Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung

Vertauschungsrelationen, Kommutatoren, Anti-Kommutatoren
Kommutator: [Â, ˆB] = Â ˆB − ˆBÂ
• Impuls und Ort: [ˆp x , ˆx] = i
• [ˆL, ˆM] = −[ ˆM, ˆL]
• [ˆL, ˆL] = 0
• [ˆL, a ˆM] = a[ˆL, ˆM]
• [ˆL 1 + ˆL 2 , ˆM] = [ˆL 1 , ˆM] + [ˆL 2 , ˆM]
• [ˆL 1 ˆL2 , ˆM] = [ˆL 1 , ˆM]ˆL 2 + ˆL 1 [ˆL 2 , ˆM]
•
[ˆL1 , [ˆL 2 , ˆL 3 ]]
+
[ˆL2 , [ˆL 3 , ˆL
]
1 ] +
[ˆL3 , [ˆL 1 , ˆL
]
2 ] = 0
Anti-Kommutator: { Â, ˆB
}
= Â ˆB + ˆBÂ
Einfache Systeme
Freies Teilchen: i∂ t Ψ = − 2
2m ∆Ψ
• Ansatz: Ψ = A · e ±i(⃗ k⃗r−ωt)
• ⇒
}{{}
ω
E
Ψ = 2 k 2
2m
} {{ }
⃗p 2
2m
Ψ
Harmonischer Oszillator: ( )
− 2 d 2
2m dx
+ 1 2 2 mω2 x 2 ϕ = Eϕ
• Lösung kompliziert (mit Hermite-Polynomen etc.), deshalb:
• :⇔ Ĥϕ n = E n ϕ n
E n = · ω · (n + 1 2 ), n ∈ N 0
∫ d 3 r ϕ ∗ n(⃗r) ϕ m (⃗r) = δ nm
Ĥ = · ω · (↠â + 1 2 )
∗ â = √ m·ω
2 · ˆx + i · √ 1
2m·ω· · ˆp x : Absteiger-Operator
∗ â † = √ m·ω
2 · ˆx − i · √ 1
2m·ω· · ˆp x : Aufsteiger-Operator
√
∗ ˆx =
∗ ˆp x = 1 i ·
2m·ω · (â † + â )
√
m··ω
2
· (â † − â )
∗ âϕ n = √ n · ϕ n−1 , âϕ 0 = 0
∗ â † ϕ n = √ n + 1 · ϕ n+1
∗ [â, â † ] = 1
∗ [â m , â † ] = m · a m−1 , [â, (â † ) m ] = m · (â † ) m−1
∗ ˆn = â † â, [ˆn, â m ] = −m · a m , [ˆn, (â † ) m ] = m · (â † ) m
Unschärferelation
Unschärfe einer physikalischen Gröÿe Ô im Zustand Ψ(⃗r, t): (∆O2 ) Ψ = ∫ 〉 ) 2
d 3 r Ψ
(Ô ∗ −
〈Ô Ψ
Ψ
• = 0 in Eigenzuständen
• Statistische Aussage, hängt vom Zustand des Systems ab
〈
Unschärferelation: (∆Q 2 ) Ψ · (∆R 2 ) Ψ ≥ 1 4
∣ [
• ∆x · ∆p ≥ 2
〉
ˆQ, ˆR]
• Statistische Aussage, Unsicherheit ist nicht in der Messung, sondern in der Vorhersage
∣
∣ 2
Ψ
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