Elektromagnetische Wellen
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Physik III - Formelsammlung<br />
von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Prof. Kalt<br />
Optik<br />
<strong>Elektromagnetische</strong> <strong>Wellen</strong> im Vakuum<br />
(Elektrische Feldstärke: ⃗ E [ N As = V m ], magnetische Feldstärke ⃗ B [ V s<br />
m 2 = T ]<br />
<strong>Wellen</strong>gleichung: ∆ ⃗ E = 1 c 2 ∂ 2 ⃗ E<br />
∂t 2<br />
Ebene transversale elektrische Welle: ⃗ E = ⃗ E 0 e i(ωt−⃗ k⃗r) , ⃗ E = ⃗ E0 cos(ωt − ⃗ k⃗r)<br />
• Kreisfrequenz: ω = 2πν (Frequenz ν)<br />
• <strong>Wellen</strong>länge: λ<br />
• <strong>Wellen</strong>vektor: ⃗ k<br />
• <strong>Wellen</strong>zahl: | ⃗ k| = k = 2π λ<br />
• Magnetfeld: ⃗ B = 1 ω (⃗ k × ⃗ E)<br />
Für ebene elektromagnetische <strong>Wellen</strong> im Vakuum gilt:<br />
• ⃗ k⊥ ⃗ E⊥ ⃗ B⊥ ⃗ k<br />
• | ⃗ B| = 1 c |⃗ E|<br />
• ⃗ E und ⃗ B in Phase<br />
Linear polarisierte Welle: ⃗ E = ⃗ E 0 cos(ωt − kz) in z-Richtung mit den Komponenten E x und E y in Phase<br />
• E x = E 0x cos(ωt − kz)<br />
• E y = E 0y cos(ωt − kz)<br />
Zirkular polarisierte Welle: gleiche Amplituden E 0x = E 0y = E 0 , aber 90 ◦ Phasenverschiebung:<br />
• E x = E 0 cos(ωt − kz)<br />
• E y = E 0 cos(ωt − kz − π 2 )<br />
• σ + -Licht: Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung ( ˆ= links zirkular)<br />
• σ − -Licht: Linksschraube in Ausbreitungsrichtung ( ˆ= rechts zirkular)<br />
Elliptisch polarisierte Welle: E 0x ≠ E 0y oder Phasenverschiebung zwischen E x und E y ≠ 90 ◦<br />
Poynting-Vektor: ⃗ S = ⃗ E × ⃗ H = ε 0 · c 2 · ⃗E × ⃗ B<br />
• S = | ⃗ S| = ε 0 cE 2<br />
• ⃗ S|| ⃗ k<br />
[ W<br />
m 2 ]<br />
• S = Energie, die pro Zeit durch Flächeneinheit ⊥ ⃗ k transportiert wird (Energiestromdichte)<br />
Intensität: I =< S(t) >= 1 2 · ε 0 · c · ⃗E 2 0<br />
Dispersionsrelation für Licht im Vakuum: ω = c · k<br />
1
Lichtausbreitung im Medium<br />
<strong>Wellen</strong>gleichung im Medium: ∆ ⃗ E − ε · ε 0 · µ 0<br />
∂ 2 E<br />
∂t 2 = 0<br />
Monochromatische, ebene elektromagnetische Welle: ⃗ E = ⃗ E 0 e i(ωt−⃗ k⃗r)<br />
Dispersionsrelation im transparenten Medium: ω = c n · k<br />
Im Medium mit Brechungsindex ñ = n − iκ gilt:<br />
• <strong>Wellen</strong>länge λ = λ V ak<br />
n<br />
• Phasengeschwindigkeit c = c V ak<br />
n<br />
• Der Realteil gibt die Dispersion, der Imaginärteil die Absorption der Welle an<br />
• In durchsichtigen Medien (Glas, Wasser, Luft...) gilt: ñ ≈ n<br />
Beersches Absorptionsgesetz: I = I 0 e −αz<br />
• Absorptionskoezient α = 2 · k V ak · κ = 4πκ<br />
λ V ak<br />
[<br />
m<br />
−1 ]<br />
Reexions- und Brechungsgesetz:<br />
• Beim Übergang zwischen zwei Medien kann sich die <strong>Wellen</strong>länge ändern, aber nicht die Frequenz ω.<br />
• Einfallswinkel α = Reexionswinkel α ′<br />
• Snelliussches Brechungsgesetz: sin α<br />
sin β = c′ 1<br />
c<br />
= n2<br />
′<br />
2 n 1<br />
Fresnel-Formeln (e=einfallend, r=reektiert, g=gebrochen, A=Amplitude):<br />
• Reexionskoezient ⊥ zur Einfallsebene: ϱ s = Ars<br />
A es<br />
• Transmissionskoezient ⊥ zur Einfallsebene: τ s = Ags<br />
A es<br />
• Reexionskoezient || zur Einfallsebene: ϱ p = Arp<br />
A ep<br />
= − sin(α−β)<br />
sin(α+β)<br />
=<br />
= tan(α−β)<br />
tan(α+β)<br />
• Transmissionskoezient || zur Einfallsebene: τ s = Agp<br />
A ep<br />
=<br />
Reexionsvermögen: R =<br />
Ir cos α′<br />
I e cos α<br />
≈ Ir<br />
I e<br />
= A2 r<br />
A 2 e<br />
• Bei senkrechtem Einfall gilt: R(α = 0) =<br />
( ) 2<br />
n 1−n 2<br />
n 1+n 2<br />
2 sin β cos α<br />
sin(α+β)<br />
2 sin β cos α<br />
sin(α+β) cos(α−β)<br />
Transmissionsvermögen: T =<br />
Brewsterwinkel: tan α B = n2<br />
n 1<br />
Ig cos β n2 cos β A<br />
I e cos α<br />
= 2 g<br />
n 1 cos α A 2 e<br />
• ⇔ reektierte Welle ⊥ gebrochene Welle ⇔ α + β = 90 ◦<br />
• Keine Reexionsverluste unter dem Einfallswinkel α B<br />
Grenzwinkel der Totalreexion: sin α g = n2<br />
n 1<br />
• Nur beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium (n 1 > n 2 )<br />
Phasensprung von π der zur Einfallsebene senkrechten Komponente<br />
• bei reexion am optisch dichteren Medium<br />
2
Lichtausbreitung in anisotropen Medien<br />
In anisotropen Medien sind Ausbreitungsrichtung der Phasenächen ( ⃗ k) und die Richtung der Energieausbreitung ( ⃗ S)<br />
i.a. verschieden<br />
• ⃗ E und ⃗ k sind keine Vektoren mehr, sondern Tensoren<br />
Polarisiertes Licht kann erzeugt werden durch Reexion unter dem Brewsterwinkel, durch dichroitische Dünnschichtpolarisation<br />
und durch optisch doppelbrechende Kristalle.<br />
λ<br />
2π<br />
4<br />
-Plättchen: ∆ϕ =<br />
λ 0<br />
d(n 3 − n 1 )<br />
• Zirkular polarisierte Welle für ∆ϕ = π 2<br />
bei α = 45◦<br />
Geometrische Optik<br />
(Gegenstandsweite g, Bildweite b, Gegenstandsgröÿe G, Bildgröÿe B)<br />
Fermat'sches Prinzip: Licht wählt den Weg mit minimaler Lichtlaufzeit<br />
Reexion am sphärischen Spiegel mit Radius r:<br />
• Brennweite: f = 1 2 · r<br />
• Abbildungsgleichung: 1 g + 1 b = 1 f<br />
Abbildungsmaÿstab: β = B G = − b g<br />
Brechung an gekrümmter Grenzäche mit Radius r:<br />
• Brennweite: f 2 =<br />
n2<br />
n 2−n 1<br />
· r<br />
• Abbildungsgleichung: n1<br />
g<br />
+ n2<br />
b<br />
= n2−n1<br />
r<br />
= n2<br />
f 2<br />
= − n1<br />
f 1<br />
Brechung an dünner Linse mit Krümmungsradien r 1 , r 2 :<br />
( )<br />
• Brechkraft: 1 f = (n − 1) 1 [Dioptrie<br />
r 1<br />
− ]<br />
1 r 2<br />
= dbt = m<br />
−1<br />
• Brennweite für r 1 = r 2 = r : f = r 2<br />
n−1<br />
• Abbildungsgleichung: 1 g + 1 b = 1 f<br />
• Abbildungsmaÿstab: β =<br />
f<br />
f−g<br />
Brechung an dicker Linse mit Krümmungsradien r 1 , r 2 und Dicke d:<br />
(<br />
)<br />
• Brechkraft: 1 f = (n − 1) 1<br />
r 1<br />
− 1 r 2<br />
+ (n−1)·d<br />
n·r 1·r 2<br />
• Entfernung der Hauptebenen vom Linsenrand:<br />
h 1 = − (n−1)·f·d<br />
n·r 2<br />
h 2 = − (n−1)·f·d<br />
n·r 1<br />
• Abbildungsgesetz mit b, g, f bezogen auf die Hauptebenen: 1 g + 1 b = 1 f<br />
Linsensysteme:<br />
• Brechkraft: 1 f = 1 f 1<br />
+ 1 f 2<br />
− d<br />
f 1·f 2<br />
• Abbildungsmaÿstab: β = β 1 · β 2<br />
Matrixmethoden der geometrischen Optik<br />
Translation: (nα 1 , y 1 ) → (nα 2 , y 2 )<br />
( ) nα2<br />
=<br />
y 2<br />
( ) 1 0<br />
d<br />
n<br />
1<br />
} {{ }<br />
eT<br />
3<br />
( ) nα1<br />
·<br />
y 1
Reexion am spärischen Spiegel: (Krümmung ) )<br />
( ) nα2<br />
=<br />
y 2<br />
(<br />
1<br />
−2n<br />
r<br />
0 1<br />
)<br />
} {{ }<br />
eR )<br />
·<br />
( ) nα1<br />
y 1<br />
Für ebenen Spiegel:<br />
( )<br />
nα2<br />
=<br />
y 2<br />
( )<br />
1 0<br />
0 1<br />
} {{ }<br />
eR |<br />
·<br />
( )<br />
nα1<br />
y 1<br />
Brechung an Kugeloberäche mit Radius r 1 :<br />
(mit Brechkraft D 12 der gekrümmten Fläche: D 12 = n2−n1<br />
r 1<br />
)<br />
( ) ( )<br />
n2 α 2 1 −D12<br />
=<br />
y 2 0 1<br />
} {{ }<br />
Transformationsmatrix einer Linse:<br />
( ) (<br />
n3 α 3 1 − D23·d<br />
n<br />
=<br />
2<br />
y<br />
d<br />
3<br />
n 2<br />
eB 12<br />
·<br />
( )<br />
n1 α 1<br />
y 1<br />
−D 12 − D 23 + D12·D23·d<br />
n 2<br />
1 − D12·d<br />
)<br />
·<br />
n 2<br />
fM L<br />
} {{ }<br />
speziell: Transformationsmatrix für dünne Linse, d ≈ 0:<br />
(<br />
( ))<br />
1<br />
1 (n − 1) ·<br />
˜M dL =<br />
r 1<br />
− 1 r 2 =<br />
0 1<br />
Abbildungsmatrix:<br />
mit ˜M AB =<br />
(<br />
1 −<br />
g<br />
f<br />
g + b − b·g<br />
f<br />
− 1 f<br />
1 − b f<br />
)<br />
( )<br />
α1<br />
= ˜M<br />
B AB ·<br />
( )<br />
α1<br />
G<br />
, d.h. für achsenparalleln Strahl (α 1 = 0):<br />
( 1 −<br />
1<br />
)<br />
f<br />
0 1<br />
Jones-Vektoren und -Matrizen ( ) ( )<br />
Licht propagiert in z-Richtung: E ⃗ Ex E0x · e<br />
= =<br />
iϕx<br />
, |<br />
E y E 0y · e ⃗ √<br />
E| = E 2 iϕy x + Ey<br />
2<br />
( ) ( )<br />
Jones-Vektor: J ⃗ Jx<br />
= =<br />
J 1 E0x · e iϕx<br />
(beschreibt die Polarisation von Licht)<br />
y | E| ⃗ E 0y · e iϕy (<br />
• Horizontal polarisiertes Licht: J ⃗ 1<br />
h =<br />
0)<br />
(<br />
• Vertikal polarisiertes Licht: J ⃗ 0<br />
v =<br />
1)<br />
( )<br />
n1 α 1<br />
y 1<br />
( )<br />
• Linear polarisiertes Licht mit Winkel ϑ relativ zur x-Richtung: J ⃗ cos ϑ<br />
ϑ =<br />
sin ϑ<br />
( )<br />
• Linear polarisiertes Licht mit Winkel 45 ◦ relativ zur x-Richtung: J ⃗ 45 ◦ = √ 1 1<br />
2 1<br />
• Zirkular polarisiertes Licht:<br />
( )<br />
σ + -Licht: J ⃗ σ + = √ 1 1<br />
2 +i<br />
( )<br />
σ − -Licht: J ⃗ σ − = √ 1 1<br />
2 −i<br />
( ) ( )<br />
α2 −<br />
G<br />
f<br />
=<br />
B G · (1 − b f )<br />
4
( )<br />
• Elliptisch polarisiertes Licht: J ⃗ = 1 E0x<br />
| E| ⃗ E 0y · e −iϕ<br />
Jones-Matrizen (beschreiben polarisationsändernde Elemente):<br />
( ) 1 0<br />
• Linearer Polarisator (max. Transmission || x-Richtung): M (x) =<br />
0 0<br />
( )<br />
cos<br />
• Linearer Polarisator (max. Transmission unter Winkel θ gegen x-Achse): M (θ) =<br />
2 θ sin θ cos θ<br />
sin θ cos θ sin 2 θ<br />
( )<br />
e<br />
i∆ϕ x<br />
0<br />
• Optische Verzögerungsplatte, die die Polarisationsebene dreht: M =<br />
0 e i∆ϕy<br />
( )<br />
• λ-Plättchen: 4 M = e i π λ 4<br />
1 0<br />
4 0 −i<br />
( )<br />
• λ-Plättchen: i 0<br />
2 M = λ<br />
2 0 −i<br />
Kohärenz<br />
Zeitliche Kohärenz: die Phasendierenz zweier Teilwellen in einem Raumpunkt ⃗r ändert sich während der Beobachtungszeit<br />
∆t um weniger als 2π<br />
Kohärenzzeit: Maximale Zeitspanne ∆t C , während der sich Phasendierenzen zwischen allen im Punkt ⃗r überlagerten<br />
Teilwellen von höchsten 2π ändern<br />
∆t C = 2π<br />
∆ω = 1<br />
∆ν<br />
(∆ν: Frequenzbreite)<br />
Räumliche Kohärenz: die räumliche Dierenz der Phase ϕ i (⃗r 1 ) − ϕ i (⃗r 2 ) beliebiger Teilwellen ⃗ E i ändert sich während<br />
der Beobachtungszeit um weniger als 2π<br />
Kohärenzlänge: l C = c · ∆t C<br />
Kohärenzäche: Fläche ⊥ Ausbreitungsrichtung, für die gilt: ∆ϕ i (⃗r) = 0<br />
Kohärenzvolumen: Kohärenzlänge × Kohärenzäche<br />
Interferenz<br />
Wegdierenz: ∆s<br />
Konstruktive Interferenz: ∆ϕ = m · 2 · π / ∆s = m · λ (m = 0, 1, 2, ...)<br />
• Teilwellen in Phase<br />
• Maximale Intensität I max = c · ε 0<br />
(<br />
⃗E1 + ⃗ E 2<br />
) 2<br />
Destruktive Interferenz: ∆ϕ = (2m + 1) · π / ∆s = (2m + 1) · λ<br />
2<br />
(m = 0, 1, 2, ...)<br />
• Teilwellen gegenphasig<br />
• Minimale Intensität: I min = c · ε 0<br />
(<br />
⃗E1 − ⃗ E 2<br />
) 2<br />
Kohärenzbedingung für Doppelspalt: ∆s max ≈ b·d<br />
2·D < λ 2<br />
• d: Spaltabstand, D: Abstand Spalt-Lichtquelle, b: Ausdehnung der Lichtquelle<br />
Kohärenzäche einer ausgedehnten Lichtquelle: F C = d 2 ≤ λ2<br />
∆Ω<br />
• ∆Ω: Raumwinkel, unter dem die Lichtquelle von einem Punkt der Kohärenzäche aus erscheint<br />
5
Planparallele Platte: ∆ϕ = 2π λ ∆s − π<br />
Michelson-Interferometer: ∆ϕ = 2π λ ∆s<br />
Sagnac-Interferometer: ∆ϕ = 8πA<br />
c·λ<br />
· Ω · cos θ<br />
• A: umlaufene Fläche, Ω: Kreisfrequenz der Drehung, θ: Winkel zwischen Drehachse und Flächennormale<br />
Mach-Zehnder-Interferometer: ∆ϕ = 2π λ<br />
· ∆n · L (L: Länge des Mediums)<br />
Airy-Formeln für reektierte und transmittierte Intensität nach Vielstrahl-Interferenz:<br />
• I R = I 0 ·<br />
F ·sin 2 ( ∆ϕ<br />
2 )<br />
1+F ·sin 2 ( ∆ϕ<br />
2 )<br />
• I T = I 0 ·<br />
1<br />
1+F ·sin 2 ( ∆ϕ<br />
2 )<br />
• Finesse-Koezient: F =<br />
4R<br />
(1−R) 2<br />
• ∆ϕ kann verändert werden...<br />
durch Veränderung der <strong>Wellen</strong>länge λ bei festem ∆s: ∆ϕ = 2π λ ∆s<br />
durch Variation von ∆s bei festem λ<br />
Fabry-Pérot-Interferometer: ∆ϕ = 4π λ<br />
· n · d<br />
• <strong>Wellen</strong>längen, die maximal durchgelassen werden: λ m = 2·n·d<br />
m<br />
(m = 1, 2, ...)<br />
• Periode der Transmissionskurve / freier Spektralbereich des FPI:<br />
δλ = λ m − λ m+1 = 2·n·d<br />
m<br />
δν = ν m+1 − ν m =<br />
c<br />
2·n·d<br />
− 2·n·d<br />
m+1 = λm<br />
m+1<br />
• Finesse des FPI: F ∗ = δν<br />
∆ν = π√ R<br />
1−R = π 4<br />
√<br />
F<br />
• Halbwertsbreite der Transmissionsbereiche eines Interferometers: ∆ν = δν<br />
F ∗<br />
Beugung<br />
Beugung am Einzelspalt mit Breite b:<br />
• Minima: b · sin θ = m · λ<br />
• Maxima: b · sin θ = 2m+1<br />
2<br />
· λ (m ∈ Z\ {0, −1})<br />
(m = 1, 2, 3, ..., keine 0 da dort Hauptmaximum)<br />
• Intensität des in Richtung θ abgebeugten Lichts: I(θ) = I 0<br />
sin 2 x<br />
x 2<br />
mit x = π·b<br />
λ<br />
( ) 2<br />
Beugung an Kreisblende mit Radius R: I(θ) = I 2·J1(x)<br />
0 x mit x =<br />
2·π·R<br />
λ<br />
· sin θ und J 1 (x) Besselfunktion 1. Ordnung<br />
• 1. Nullstelle von I(θ) bei sin θ 1 = 0, 61 λ R<br />
Beugung am Gitter / Doppelspalt mit Spaltabstand d, Spaltbreite b:<br />
• Minima: d · sin θ = 2m+1<br />
2<br />
· λ<br />
• Maxima: d · sin θ = m · λ<br />
sin 2 [ π · b<br />
λ · sin θ]<br />
• Intensität: I(θ) = I 0 [<br />
π · b<br />
λ · sin θ] 2<br />
} {{ }<br />
Einhuellende<br />
· sin2 [N·π· d<br />
λ<br />
sin 2 [π· d<br />
λ<br />
·sin θ]<br />
·sin θ]<br />
Fraunhofer-Beugung für parallel einfallende Lichtbündel → Beobachtung im Fernfeld<br />
· sin θ<br />
Fresnel-Beugung: divergenter bzw. konvergenter Lichteinfall → Beobachtung im Nahfeld<br />
Fresnel-Kirchhosches Beugungsintegral: E P = ∫ ∫ C · E S · e−ikr<br />
r<br />
dx dy<br />
6
• Feldamplitude im Punkt P der beleuchteten Önung S des Schirms<br />
• C = i cos θ<br />
λ<br />
• E S = A R ei(ωt−kR)<br />
Babinetsches Theorem: E P (σ) = ∑ i E P (σ i )<br />
• Komplementäre Beugungsächen ergeben gleiches Beugungsmuster<br />
Fourier-Darstellung: Das Fraunhofer-Beugungsbild E(x ′ , y ′ , z 0 ) ist proportional zur Fouriertransformierten der Feldverteilung<br />
E(x, y) in der beugenden Önung.<br />
Lichtstreuung<br />
Kohärente Streuung: Oszillatoren regelmäÿiger Anordnung (z.B. kristalliner Festkörper)<br />
Inkohärente Streuung: statistisch verteilte oder zeitlich variierende Phasen der streuenden Oszillatoren (z.B. Gas,<br />
Flüssigkeit, Pulver...)<br />
Mie-Streung: Streuung an Mikropartikeln (z.B. Staub, Nebel)<br />
Optische Instrumente<br />
Sehwinkel: ε = G g<br />
• Sehwinkel = Winkel zwischen Randstrahlen<br />
Deutliche Sehweite / Bezugssehweite: s 0 = 25 cm<br />
Vergröÿerung: V =<br />
Sehwinkel ε mit Instrument<br />
Sehwinkel ε 0 ohne Instrument<br />
Lupe: Sammellinse kurzer Brennweite f<br />
• Normalvergröÿerung: V L = s0<br />
f<br />
Mikroskop: V M = −<br />
t·s0<br />
f OB·|f OK |<br />
(t = d − f OK : optische Tubuslänge)<br />
Fernrohr: V F = f OB<br />
f OK<br />
Rayleigh-Kriterium: zwei punktförmige Lichtquellen lassen sich in der Bildebene trennen, falls das Maximum des einen<br />
Beugungsscheibchens auf das 1. Minimum des anderen fällt<br />
Auösbarer Winkelabstand: δ min = 1, 22 · λ<br />
D<br />
Winkelauösungsvermögen: R W = 1<br />
δ min<br />
= D<br />
1,22·λ<br />
Auösung Mikroskop: ∆x min = 1, 22 ·<br />
• Numerische Aperatur: NA = n · sin α<br />
λ<br />
Spektrales Auösungsvermögen:<br />
∆λ = ∆smax<br />
λ<br />
• ∆ν · ∆T max ≥ 1<br />
Prismenspektrometer:<br />
(D: Durchmesser der Instrumentenönung)<br />
λ V ak<br />
2·n·sin α = 0, 61 · λV ak<br />
NA<br />
(∆T max : maximale Laufzeitdierenz)<br />
• Ablenkwinkel θ(λ): dθ<br />
dλ = 2 sin( γ 2 )<br />
√<br />
1−n2·sin 2 γ 2<br />
· dn<br />
dλ<br />
• γ: Prismenwinkel, dn<br />
dλ<br />
: Dispersion des Prismas<br />
λ<br />
• Spektrales Auösungsvermögen:<br />
∆λ = a dθ<br />
2 dλ<br />
Gitterspektrometer:<br />
(∆s max : maximaler Wegunterschied)<br />
(<br />
) −<br />
• Winkeldispersion dβ<br />
dλ = m<br />
d·cos β = d 2 cos 2 1<br />
α<br />
m<br />
+ 2·d·λ<br />
2 m sin α − λ2 2<br />
(a: Durchmesser des eintretenden Lichtbündels)<br />
7
• Spektrales Aufösungsvermögen:<br />
λ<br />
∆λ ≤ m · N<br />
• m: Interferenzordnung, N: Gesamtzahl der beleuchteten Gitterstriche<br />
Fresnellinse wirkt wie Linse mit Brennweite f = s 0 = r2 1<br />
λ<br />
Gase<br />
Boyle-Mariott'sches Gesetz: p · V = const<br />
[ ]<br />
Kompressibilität: κ = − 1 ∂V m 2<br />
V ∂p N<br />
Thermodynamik<br />
• bei konstanter Temperatur T: κ = 1 p<br />
Bei konstanter Temperatur gilt: Dichte ϱ ∼ Druck p<br />
[<br />
Druck: p = F A P a =<br />
N<br />
m<br />
, bar = 10 5 P a ]<br />
2<br />
• p · V = 3 2 · N · 1<br />
2 · m · v2<br />
} {{ }<br />
E kin<br />
−ϱ0·g·h<br />
p<br />
Barometrische Höhenformel: p = p 0 · e 0<br />
Absolute Temperatur T: m 2 · v2 = 3 2 · k B · T<br />
Allgemeine Gasgleichung: p · V = N · k B · T<br />
Gleichverteilungssatz: in einem Gas der Temperatur T verteilt sich die Energie der einzelnen Moleküle durch Stöÿe<br />
gleichmäÿig auf alle Freiheitsgrade<br />
• Mittlere Energie jedes Teilchens: E kin = f · 1<br />
2 · k B · T (f: Zahl der Freiheitsgrade)<br />
Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung: f MB (v)dv =<br />
Ficksches Gesetz: ⃗j = Dgrad n<br />
• Teilchenstromdichte ⃗j<br />
√<br />
2<br />
π<br />
(<br />
m<br />
k B·T<br />
) 3<br />
2<br />
v 2 e −<br />
mv2<br />
2·k B ·T<br />
dv<br />
• Diusionskonstante D = Λv<br />
3<br />
(Λ: mittlere freie Weglänge, v: mittlere Geschwindigkeit)<br />
• und D = 1<br />
n·σ<br />
√<br />
8·k B·T<br />
9·π·m<br />
Wärmeleitfähigkeit: λ = 1 f·k B·v<br />
12 σ<br />
(σ: Stoÿquerschnitt, m: Masse, n: Dichte)<br />
[<br />
J<br />
m·s·K<br />
Temperatur<br />
Längenänderung eines Stabes: L(T C ) = L(0) · (1 + α · T C )<br />
• T C : Temperatur in ◦ Celsius<br />
• Linearer Ausdehnungskoezient α = ∆L<br />
L·T C<br />
Volumenänderung eines Gases (Druck konstant): V (T C ) = V 0 · (1 + γ V · T C )<br />
• Ausdehnungskoezient γ V = V (T C)−V 0 1<br />
1<br />
V 0·T C<br />
=<br />
273,15 ◦ C<br />
= 3, 66 · 10−3 ◦ C<br />
(relative Volumenänderung pro Grad Temperaturänderung)<br />
Absolute Temperatur: T = T 0 · (1 + γ · T C ) = T 0 +<br />
Temperatur in ◦ Celsius: T C<br />
◦ C = T K<br />
− 273, 15<br />
]<br />
(relative Längenänderung pro Grad Temperaturänderung)<br />
T0<br />
273,15 T C<br />
Avogadro-Konstante (# Atome / Moleküle pro Mol): N A = 6, 023 · 10 23 mol −1<br />
8
• 1 mol eines Gases nimmt, unabhängig von der Gasart, unter gleichen äuÿeren Bedingungen immer das gleiche<br />
Volumen ein (soweit Gas=ideales Gas): V mol = 22, 4 dm 3 (T = 0 ◦ C, p = 1 bar)<br />
Allgemeine Gaskonstante: R = N A · k B = 8, 31<br />
J<br />
K·mol<br />
Zustandsgleichung des idealen Gases: p · V = ν · R · T<br />
• ν =<br />
V<br />
V mol<br />
: Zahl der Moleküle im Volumen V<br />
• Zustandsänderungen:<br />
T=const isotherme Zustandsänderung p · V = const<br />
p=const isobare Zustandsänderung<br />
V<br />
T<br />
= const<br />
V=const isochore Zustandsänderung<br />
p<br />
T = const<br />
Wärmemenge und spezische Wärme<br />
Temperaturänderung ∆T bei Energiezufuhr ∆W: ∆W = ∆Q = c · m · ∆T<br />
• ∆Q: Wärmeenergie [J = Nm = W s]<br />
• c: spezische Wärme<br />
(Wärmemenge, die benötigt wird um die Temperatur einer Masse m = 1 kg um ∆T = 1K zu erhöhen)<br />
• Wärmekapazität: ∆Q<br />
∆T<br />
Innere Energie eines Gases (N Moleküle): U = 1 2 · f · N · k B · T<br />
• Innere Energie eines Mols: U = 1 2 · f · N A · k B · T<br />
• Freiheitsgrade: f = f trans + f rot + f vib<br />
Lineares Molekül mit n Atomen: f trans = 3, f rot = 2, f vib = 2 · (3n − 5) ⇒ f = 6n − 5<br />
Nichtlineares Molekül mit n Atomen: f trans = 3, f rot = 3, f vib = 2 · (3n − 6) ⇒ f = 6n − 6<br />
Spezische Molwärme bei konstantem Volumen: C V = 1 2 · f · R = ( )<br />
∂U<br />
∂T V<br />
• Wärmemenge pro Mol: ∆Q = C V · ∆T<br />
Spezische Molwärme bei konstantem Volumen: C p = C V + R = 1 2<br />
(f + 2) R<br />
Adiabatenindex: κ = Cp<br />
C V<br />
= f+2<br />
f<br />
Dulong-Petitsches Gesetz: C V = 6 · 1<br />
2 · N A · k B = 3R (maximaler Wert bei Festkörpern)<br />
Wärmeleitung in Festkörpern<br />
Durch Querschnittsäche A ieÿt konstante Wärmemenge dQ<br />
dt<br />
= −λ · A · dT<br />
dx<br />
Allgemeine Wärmeleitungsgleichung: ∂T<br />
∂t<br />
• λ<br />
c·ϱ = λ T : Temperaturleitzahl<br />
= λ<br />
c·ϱ ∆T<br />
• falls Temperaturgradient nur in eine Richtung: ∂T<br />
∂t<br />
= λ ∂ 2 T<br />
c·ϱ ∂x 2<br />
Wiedemann-Franz-Gesetz (Wärmeleitung in Metallen): λ σ = π2·k 2 B<br />
3·e 2 · T<br />
• σ: elektrische Leitfähigkeit, e: Elementarladung<br />
9
Wärmestrahlung<br />
Integrales Absorptionsvermögen: A ∗ =<br />
absorbierte Strahlungsleistung<br />
aufgenommene Strahlungsleistung<br />
• Körper mit A ∗ = 1: schwarzer Körper mit gröÿtem Emissionsvermögen bei gleicher Temperatur im Vergleich<br />
zu Körpern mit A ∗ < 1<br />
• E∗ (T )<br />
A ∗ (T ) = K(T )<br />
(E ∗ : Emissionsvermögen, K: Konstante, die nur von T abhängt, nicht vom Material)<br />
Kirchhosches Gesetz für Hohlraumstrahlung: E∗ ν<br />
A ∗ ν<br />
= S ∗ ν(T )<br />
• S ∗ ν: Spektrale Strahlungsdichte, A ∗ ν, E ∗ ν: spektrales Emissions- / Absorptionsvermögen bei der Frequenz ν<br />
Hauptsätze der Thermodynamik<br />
Vorzeichen:<br />
• vom System verrichtete Arbeit (Energie wird kleiner): negativ<br />
• dem System zugeführte Arbeit: positiv<br />
1. Hauptsatz (Energieerhaltung): ∆U = ∆Q + ∆W<br />
• ⇔ Es gibt kein perpetuum mobile 1. Art<br />
• ⇔ Ideales Gas: dU = dQ − p · dV<br />
(Im Folgenden Prozesse für 1 mol eines Gases, ν =<br />
Isochore Prozesse (V = const ⇒ dV = 0)<br />
• dQ = dU = C V · dT<br />
• C V = ( )<br />
∂U<br />
∂T<br />
• ∆W = 0<br />
Isobare Prozesse (p = const)<br />
V<br />
• dQ = C p · dT<br />
• Enthalpie: H = U + pV<br />
• dQ = dH = dU + p · dV<br />
• C p = ( )<br />
∂H<br />
∂T<br />
p<br />
Isotherme Prozesse (T = const ⇒ dU = 0)<br />
• dQ = p · dV = −dW<br />
• W = − ∫ V 2<br />
V 1<br />
p · dV = −R · T ∫ V 2 dV<br />
V 1 V<br />
• p · V = const<br />
Adiabatische Prozesse (dQ = 0)<br />
• dU = C V · dT = −p · dV<br />
V1<br />
= R · T · ln<br />
V 2<br />
• Poisson'sche Gleichungen / Adiabatengleichungen:<br />
T · V κ−1 = const<br />
p · V κ = const<br />
V<br />
V mol<br />
= 1)<br />
10
2. Hauptsatz:<br />
• Wärme ieÿt von selbst immer nur vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt<br />
• ⇔ es gibt kein perpetuum mobile 2. Art<br />
Kreisprozess: System kehrt nach mehreren Zustandsänderungen in den Ausgangszustand zurück<br />
• reversibel: Kreisprozess kann in beide Richtungen durchlaufen werden<br />
Carnot'scher Kreisprozess:<br />
1. isotherme Expansion<br />
2. adiabatische Expansion<br />
3. isotherme Kompression<br />
4. adiabatische Kompression<br />
Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses: η = ∆Q<br />
∆Q = 1 − T2<br />
T 1<br />
Entropie<br />
Reduzierte Wärmemenge: ∆Q<br />
T<br />
Entropie S: dS = dQ reversibel<br />
T<br />
• bei einem reversiblen Kreisprozess bleibt die Entropie konstant<br />
• ∆S isobar = C V · ln T2<br />
T 1<br />
+ R · ln V2<br />
V 1<br />
• ∆S isochor = C p · ln T2<br />
T 1<br />
− R · ln p2<br />
p 1<br />
• ∆S isotherm = ∆Q<br />
T<br />
• S = k B · ln W<br />
V2<br />
= R · ln<br />
V 1<br />
(W: Realisierungsmöglichkeiten des Zustands)<br />
• S[bit] = − ∑ W<br />
i=1 p i log 2 p i (p i : Wahrscheinlichkeit, dass Zustand i vorliegt)<br />
• Umrechnung: S[J/K] = S[bit] · k B · ln 2<br />
• Mischungsentropie: ∆S mix = k B<br />
∑i N i · ln N N i<br />
(N i : Anzahl Moleküle der zu mischenden Volumina)<br />
Thermodynamische Potenziale<br />
Erhaltungsgröÿe bei...<br />
innere Energie U(S, V ) dU ≤ T · dS − p · dV adiabatisch-isochor<br />
Enthalpie H(S, p) H = U + p · dV dH ≤ T · dS + V · dp adiabatisch-isobar<br />
freie Energie F (T, V ) F = U − T · S dF ≤ −S · dT − p · dV isotherm-isochor<br />
freie Enthalpie G(T, p) G = U + p · V − T · S dG ≤ −S · dT + V · dp isotherm-isobar<br />
• =: reversibel,
• T = ( )<br />
∂U<br />
∂S V = ( )<br />
∂H<br />
∂S p<br />
• Thermodynamische Prozesse verlaufen so, dass thermodynamische Potenziale minimiert werden (im Minimum:<br />
Gleichgewichtszustand)<br />
• Die Zunahme der freien Energie eines isothermen Systems ist höchstens gleich der in das System hineingesteckten<br />
Arbeit: dF ≤ dW<br />
• Spontane chemische Reaktion für G abnehmend, also ∆G < 0<br />
3. Hauptsatz:<br />
• Entropie aller reinen kondensierten Stoe geht für T → 0 gegen den selben Grenzwert<br />
• ⇔ lim T →0 S(T ) = 0<br />
• ⇔ der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ist ein Zustand maximaler Ordnung,<br />
nur eine Realisierungsmöglichkeit W = 1<br />
• ⇔ es ist prinzipiell unmöglich, den absoluten Temperatur-Nullpunkt zu erreichen<br />
Reale Gase und Flüssigkeiten<br />
Van-der-Waals-Gleichung eines realen Gases: ( )<br />
p +<br />
a · (V<br />
Vmol<br />
2 mol − b) = R · T<br />
• a: Stokonstante, b = 4 · N · V Atom : Kovolumen<br />
• Binnendruck: p B = a<br />
V 2<br />
Clausius-Clapeyron-Gleichung: Verdampfungswärme W V = T · dps<br />
dT (V D − V fl )<br />
• V D : Molvolumen Dampfphase, V fl : Molvolumen üssige Phase, dps<br />
dT : Steigung der Dampfdruckkurve p s(T )<br />
• Ursachen:<br />
Vergröÿerung des Volumens V fl → V D gegen äuÿeren Druck<br />
Vergröÿerung des Molekülabstands im Potenzial<br />
Van't Hosche Gleichung: p s (T ) = A · p 0 · e − W V<br />
R·T<br />
Van-der-Waals-Konstanten: a = 3 · p k · V 2<br />
k , b = 1 3 V k<br />
mit A = e W V<br />
R·T 0<br />
((p k , V k ): kritischer Punkt)<br />
Joule-Thomson-Eekt: Abkühlung durch Expansion ohne Verrichtung von Arbeit ist möglich<br />
Inversionstemperatur: T I = 2·a<br />
b·R<br />
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