Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung

Elektrodynamik
Maxwell-Gleichungen:
• ⃗ ∇ · ⃗E = ϱ ε 0
• ⃗ ∇ · ⃗B = 0
• ⃗ ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
• ⃗ ∇ × ⃗ B = µ 0
⃗j + 1 c 2 ∂ ⃗ E
∂t
Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung): ∂ t ϱ(⃗r, t) + ⃗ ∇ · ⃗j(⃗r, t) = 0
Elektrostatik
Gauÿ'sches Gesetz: ∮ ∂V
Elektrisches Feld: ⃗ E = − ⃗ ∇φ
⃗ E d ⃗ A = Q V
ε0
Poisson-Gleichung: ∆φ(⃗r) = − ϱ(⃗r)
ε 0
Laplace-Gleichung: ∆φ = 0
Superpositionsprinzip: ϱ(⃗r) = a · ϱ 1 (⃗r) + b · ϱ 2 (⃗r) ⇒ φ = a · φ 1 + b · φ 2
Raumladungsdichte einer Punktladung am Ort ⃗r ′ : ϱ(⃗r) = Q · δ(⃗r − ⃗r ′ )
Elektrisches Potenzial einer Punktladung Q am Ort ⃗r ′ im freien Raum: φ(⃗r) =
Elektrisches Potenzial einer beliebigen Ladungsverteilung: φ(⃗r) = 1
4πε 0
∫
d 3 r ′ ϱ(⃗r ′ )
|⃗r−⃗r ′ |
Coulomb-Gesetz:
• ⃗ E = − ⃗ ∇φ =
Q ⃗r−⃗r ′
4πε 0 |⃗r−⃗r ′ | 3
• ⃗ F = q ⃗ E = Qq
4πε 0
⃗r−⃗r ′
|⃗r−⃗r ′ | 3
Im Potenzialfeld gilt: W = q · (φ(⃗r ′ ) − φ(⃗r))
Dirichlet-Randbedingung für eindeutige Lösung:
• Potenzial auf ∂V gegeben
• G D (⃗r, ⃗r ′ ) = 0 auf ∂V
Q
4πε 0
1
|⃗r−⃗r ′ | =
∫
• Allgemeine Lösung: φ(⃗r) = 1
4πε 0 V d3 r ′ G D (⃗r, ⃗r ′ ) · ϱ(⃗r ′ ) − 1
4π
∫∂V φ(⃗r) · ∂G D(⃗r,⃗r ′ )
∂n ′
Neumann'sche Randbedingung:
• Normalenableitung von φ auf ∂V gegeben
Q
4πε 0
G(⃗r, ⃗r ′ )
• ∂G N (⃗r,⃗r ′ )
∂n
:= −4π
|∂V |
auf ∂V
• Allgemeine Lösung: φ(⃗r) = 1
4πε 0
∫
V d3 r ′ G N (⃗r, ⃗r ′ ) · ϱ(⃗r ′ ) + 1
4π
∮
∂V
∂φ(⃗r ′ )
∫
∂n
· G ′ N (⃗r, ⃗r ′ ) dA ′ + 1
|∂V | ∂V dA′ φ(⃗r ′ )
Oberächenladungsdichte: σ(⃗r) = −ε 0
∂φ
∂n
Green'sche Funktion: ∆G(⃗r, ⃗r ′ ) = −4π · δ(⃗r − ⃗r ′ ) + Randbedingungen
• G(⃗r, ⃗r ′ ) = G(⃗r ′ , ⃗r)
• ∆G(⃗r, ⃗r ′ ) = ∆ ′ G(⃗r, ⃗r ′ ) [∆ ′ = Dierenziere nach ⃗r ′ ]
• G(⃗r, ⃗r ′ ) =
1
|⃗r − ⃗r ′ + F (⃗r, ⃗r ′ ) mit ∆F (⃗r, ⃗r ′ ) = 0 in V ⇔ ∆ ′ F (⃗r, ⃗r ′ ) = 0 in V
|
} {{ }
} {{ }
fuer andere Randbed.
Lsg. fuer freien Raum
3