasenächen ( ⃗ k) und die Richtung der Energieausbreitung ( ⃗ S)
i.a. verschieden
• ⃗ E und ⃗ k sind keine Vektoren mehr, sondern Tensoren
Polarisiertes Licht kann erzeugt werden durch Reexion unter dem Brewsterwinkel, durch dichroitische Dünnschichtpolarisation
und durch optisch doppelbrechende Kristalle.
λ
2π
4
-Plättchen: ∆ϕ =
λ 0
d(n 3 − n 1 )
• Zirkular polarisierte Welle für ∆ϕ = π 2
bei α = 45◦
Geometrische Optik
(Gegenstandsweite g, Bildweite b, Gegenstandsgröÿe G, Bildgröÿe B)
Fermat'sches Prinzip: Licht wählt den Weg mit minimaler Lichtlaufzeit
Reexion am sphärischen Spiegel mit Radius r:
• Brennweite: f = 1 2 · r
• Abbildungsgleichung: 1 g + 1 b = 1 f
Abbildungsmaÿstab: β = B G = − b g
Brechung an gekrümmter Grenzäche mit Radius r:
• Brennweite: f 2 =
n2
n 2−n 1
· r
• Abbildungsgleichung: n1
g
+ n2
b
= n2−n1
r
= n2
f 2
= − n1
f 1
Brechung an dünner Linse mit Krümmungsradien r 1 , r 2 :
( )
• Brechkraft: 1 f = (n − 1) 1 [Dioptrie
r 1
− ]
1 r 2
= dbt = m
−1
• Brennweite für r 1 = r 2 = r : f = r 2
n−1
• Abbildungsgleichung: 1 g + 1 b = 1 f
• Abbildungsmaÿstab: β =
f
f−g
Brechung an dicker Linse mit Krümmungsradien r 1 , r 2 und Dicke d:
(
)
• Brechkraft: 1 f = (n − 1) 1
r 1
− 1 r 2
+ (n−1)·d
n·r 1·r 2
• Entfernung der Hauptebenen vom Linsenrand:
h 1 = − (n−1)·f·d
n·r 2
h 2 = − (n−1)·f·d
n·r 1
• Abbildungsgesetz mit b, g, f bezogen auf die Hauptebenen: 1 g + 1 b = 1 f
Linsensysteme:
• Brechkraft: 1 f = 1 f 1
+ 1 f 2
− d
f 1·f 2
• Abbildungsmaÿstab: β = β 1 · β 2
Matrixmethoden der geometrischen Optik
Translation: (nα 1 , y 1 ) → (nα 2 , y 2 )
( ) nα2
=
y 2
( ) 1 0
d
n
1
} {{ }
eT
3
( ) nα1
·
y 1

Reexion am spärischen Spiegel: (Krümmung ) )
( ) nα2
=
y 2
(
1
−2n
r
0 1
)
} {{ }
eR )
·
( ) nα1
y 1
Für ebenen Spiegel:
( )
nα2
=
y 2
( )
1 0
0 1
} {{ }
eR |
·
( )
nα1
y 1
Brechung an Kugeloberäche mit Radius r 1 :
(mit Brechkraft D 12 der gekrümmten Fläche: D 12 = n2−n1
r 1
)
( ) ( )
n2 α 2 1 −D12
=
y 2 0 1
} {{ }
Transformationsmatrix einer Linse:
( ) (
n3 α 3 1 − D23·d
n
=
2
y
d
3
n 2
eB 12
·
( )
n1 α 1
y 1
−D 12 − D 23 + D12·D23·d
n 2
1 − D12·d
)
·
n 2
fM L
} {{ }
speziell: Transformationsmatrix für dünne Linse, d ≈ 0:
(
( ))
1
1 (n − 1) ·
˜M dL =
r 1
− 1 r 2 =
0 1
Abbildungsmatrix:
mit ˜M AB =
(
1 −
g
f
g + b − b·g
f
− 1 f
1 − b f
)
( )
α1
= ˜M
B AB ·
( )
α1
G
, d.h. für achsenparalleln Strahl (α 1 = 0):
( 1 −
1
)
f
0 1
Jones-Vektoren und -Matrizen ( ) ( )
Licht propagiert in z-Richtung: E ⃗ Ex E0x · e
= =
iϕx
, |
E y E 0y · e ⃗ √
E| = E 2 iϕy x + Ey
2
( ) ( )
Jones-Vektor: J ⃗ Jx
= =
J 1 E0x · e iϕx
(beschreibt die Polarisation von Licht)
y | E| ⃗ E 0y · e iϕy (
• Horizontal polarisiertes Licht: J ⃗ 1
h =
0)
(
• Vertikal polarisiertes Licht: J ⃗ 0
v =
1)
( )
n1 α 1
y 1
( )
• Linear polarisiertes Licht mit Winkel ϑ relativ zur x-Richtung: J ⃗ cos ϑ
ϑ =
sin ϑ
( )
• Linear polarisiertes Licht mit Winkel 45 ◦ relativ zur x-Richtung: J ⃗ 45 ◦ = √ 1 1
2 1
• Zirkular polarisiertes Licht:
( )
σ + -Licht: J ⃗ σ + = √ 1 1
2 +i
( )
σ − -Licht: J ⃗ σ − = √ 1 1
2 −i
( ) ( )
α2 −
G
f
=
B G · (1 − b f )
4

( )
• Elliptisch polarisiertes Licht: J ⃗ = 1 E0x
| E| ⃗ E 0y · e −iϕ
Jones-Matrizen (beschreiben polarisationsändernde Elemente):
( ) 1 0
• Linearer Polarisator (max. Transmission || x-Richtung): M (x) =
0 0
( )
cos
• Linearer Polarisator (max. Transmission unter Winkel θ gegen x-Achse): M (θ) =
2 θ sin θ cos θ
sin θ cos θ sin 2 θ
( )
e
i∆ϕ x
0
• Optische Verzögerungsplatte, die die Polarisationsebene dreht: M =
0 e i∆ϕy
( )
• λ-Plättchen: 4 M = e i π λ 4
1 0
4 0 −i
( )
• λ-Plättchen: i 0
2 M = λ
2 0 −i
Kohärenz
Zeitliche Kohärenz: die Phasendierenz zweier Teilwellen in einem Raumpunkt ⃗r ändert sich während der Beobachtungszeit
∆t um weniger als 2π
Kohärenzzeit: Maximale Zeitspanne ∆t C , während der sich Phasendierenzen zwischen allen im Punkt ⃗r überlagerten
Teilwellen von höchsten 2π ändern
∆t C = 2π
∆ω = 1
∆ν
(∆ν: Frequenzbreite)
Räumliche Kohärenz: die räumliche Dierenz der Phase ϕ i (⃗r 1 ) − ϕ i (⃗r 2 ) beliebiger Teilwellen ⃗ E i ändert sich während
der Beobachtungszeit um weniger als 2π
Kohärenzlänge: l C = c · ∆t C
Kohärenzäche: Fläche ⊥ Ausbreitungsrichtung, für die gilt: ∆ϕ i (⃗r) = 0
Kohärenzvolumen: Kohärenzlänge × Kohärenzäche
Interferenz
Wegdierenz: ∆s
Konstruktive Interferenz: ∆ϕ = m · 2 · π / ∆s = m · λ (m = 0, 1, 2, ...)
• Teilwellen in Phase
• Maximale Intensität I max = c · ε 0
(
⃗E1 + ⃗ E 2
) 2
Destruktive Interferenz: ∆ϕ = (2m + 1) · π / ∆s = (2m + 1) · λ
2
(m = 0, 1, 2, ...)
• Teilwellen gegenphasig
• Minimale Intensität: I min = c · ε 0
(
⃗E1 − ⃗ E 2
) 2
Kohärenzbedingung für Doppelspalt: ∆s max ≈ b·d
2·D < λ 2
• d: Spaltabstand, D: Abstand Spalt-Lichtquelle, b: Ausdehnung der Lichtquelle
Kohärenzäche einer ausgedehnten Lichtquelle: F C = d 2 ≤ λ2
∆Ω
• ∆Ω: Raumwinkel, unter dem die Lichtquelle von einem Punkt der Kohärenzäche aus erscheint
5

Planparallele Platte: ∆ϕ = 2π λ ∆s − π
Michelson-Interferometer: ∆ϕ = 2π λ ∆s
Sagnac-Interferometer: ∆ϕ = 8πA
c·λ
· Ω · cos θ
• A: umlaufene Fläche, Ω: Kreisfrequenz der Drehung, θ: Winkel zwischen Drehachse und Flächennormale
Mach-Zehnder-Interferometer: ∆ϕ = 2π λ
· ∆n · L (L: Länge des Mediums)
Airy-Formeln für reektierte und transmittierte Intensität nach Vielstrahl-Interferenz:
• I R = I 0 ·
F ·sin 2 ( ∆ϕ
2 )
1+F ·sin 2 ( ∆ϕ
2 )
• I T = I 0 ·
1
1+F ·sin 2 ( ∆ϕ
2 )
• Finesse-Koezient: F =
4R
(1−R) 2
• ∆ϕ kann verändert werden...
durch Veränderung der Wellenlänge λ bei festem ∆s: ∆ϕ = 2π λ ∆s
durch Variation von ∆s bei festem λ
Fabry-Pérot-Interferometer: ∆ϕ = 4π λ
· n · d
• Wellenlängen, die maximal durchgelassen werden: λ m = 2·n·d
m
(m = 1, 2, ...)
• Periode der Transmissionskurve / freier Spektralbereich des FPI:
δλ = λ m − λ m+1 = 2·n·d
m
δν = ν m+1 − ν m =
c
2·n·d
− 2·n·d
m+1 = λm
m+1
• Finesse des FPI: F ∗ = δν
∆ν = π√ R
1−R = π 4
√
F
• Halbwertsbreite der Transmissionsbereiche eines Interferometers: ∆ν = δν
F ∗
Beugung
Beugung am Einzelspalt mit Breite b:
• Minima: b · sin θ = m · λ
• Maxima: b · sin θ = 2m+1
2
· λ (m ∈ Z\ {0, −1})
(m = 1, 2, 3, ..., keine 0 da dort Hauptmaximum)
• Intensität des in Richtung θ abgebeugten Lichts: I(θ) = I 0
sin 2 x
x 2
mit x = π·b
λ
( ) 2
Beugung an Kreisblende mit Radius R: I(θ) = I 2·J1(x)
0 x mit x =
2·π·R
λ
· sin θ und J 1 (x) Besselfunktion 1. Ordnung
• 1. Nullstelle von I(θ) bei sin θ 1 = 0, 61 λ R
Beugung am Gitter / Doppelspalt mit Spaltabstand d, Spaltbreite b:
• Minima: d · sin θ = 2m+1
2
· λ
• Maxima: d · sin θ = m · λ
sin 2 [ π · b
λ · sin θ]
• Intensität: I(θ) = I 0 [
π · b
λ · sin θ] 2
} {{ }
Einhuellende
· sin2 [N·π· d
λ
sin 2 [π· d
λ
·sin θ]
·sin θ]
Fraunhofer-Beugung für parallel einfallende Lichtbündel → Beobachtung im Fernfeld
· sin θ
Fresnel-Beugung: divergenter bzw. konvergenter Lichteinfall → Beobachtung im Nahfeld
Fresnel-Kirchhosches Beugungsintegral: E P = ∫ ∫ C · E S · e−ikr
r
dx dy
6

• Feldamplitude im Punkt P der beleuchteten Önung S des Schirms
• C = i cos θ
λ
• E S = A R ei(ωt−kR)
Babinetsches Theorem: E P (σ) = ∑ i E P (σ i )
• Komplementäre Beugungsächen ergeben gleiches Beugungsmuster
Fourier-Darstellung: Das Fraunhofer-Beugungsbild E(x ′ , y ′ , z 0 ) ist proportional zur Fouriertransformierten der Feldverteilung
E(x, y) in der beugenden Önung.
Lichtstreuung
Kohärente Streuung: Oszillatoren regelmäÿiger Anordnung (z.B. kristalliner Festkörper)
Inkohärente Streuung: statistisch verteilte oder zeitlich variierende Phasen der streuenden Oszillatoren (z.B. Gas,
Flüssigkeit, Pulver...)
Mie-Streung: Streuung an Mikropartikeln (z.B. Staub, Nebel)
Optische Instrumente
Sehwinkel: ε = G g
• Sehwinkel = Winkel zwischen Randstrahlen
Deutliche Sehweite / Bezugssehweite: s 0 = 25 cm
Vergröÿerung: V =
Sehwinkel ε mit Instrument
Sehwinkel ε 0 ohne Instrument
Lupe: Sammellinse kurzer Brennweite f
• Normalvergröÿerung: V L = s0
f
Mikroskop: V M = −
t·s0
f OB·|f OK |
(t = d − f OK : optische Tubuslänge)
Fernrohr: V F = f OB
f OK
Rayleigh-Kriterium: zwei punktförmige Lichtquellen lassen sich in der Bildebene trennen, falls das Maximum des einen
Beugungsscheibchens auf das 1. Minimum des anderen fällt
Auösbarer Winkelabstand: δ min = 1, 22 · λ
D
Winkelauösungsvermögen: R W = 1
δ min
= D
1,22·λ
Auösung Mikroskop: ∆x min = 1, 22 ·
• Numerische Aperatur: NA = n · sin α
λ
Spektrales Auösungsvermögen:
∆λ = ∆smax
λ
• ∆ν · ∆T max ≥ 1
Prismenspektrometer:
(D: Durchmesser der Instrumentenönung)
λ V ak
2·n·sin α = 0, 61 · λV ak
NA
(∆T max : maximale Laufzeitdierenz)
• Ablenkwinkel θ(λ): dθ
dλ = 2 sin( γ 2 )
√
1−n2·sin 2 γ 2
· dn
dλ
• γ: Prismenwinkel, dn
dλ
: Dispersion des Prismas
λ
• Spektrales Auösungsvermögen:
∆λ = a dθ
2 dλ
Gitterspektrometer:
(∆s max : maximaler Wegunterschied)
(
) −
• Winkeldispersion dβ
dλ = m
d·cos β = d 2 cos 2 1
α
m
+ 2·d·λ
2 m sin α − λ2 2
(a: Durchmesser des eintretenden Lichtbündels)
7

• Spektrales Aufösungsvermögen:
λ
∆λ ≤ m · N
• m: Interferenzordnung, N: Gesamtzahl der beleuchteten Gitterstriche
Fresnellinse wirkt wie Linse mit Brennweite f = s 0 = r2 1
λ
Gase
Boyle-Mariott'sches Gesetz: p · V = const
[ ]
Kompressibilität: κ = − 1 ∂V m 2
V ∂p N
Thermodynamik
• bei konstanter Temperatur T: κ = 1 p
Bei konstanter Temperatur gilt: Dichte ϱ ∼ Druck p
[
Druck: p = F A P a =
N
m
, bar = 10 5 P a ]
2
• p · V = 3 2 · N · 1
2 · m · v2
} {{ }
E kin
−ϱ0·g·h
p
Barometrische Höhenformel: p = p 0 · e 0
Absolute Temperatur T: m 2 · v2 = 3 2 · k B · T
Allgemeine Gasgleichung: p · V = N · k B · T
Gleichverteilungssatz: in einem Gas der Temperatur T verteilt sich die Energie der einzelnen Moleküle durch Stöÿe
gleichmäÿig auf alle Freiheitsgrade
• Mittlere Energie jedes Teilchens: E kin = f · 1
2 · k B · T (f: Zahl der Freiheitsgrade)
Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung: f MB (v)dv =
Ficksches Gesetz: ⃗j = Dgrad n
• Teilchenstromdichte ⃗j
√
2
π
(
m
k B·T
) 3
2
v 2 e −
mv2
2·k B ·T
dv
• Diusionskonstante D = Λv
3
(Λ: mittlere freie Weglänge, v: mittlere Geschwindigkeit)
• und D = 1
n·σ
√
8·k B·T
9·π·m
Wärmeleitfähigkeit: λ = 1 f·k B·v
12 σ
(σ: Stoÿquerschnitt, m: Masse, n: Dichte)
[
J
m·s·K
Temperatur
Längenänderung eines Stabes: L(T C ) = L(0) · (1 + α · T C )
• T C : Temperatur in ◦ Celsius
• Linearer Ausdehnungskoezient α = ∆L
L·T C
Volumenänderung eines Gases (Druck konstant): V (T C ) = V 0 · (1 + γ V · T C )
• Ausdehnungskoezient γ V = V (T C)−V 0 1
1
V 0·T C
=
273,15 ◦ C
= 3, 66 · 10−3 ◦ C
(relative Volumenänderung pro Grad Temperaturänderung)
Absolute Temperatur: T = T 0 · (1 + γ · T C ) = T 0 +
Temperatur in ◦ Celsius: T C
◦ C = T K
− 273, 15
]
(relative Längenänderung pro Grad Temperaturänderung)
T0
273,15 T C
Avogadro-Konstante (# Atome / Moleküle pro Mol): N A = 6, 023 · 10 23 mol −1
8

• 1 mol eines Gases nimmt, unabhängig von der Gasart, unter gleichen äuÿeren Bedingungen immer das gleiche
Volumen ein (soweit Gas=ideales Gas): V mol = 22, 4 dm 3 (T = 0 ◦ C, p = 1 bar)
Allgemeine Gaskonstante: R = N A · k B = 8, 31
J
K·mol
Zustandsgleichung des idealen Gases: p · V = ν · R · T
• ν =
V
V mol
: Zahl der Moleküle im Volumen V
• Zustandsänderungen:
T=const isotherme Zustandsänderung p · V = const
p=const isobare Zustandsänderung
V
T
= const
V=const isochore Zustandsänderung
p
T = const
Wärmemenge und spezische Wärme
Temperaturänderung ∆T bei Energiezufuhr ∆W: ∆W = ∆Q = c · m · ∆T
• ∆Q: Wärmeenergie [J = Nm = W s]
• c: spezische Wärme
(Wärmemenge, die benötigt wird um die Temperatur einer Masse m = 1 kg um ∆T = 1K zu erhöhen)
• Wärmekapazität: ∆Q
∆T
Innere Energie eines Gases (N Moleküle): U = 1 2 · f · N · k B · T
• Innere Energie eines Mols: U = 1 2 · f · N A · k B · T
• Freiheitsgrade: f = f trans + f rot + f vib
Lineares Molekül mit n Atomen: f trans = 3, f rot = 2, f vib = 2 · (3n − 5) ⇒ f = 6n − 5
Nichtlineares Molekül mit n Atomen: f trans = 3, f rot = 3, f vib = 2 · (3n − 6) ⇒ f = 6n − 6
Spezische Molwärme bei konstantem Volumen: C V = 1 2 · f · R = ( )
∂U
∂T V
• Wärmemenge pro Mol: ∆Q = C V · ∆T
Spezische Molwärme bei konstantem Volumen: C p = C V + R = 1 2
(f + 2) R
Adiabatenindex: κ = Cp
C V
= f+2
f
Dulong-Petitsches Gesetz: C V = 6 · 1
2 · N A · k B = 3R (maximaler Wert bei Festkörpern)
Wärmeleitung in Festkörpern
Durch Querschnittsäche A ieÿt konstante Wärmemenge dQ
dt
= −λ · A · dT
dx
Allgemeine Wärmeleitungsgleichung: ∂T
∂t
• λ
c·ϱ = λ T : Temperaturleitzahl
= λ
c·ϱ ∆T
• falls Temperaturgradient nur in eine Richtung: ∂T
∂t
= λ ∂ 2 T
c·ϱ ∂x 2
Wiedemann-Franz-Gesetz (Wärmeleitung in Metallen): λ σ = π2·k 2 B
3·e 2 · T
• σ: elektrische Leitfähigkeit, e: Elementarladung
9

Wärmestrahlung
Integrales Absorptionsvermögen: A ∗ =
absorbierte Strahlungsleistung
aufgenommene Strahlungsleistung
• Körper mit A ∗ = 1: schwarzer Körper mit gröÿtem Emissionsvermögen bei gleicher Temperatur im Vergleich
zu Körpern mit A ∗ < 1
• E∗ (T )
A ∗ (T ) = K(T )
(E ∗ : Emissionsvermögen, K: Konstante, die nur von T abhängt, nicht vom Material)
Kirchhosches Gesetz für Hohlraumstrahlung: E∗ ν
A ∗ ν
= S ∗ ν(T )
• S ∗ ν: Spektrale Strahlungsdichte, A ∗ ν, E ∗ ν: spektrales Emissions- / Absorptionsvermögen bei der Frequenz ν
Hauptsätze der Thermodynamik
Vorzeichen:
• vom System verrichtete Arbeit (Energie wird kleiner): negativ
• dem System zugeführte Arbeit: positiv
1. Hauptsatz (Energieerhaltung): ∆U = ∆Q + ∆W
• ⇔ Es gibt kein perpetuum mobile 1. Art
• ⇔ Ideales Gas: dU = dQ − p · dV
(Im Folgenden Prozesse für 1 mol eines Gases, ν =
Isochore Prozesse (V = const ⇒ dV = 0)
• dQ = dU = C V · dT
• C V = ( )
∂U
∂T
• ∆W = 0
Isobare Prozesse (p = const)
V
• dQ = C p · dT
• Enthalpie: H = U + pV
• dQ = dH = dU + p · dV
• C p = ( )
∂H
∂T
p
Isotherme Prozesse (T = const ⇒ dU = 0)
• dQ = p · dV = −dW
• W = − ∫ V 2
V 1
p · dV = −R · T ∫ V 2 dV
V 1 V
• p · V = const
Adiabatische Prozesse (dQ = 0)
• dU = C V · dT = −p · dV
V1
= R · T · ln
V 2
• Poisson'sche Gleichungen / Adiabatengleichungen:
T · V κ−1 = const
p · V κ = const
V
V mol
= 1)
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2. Hauptsatz:
• Wärme ieÿt von selbst immer nur vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt
• ⇔ es gibt kein perpetuum mobile 2. Art
Kreisprozess: System kehrt nach mehreren Zustandsänderungen in den Ausgangszustand zurück
• reversibel: Kreisprozess kann in beide Richtungen durchlaufen werden
Carnot'scher Kreisprozess:
1. isotherme Expansion
2. adiabatische Expansion
3. isotherme Kompression
4. adiabatische Kompression
Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses: η = ∆Q
∆Q = 1 − T2
T 1
Entropie
Reduzierte Wärmemenge: ∆Q
T
Entropie S: dS = dQ reversibel
T
• bei einem reversiblen Kreisprozess bleibt die Entropie konstant
• ∆S isobar = C V · ln T2
T 1
+ R · ln V2
V 1
• ∆S isochor = C p · ln T2
T 1
− R · ln p2
p 1
• ∆S isotherm = ∆Q
T
• S = k B · ln W
V2
= R · ln
V 1
(W: Realisierungsmöglichkeiten des Zustands)
• S[bit] = − ∑ W
i=1 p i log 2 p i (p i : Wahrscheinlichkeit, dass Zustand i vorliegt)
• Umrechnung: S[J/K] = S[bit] · k B · ln 2
• Mischungsentropie: ∆S mix = k B
∑i N i · ln N N i
(N i : Anzahl Moleküle der zu mischenden Volumina)
Thermodynamische Potenziale
Erhaltungsgröÿe bei...
innere Energie U(S, V ) dU ≤ T · dS − p · dV adiabatisch-isochor
Enthalpie H(S, p) H = U + p · dV dH ≤ T · dS + V · dp adiabatisch-isobar
freie Energie F (T, V ) F = U − T · S dF ≤ −S · dT − p · dV isotherm-isochor
freie Enthalpie G(T, p) G = U + p · V − T · S dG ≤ −S · dT + V · dp isotherm-isobar
• =: reversibel,

• T = ( )
∂U
∂S V = ( )
∂H
∂S p
• Thermodynamische Prozesse verlaufen so, dass thermodynamische Potenziale minimiert werden (im Minimum:
Gleichgewichtszustand)
• Die Zunahme der freien Energie eines isothermen Systems ist höchstens gleich der in das System hineingesteckten
Arbeit: dF ≤ dW
• Spontane chemische Reaktion für G abnehmend, also ∆G < 0
3. Hauptsatz:
• Entropie aller reinen kondensierten Stoe geht für T → 0 gegen den selben Grenzwert
• ⇔ lim T →0 S(T ) = 0
• ⇔ der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ist ein Zustand maximaler Ordnung,
nur eine Realisierungsmöglichkeit W = 1
• ⇔ es ist prinzipiell unmöglich, den absoluten Temperatur-Nullpunkt zu erreichen
Reale Gase und Flüssigkeiten
Van-der-Waals-Gleichung eines realen Gases: ( )
p +
a · (V
Vmol
2 mol − b) = R · T
• a: Stokonstante, b = 4 · N · V Atom : Kovolumen
• Binnendruck: p B = a
V 2
Clausius-Clapeyron-Gleichung: Verdampfungswärme W V = T · dps
dT (V D − V fl )
• V D : Molvolumen Dampfphase, V fl : Molvolumen üssige Phase, dps
dT : Steigung der Dampfdruckkurve p s(T )
• Ursachen:
Vergröÿerung des Volumens V fl → V D gegen äuÿeren Druck
Vergröÿerung des Molekülabstands im Potenzial
Van't Hosche Gleichung: p s (T ) = A · p 0 · e − W V
R·T
Van-der-Waals-Konstanten: a = 3 · p k · V 2
k , b = 1 3 V k
mit A = e W V
R·T 0
((p k , V k ): kritischer Punkt)
Joule-Thomson-Eekt: Abkühlung durch Expansion ohne Verrichtung von Arbeit ist möglich
Inversionstemperatur: T I = 2·a
b·R
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