Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung

Teilchen im allgemeinen elektromagnetischen Feld
(
Hamilton-Operator: Ĥ = 1
2m i ∇ − q ⃗ 2
c
A)
+ q · φ
Eich-Transformationen:
• ⃗ A → ⃗ A ′ + ∇χ
• φ → φ ′ − ∂ t χ
• Ψ → Ψ ′ = e i q
·c χ : angepasste Wellenfunktion
Wasserstoatom
Schrödinger-Gleichung: [ ]
− 2
2m ∆ − e2 1
4πε 0 r
Ψ = EΨ
Wellengleichung: Ψ(r, θ, φ) = R(r) · Y (θ, φ)
(
• Winkelanteil / Kugelächenfunktionen: Y l,m = (−1) m ·
l ∈ N: Drehimpulsquantenzahl
−l ≤ m ≤ l: magnetische Quantenzahl
2l+1
4π
(l−|m|)!
(l+|m|)!
P |m|
l
(x) = (1 − x 2 ) |m|
2 · ∂ x
|m| P l (x): Assoziierte Legendre-Polynome
P l (x) = 1
2 l·l! · ∂l x(x 2 − 1) l : Legendre-Polynom
Eigenschaften der Kugelächenfunktionen:
∗ ∫ 2π
dφ ∫ π
0 0 dθ sin θ |Y l,m(θ, φ)| 2 = 1
∗ ∫ 2π
dφ ∫ π
∗
dθ sin θ Y
0 0 l ′ ,m ′(θ, φ) Y l,m(θ, φ) = δ ll ′δ mm ′
Beispiele:
∗ Y 0,0 = √ 1
√ 4π
3
∗ Y 1,0 =
4π · cos θ
√
∗ Y 1,±1 = ∓
3
8π
(
• Radialteil: R n,l (r) =
· sin θ · e±iφ
) 3
2 1
a 0
√
2
·
n 2·(n+l)! · (n−l−1)!
(n+l)!
· ϱ l · e − ϱ 2 · L 2l+1
n+1 (ϱ)
a 0 = 4πε02
m·e
≈ 0, 529 · 10 −10 m: Bohr'scher Radius
2
ϱ = 2
n·a 0
· r
L s r(ϱ) = ∂ϱL s r (ϱ): Assoziierte Laguerre-Polynome
L r (ϱ) = e ϱ · ∂ϱ(ϱ r r · e −ϱ ): Laguerre-Polynom
(
• Zusammengefasst: Ψ n,l,m (r, θφ) =
) 1
4·(n−l−1)! 2
(n·a 0) 3·n((n+l)!) 3
) 1
2
· P |m|
l
· (cos θ) · e i·m·φ
· ϱ l · L 2l+1
n+1 (ϱ) · e− ϱ 2 · Y l,m (θ, phi)
Energieeigenwert: E n = − R H
n 2 , n ∈ N\ {0}
m·e
• R H = 4
2 2·(4πε 0)
≈ 13, 605 eV
2
Spektrallinien: ∆E = E n − E m = · ω
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