Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung

• Green'sche Funktion ∼ = Potential einer Punktladung
Potenzielle Energie: W = 1
4πε 0
∑ N
i=1
∑ N
j=1,j≠i
• Punktladung: W j = q j · φ(⃗r j )
q iq j
|⃗r j−⃗r i|
• Kontinuierliche Ladungsverteilung: W = ∫ d 3 r ε0 2
• Energiedichte: U(⃗r) = ε0ε
2
∣E(⃗r)
⃗ ∣
Kapazität: q i = ∑ N
j=1 C ijφ j
• C ij : Kapazitätsmatrix
• für N = 1 : q = C · φ, W = 1 2 · C · φ2 = Q2
2·C
Multipolentwicklung:
• Monopolmoment: Q = ∫ d 3 r ′ ϱ(⃗r ′ )
• Dipolmoment: ⃗p = ∫ d 3 r ′ ⃗r ′ · ϱ(⃗r ′ )
∣ 2
∣E(⃗r)
⃗ ∣
• Quattropolmoment: Q i,j = ∫ d 3 r [ ′ 3 · r i ′ r′ j − ] |⃗r′ | 2 δ ij · ϱ(⃗r ′ )
[
• φ(⃗r) = 1 Q
4πε 0 |⃗r| + ⃗p·⃗r
|⃗r|
+ 1 3 2 · ∑3
]
i,j=1 Q i,j rirj
|⃗r|
+ ...
5
Magnetostatik
Statik ⇒ ⃗ ∇ · ⃗B = 0, ⃗ ∇ × ⃗ B = µ0 ⃗j
Stromdichte in der Magnetostatik: ⃗j = ⃗v · ϱ(⃗r)
Vektorpotenzial und Eichfreiheit: ⃗ ∇ · ⃗B = 0 ⇔ ⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A
• Eichfreiheit Λ: gleiches Ergebnis für ⃗ A ′ (⃗r) = ⃗ A(⃗r) + ⃗ ∇ ⃗ Λ(⃗r) mit ⃗ ∇ × ⃗ Λ = 0
∣ 2
Coulomb-Eichung: ∆A ⃗ = −µ 0
⃗j
• im freien Raum: A(⃗r) ⃗ ∫
= µ0
4π d 3 r ′ ⃗ j(⃗r ′ )
|⃗r−⃗r ′ |
Gesetz von Biot-Savard: B ⃗ = ∇ ⃗ × A ⃗ = µ0
4π
∫V d3 r ′ ⃗ j(⃗r ′ )×(⃗r−⃗r ′ )
|⃗r−⃗r ′ | 3
∫
d 3 r ′ ⃗r ′ × ⃗j(⃗r ′ )
Magnetisches Dipolmoment: ⃗m = 1 2
Magnetisches Dipolfeld: ⃗ B(⃗r) = µ0
4π
[ ]
3·⃗r·(⃗r· ⃗m)− ⃗m·|⃗r|
2
|⃗r| 5
Lorentz-Kraft auf Punktladung: F ⃗ = Q · (⃗v × B) ⃗ ∫
= µ0
4π d 3 r ∫ d 3 r ′ ⃗ j(⃗r)×( ⃗ j(⃗r ′ )×(⃗r−⃗r ′ ))
|⃗r−⃗r ′ | 3
Energiedichte im Magnetfeld: u(⃗r) = | ⃗ B(⃗r)| 2
Elektrodynamik
Faraday'sches Induktionsgesetz: ∮ ∂S ⃗ E d⃗r = −∂ t
∫S ⃗ B d ⃗ A
Magnetischer Fluss: φ(t) = ∫ S ⃗ B d ⃗ A
2µ 0
Elektro-Motorische Kraft: E = ∮ ∂S ⃗ E d⃗r = −∂ t φ
Ampère'sches Induktionsgesetz: ∮ ∂S ⃗ B d⃗r = µ 0
∫
S
⃗j dA
⃗ + 1 c
∂ 2 t E
∫S ⃗ dA
⃗
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4