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Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung

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Flächenintegral: ∫ S ⃗ F d ⃗ A = ∫ D du dv ⃗ F (⃗x(u, v)) · ⃗n(u, v)<br />

• Tangentialvektoren an Fläche: ⃗x u = ∂⃗x(u,v)<br />

∂u<br />

, ⃗x v = ∂⃗x(u,v)<br />

∂v<br />

• Normalenvektor ⃗n(u, v) = ⃗x u × ⃗x v<br />

Integralsätze:<br />

• Satz von Gauÿ: ∫ V d3 r ⃗ ∇ · ⃗F = ∮ ∂V<br />

⃗ F d ⃗ A<br />

V: Volumen (geschlossen)<br />

∂V : zugehörige Oberäche<br />

• Satz von Stokes: ∫ ( )<br />

⃗∇<br />

S × F ⃗ · dA ⃗ = ∮ F ⃗ d⃗s<br />

∂S<br />

S: Fläche (oen)<br />

∂S: zugehöriger Randweg<br />

• 1. Green'scher Satz: ∫ [<br />

V d3 r f(⃗r)(∆g(⃗r)) + ( ∇f(⃗r)) ⃗ · ( ∇g(⃗r)) ⃗ ]<br />

= ∮ ∂V f(⃗r) · ⃗∇g(⃗r) · dA<br />

⃗<br />

• 2. Green'scher Satz: ∫ V d3 r [f(⃗r)(∆g(⃗r)) − g(⃗r)(∆f(⃗r))] = ∮ ∂V<br />

Dirac'sche δ-Funktion<br />

δ-Funktion: ∫ ∞<br />

−∞ dx f(x) · δ(x − x 0) = f(x 0 )<br />

• ∫ R 3 d 3 r f(⃗r) · δ(⃗r − ⃗r 0 ) = f(⃗r 0 )<br />

• δ(⃗r − ⃗r 0 ) = δ(x − x 0 ) · δ(y − y 0 ) · δ(z − z 0 )<br />

• ∫ ∞<br />

−∞ dx f(x) · δ′ (x − x 0 ) = −f ′ (x 0 )<br />

• δ(g(x)) = ∑ i<br />

1<br />

|g ′ (x i)| δ(x − x i), x i Nullstellen von g<br />

• Darstellungen (jeweils a → 0):<br />

δ a (x) = 1<br />

a √ x2<br />

e− a<br />

π 2<br />

δ a (x) = 1 a<br />

π a 2 +x 2<br />

δ a (x) = 1<br />

2a e−| x a |<br />

1<br />

δ a (x) = ∂ x<br />

1+e − x a<br />

δ a (x) =<br />

a<br />

πx 2 sin 2 x a<br />

Fourier-Transformation<br />

Fourier-Darstellung von f(x): f(x) = 1 √<br />

2π<br />

∫ ∞<br />

−∞ dk ˜f(k) · e ikx<br />

Fourier-Transformierte von f(x): ˜f(k)<br />

∫<br />

= √ 1 ∞<br />

2π<br />

dx f(x) · e−ikx<br />

−∞<br />

Rechenregeln:<br />

• f ′ (x) ⇔ ik · ˜f(k)<br />

• f (n) (x) ⇔ (ik) n · ˜f(k)<br />

• f(x − x 0 ) ⇔ e ikx0 · ˜f(k)<br />

• δ(x − x 0 ) ⇔ 1 √<br />

2π · e ikx0 2<br />

[<br />

f(⃗r) ∇g(⃗r) ⃗ − g(⃗r) ∇f(⃗r) ⃗ ]<br />

dA<br />

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