Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung

Theoretische Physik C für das Lehramt - Formelsammlung
von Julian Merkert, Wintersemester 2006/07, Prof. Busch
Mathematik
Mathematik der Felder
Bezeichnung: Skalares Feld φ(⃗r), vektorielles Feld ⃗ E(⃗r), ⃗r = (x, y, z)
∂
Partielle Ableitungen:
∂x , ∂
∂y , ∂ , kurz: ∂z ∂ x, ∂ y , ∂ z
⎛
Nabla-Operator: ∇ ⃗ = ⎝ ∂ ⎞
x
∂ y
⎠
∂ z
Laplace-Operator: ∆ = ∂2
∂x
+ ∂2
2 ∂y
+ ∂2
2 ∂z 2
• ∆φ = ∂xφ 2 + ∂yφ 2 + ∂zφ
2
⎛
• ∆E ⃗ ∂xE 2 x + ∂yE 2 x + ∂zE 2 x
= ⎝ ∂xE 2 y + ∂yE 2 y + ∂zE 2 y
∂xE 2 z + ∂yE 2 z + ∂zE 2 z
⎞
⎠
• Kugelkoordinaten: ∆U(r, ϕ, θ) = 1
r 2
⎛
Gradient von φ: ∇φ(⃗r) ⃗ = ⎝ ∂ ⎞
xφ
∂ y φ ⎠
∂ z φ
∂
∂r
Divergenz von E: ⃗ ∇ ⃗ · ⃗E(⃗r) = ∂ x E x + ∂ y E y + ∂ z E z
⎛
Rotation von E: ⃗ ∇ ⃗ × E(⃗r) ⃗ = ⎝ ∂ ⎞
yE z − ∂ z E y
∂ z E x − ∂ x E z
⎠
∂ x E y − ∂ y E x
Rechenregeln:
• ∇ ⃗ ( )
× ⃗∇φ = 0
• ∇ ⃗ ( )
· ⃗∇ × E ⃗ = 0
• ∇ ⃗ ( )
· ⃗∇φ = ∆φ
• ∇ ⃗ ( )
× ⃗∇ × E ⃗ = ∇ ⃗ ( )
⃗∇ · E ⃗ − ∆E
⃗
( )
r
2 ∂U
∂r +
1
r 2·sin θ
∂
∂θ
( )
sin θ
∂U
∂θ +
1
r 2·sin ∂ 2 U
θ ∂ϕ 2
Totale Ableitung:
d
dt φ(⃗r(t), t) = ∂ xφ dx
dt + ∂ yφ dy
dt + ∂ zφ dz
dt + ∂ tφ
Volumenintegral: I = ∫ V dn x f(⃗x)
• ⃗x = (x 1 , ..., x N )
• In anderen Koordinaten: I = ∫ V dn y |det J| f(⃗x(⃗y))
• J =
⎛
⎜
⎝
∂x 1
∂y 1
· · ·
.
∂x 1
∂y N
· · ·
∂x N
∂y 1
.
∂x N
∂y N
⎞
⎟
⎠
Linien- (Weg-)Integral: ∫ F ⃗ d⃗x = ∫ b
F ⃗ (⃗x(t)) · d⃗x(t)
C a dt
dt
1

Flächenintegral: ∫ S ⃗ F d ⃗ A = ∫ D du dv ⃗ F (⃗x(u, v)) · ⃗n(u, v)
• Tangentialvektoren an Fläche: ⃗x u = ∂⃗x(u,v)
∂u
, ⃗x v = ∂⃗x(u,v)
∂v
• Normalenvektor ⃗n(u, v) = ⃗x u × ⃗x v
Integralsätze:
• Satz von Gauÿ: ∫ V d3 r ⃗ ∇ · ⃗F = ∮ ∂V
⃗ F d ⃗ A
V: Volumen (geschlossen)
∂V : zugehörige Oberäche
• Satz von Stokes: ∫ ( )
⃗∇
S × F ⃗ · dA ⃗ = ∮ F ⃗ d⃗s
∂S
S: Fläche (oen)
∂S: zugehöriger Randweg
• 1. Green'scher Satz: ∫ [
V d3 r f(⃗r)(∆g(⃗r)) + ( ∇f(⃗r)) ⃗ · ( ∇g(⃗r)) ⃗ ]
= ∮ ∂V f(⃗r) · ⃗∇g(⃗r) · dA
⃗
• 2. Green'scher Satz: ∫ V d3 r [f(⃗r)(∆g(⃗r)) − g(⃗r)(∆f(⃗r))] = ∮ ∂V
Dirac'sche δ-Funktion
δ-Funktion: ∫ ∞
−∞ dx f(x) · δ(x − x 0) = f(x 0 )
• ∫ R 3 d 3 r f(⃗r) · δ(⃗r − ⃗r 0 ) = f(⃗r 0 )
• δ(⃗r − ⃗r 0 ) = δ(x − x 0 ) · δ(y − y 0 ) · δ(z − z 0 )
• ∫ ∞
−∞ dx f(x) · δ′ (x − x 0 ) = −f ′ (x 0 )
• δ(g(x)) = ∑ i
1
|g ′ (x i)| δ(x − x i), x i Nullstellen von g
• Darstellungen (jeweils a → 0):
δ a (x) = 1
a √ x2
e− a
π 2
δ a (x) = 1 a
π a 2 +x 2
δ a (x) = 1
2a e−| x a |
1
δ a (x) = ∂ x
1+e − x a
δ a (x) =
a
πx 2 sin 2 x a
Fourier-Transformation
Fourier-Darstellung von f(x): f(x) = 1 √
2π
∫ ∞
−∞ dk ˜f(k) · e ikx
Fourier-Transformierte von f(x): ˜f(k)
∫
= √ 1 ∞
2π
dx f(x) · e−ikx
−∞
Rechenregeln:
• f ′ (x) ⇔ ik · ˜f(k)
• f (n) (x) ⇔ (ik) n · ˜f(k)
• f(x − x 0 ) ⇔ e ikx0 · ˜f(k)
• δ(x − x 0 ) ⇔ 1 √
2π · e ikx0 2
[
f(⃗r) ∇g(⃗r) ⃗ − g(⃗r) ∇f(⃗r) ⃗ ]
dA
⃗

Elektrodynamik
Maxwell-Gleichungen:
• ⃗ ∇ · ⃗E = ϱ ε 0
• ⃗ ∇ · ⃗B = 0
• ⃗ ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
• ⃗ ∇ × ⃗ B = µ 0
⃗j + 1 c 2 ∂ ⃗ E
∂t
Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung): ∂ t ϱ(⃗r, t) + ⃗ ∇ · ⃗j(⃗r, t) = 0
Elektrostatik
Gauÿ'sches Gesetz: ∮ ∂V
Elektrisches Feld: ⃗ E = − ⃗ ∇φ
⃗ E d ⃗ A = Q V
ε0
Poisson-Gleichung: ∆φ(⃗r) = − ϱ(⃗r)
ε 0
Laplace-Gleichung: ∆φ = 0
Superpositionsprinzip: ϱ(⃗r) = a · ϱ 1 (⃗r) + b · ϱ 2 (⃗r) ⇒ φ = a · φ 1 + b · φ 2
Raumladungsdichte einer Punktladung am Ort ⃗r ′ : ϱ(⃗r) = Q · δ(⃗r − ⃗r ′ )
Elektrisches Potenzial einer Punktladung Q am Ort ⃗r ′ im freien Raum: φ(⃗r) =
Elektrisches Potenzial einer beliebigen Ladungsverteilung: φ(⃗r) = 1
4πε 0
∫
d 3 r ′ ϱ(⃗r ′ )
|⃗r−⃗r ′ |
Coulomb-Gesetz:
• ⃗ E = − ⃗ ∇φ =
Q ⃗r−⃗r ′
4πε 0 |⃗r−⃗r ′ | 3
• ⃗ F = q ⃗ E = Qq
4πε 0
⃗r−⃗r ′
|⃗r−⃗r ′ | 3
Im Potenzialfeld gilt: W = q · (φ(⃗r ′ ) − φ(⃗r))
Dirichlet-Randbedingung für eindeutige Lösung:
• Potenzial auf ∂V gegeben
• G D (⃗r, ⃗r ′ ) = 0 auf ∂V
Q
4πε 0
1
|⃗r−⃗r ′ | =
∫
• Allgemeine Lösung: φ(⃗r) = 1
4πε 0 V d3 r ′ G D (⃗r, ⃗r ′ ) · ϱ(⃗r ′ ) − 1
4π
∫∂V φ(⃗r) · ∂G D(⃗r,⃗r ′ )
∂n ′
Neumann'sche Randbedingung:
• Normalenableitung von φ auf ∂V gegeben
Q
4πε 0
G(⃗r, ⃗r ′ )
• ∂G N (⃗r,⃗r ′ )
∂n
:= −4π
|∂V |
auf ∂V
• Allgemeine Lösung: φ(⃗r) = 1
4πε 0
∫
V d3 r ′ G N (⃗r, ⃗r ′ ) · ϱ(⃗r ′ ) + 1
4π
∮
∂V
∂φ(⃗r ′ )
∫
∂n
· G ′ N (⃗r, ⃗r ′ ) dA ′ + 1
|∂V | ∂V dA′ φ(⃗r ′ )
Oberächenladungsdichte: σ(⃗r) = −ε 0
∂φ
∂n
Green'sche Funktion: ∆G(⃗r, ⃗r ′ ) = −4π · δ(⃗r − ⃗r ′ ) + Randbedingungen
• G(⃗r, ⃗r ′ ) = G(⃗r ′ , ⃗r)
• ∆G(⃗r, ⃗r ′ ) = ∆ ′ G(⃗r, ⃗r ′ ) [∆ ′ = Dierenziere nach ⃗r ′ ]
• G(⃗r, ⃗r ′ ) =
1
|⃗r − ⃗r ′ + F (⃗r, ⃗r ′ ) mit ∆F (⃗r, ⃗r ′ ) = 0 in V ⇔ ∆ ′ F (⃗r, ⃗r ′ ) = 0 in V
|
} {{ }
} {{ }
fuer andere Randbed.
Lsg. fuer freien Raum
3

• Green'sche Funktion ∼ = Potential einer Punktladung
Potenzielle Energie: W = 1
4πε 0
∑ N
i=1
∑ N
j=1,j≠i
• Punktladung: W j = q j · φ(⃗r j )
q iq j
|⃗r j−⃗r i|
• Kontinuierliche Ladungsverteilung: W = ∫ d 3 r ε0 2
• Energiedichte: U(⃗r) = ε0ε
2
∣E(⃗r)
⃗ ∣
Kapazität: q i = ∑ N
j=1 C ijφ j
• C ij : Kapazitätsmatrix
• für N = 1 : q = C · φ, W = 1 2 · C · φ2 = Q2
2·C
Multipolentwicklung:
• Monopolmoment: Q = ∫ d 3 r ′ ϱ(⃗r ′ )
• Dipolmoment: ⃗p = ∫ d 3 r ′ ⃗r ′ · ϱ(⃗r ′ )
∣ 2
∣E(⃗r)
⃗ ∣
• Quattropolmoment: Q i,j = ∫ d 3 r [ ′ 3 · r i ′ r′ j − ] |⃗r′ | 2 δ ij · ϱ(⃗r ′ )
[
• φ(⃗r) = 1 Q
4πε 0 |⃗r| + ⃗p·⃗r
|⃗r|
+ 1 3 2 · ∑3
]
i,j=1 Q i,j rirj
|⃗r|
+ ...
5
Magnetostatik
Statik ⇒ ⃗ ∇ · ⃗B = 0, ⃗ ∇ × ⃗ B = µ0 ⃗j
Stromdichte in der Magnetostatik: ⃗j = ⃗v · ϱ(⃗r)
Vektorpotenzial und Eichfreiheit: ⃗ ∇ · ⃗B = 0 ⇔ ⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A
• Eichfreiheit Λ: gleiches Ergebnis für ⃗ A ′ (⃗r) = ⃗ A(⃗r) + ⃗ ∇ ⃗ Λ(⃗r) mit ⃗ ∇ × ⃗ Λ = 0
∣ 2
Coulomb-Eichung: ∆A ⃗ = −µ 0
⃗j
• im freien Raum: A(⃗r) ⃗ ∫
= µ0
4π d 3 r ′ ⃗ j(⃗r ′ )
|⃗r−⃗r ′ |
Gesetz von Biot-Savard: B ⃗ = ∇ ⃗ × A ⃗ = µ0
4π
∫V d3 r ′ ⃗ j(⃗r ′ )×(⃗r−⃗r ′ )
|⃗r−⃗r ′ | 3
∫
d 3 r ′ ⃗r ′ × ⃗j(⃗r ′ )
Magnetisches Dipolmoment: ⃗m = 1 2
Magnetisches Dipolfeld: ⃗ B(⃗r) = µ0
4π
[ ]
3·⃗r·(⃗r· ⃗m)− ⃗m·|⃗r|
2
|⃗r| 5
Lorentz-Kraft auf Punktladung: F ⃗ = Q · (⃗v × B) ⃗ ∫
= µ0
4π d 3 r ∫ d 3 r ′ ⃗ j(⃗r)×( ⃗ j(⃗r ′ )×(⃗r−⃗r ′ ))
|⃗r−⃗r ′ | 3
Energiedichte im Magnetfeld: u(⃗r) = | ⃗ B(⃗r)| 2
Elektrodynamik
Faraday'sches Induktionsgesetz: ∮ ∂S ⃗ E d⃗r = −∂ t
∫S ⃗ B d ⃗ A
Magnetischer Fluss: φ(t) = ∫ S ⃗ B d ⃗ A
2µ 0
Elektro-Motorische Kraft: E = ∮ ∂S ⃗ E d⃗r = −∂ t φ
Ampère'sches Induktionsgesetz: ∮ ∂S ⃗ B d⃗r = µ 0
∫
S
⃗j dA
⃗ + 1 c
∂ 2 t E
∫S ⃗ dA
⃗
} {{ }
=I
4

Skalare Wellengleichung: ∆U(⃗r, t) − 1 c 2 ∂ 2 t U(⃗r, t) = 0
• Lösungsansatz: U(⃗r, t) = f(⃗r · ˆn − c · t)
• f: beliebige Funktion
• ˆn: Ausbreitungsrichtung
• c: Ausbreitungsgeschwindigkeit der ebenen Welle
• ⊥ˆn: Wellenfronten
Harmonische ebene Wellen: f(⃗r, t) = e i(⃗ k⃗r−ωt)
• ω = 2πf = 2π
T : Kreisfrequenz
• ⃗ k: Wellenvektor
• λ = 2π
| ⃗ k| : Wellenlänge
Dispersionsrelation: ω( ⃗ k) = | ⃗ k| · c
Phasengeschwindigkeit einer harmonischen Welle: v ph = ω(k0)
k 0
∣
Gruppengeschwindigkeit eines Pulses mit Trägerwelle k 0 : v g = dω
• Mit Brechungsindex: v g =
c
n(ω)+ω dn(ω)
dω
EM-Wellen sind Transversalwellen, d.h. ⃗ k⊥ ⃗ E, ⃗ k⊥ ⃗ B
∣
dk k=k0
Allgemeiner Fall der Polarisation: ⃗ E(⃗r, t) = (ê 1 E 1 + ê 2 E 2 ) · e i(⃗n⃗r−ωt)
• ê 1 × ê 2 = ˆk
• E 1 , E 2 ∈ C: Amplituden
• E 1 , E 2 gleiche Phase (E 1 , E 2 ∈ R) ⇒ lineare Polarisation
• E 1 , E 2 nicht die gleiche Phase ⇒ elliptische Polarisation
• |E 1 | = |E 2 | und um 90 ◦ phasenverschoben ⇒ zirkulare Polarisation
rechts zirkular: ê + = 1 √
2 · (ê 1 + iê 2 )
links zirkular: ê − = 1 √
2 · (ê 1 − iê 2 )
Elektrodynamik der Kontinua
• ⃗ ∇ · ⃗D = ϱ
• ⃗ ∇ · ⃗B = 0
• ⃗ ∇ × ⃗ E = −∂ t
⃗ B
• ⃗ ∇ × ⃗ H = ⃗j + ∂ t
⃗ D
Konstituierende Gleichungen:
• D ⃗ = ε 0E ⃗ + P ⃗ ( E, ⃗ B) ⃗ = ε0 (1 + χ e ) ⃗E
} {{ }
=:ε
• B ⃗ = µ 0H ⃗ + M( ⃗ E, ⃗ B) ⃗ = µ0 (1 + χ m ) ⃗H
} {{ }
=:µ
• ⃗ P: Polarisation, oft ⃗ P = ε 0 χ e
⃗ E
• ⃗ M: Magnetisierung, oft ⃗ M = µ 0 χ m
⃗ H
5

• χ e : Dielektrische Suszeptibilität
• χ m : Magnetische Suszeptibilität
Anschlussbedingungen an der Grenzäche zweier Medien:
• ( D ⃗ 2 − D ⃗ 1 ) · ⃗n = σ
• ( B ⃗ 2 − B ⃗ 1 ) · ⃗n = 0
• ⃗n × ( E ⃗ 2 − E ⃗ 1 ) = 0
• ⃗n × ( H ⃗ 2 − H ⃗ 1 ) = K ⃗
• σ: Oberächenladung
• K: ⃗ Oberächenstrom
Relativitätstheorie
Transformationen
Äquivalenzprinzip: In jedem Bezugssystem sind die physikalischen Gesetze (Beziehung zwischen Gröÿen) gleich
Galilei-Transformation: ⃗r = ⃗r ′ + ⃗v s · t, t = t ′
• Bewegte Uhren gehen gleich schnell
• Länge eines Stabes unabhängig von ⃗v s
• Direkte Addition von Geschwindigkeiten
Einstein: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist diesselbe in allen Inertialsystemen
Lorentz-Transformation:
• Bewegung mit v s in x-Richtung:
x = γ · (x ′ + β · c · t ′ )
y = y ′
z = z ′
c · t = γ · (c · t ′ + β · x ′ )
1
• γ = √
1−β 2
• Allgemein:
⃗r = ⃗r ′ + γ−1
β 2 ·
vs
mit β = : Lorentz-Faktor
c
c · t = γ · (c · t ′ + ⃗ β · ⃗r ′ )
• ⃗ β = ⃗vs
c , β = |⃗ β|, γ = 1
1−β 2
(
⃗β · ⃗r ′)
· ⃗β − γ · ⃗β · c · t ′
• Bewegte Uhren gehen langsamer, Zeitdilatation ∆t = γ · ∆t ′ (K ′ : Ruhesystem der Uhr)
• Bewegte Stäbe sind kürzer, Lorentz-Kontraktion l = 1 γ l′ (K ′ : Ruhesystem des Stabes)
• Addition von Geschwindigkeiten: v =
v′ +v s
1+ v′·vs
1− v′·vs
c 2 c 2
, v ′ = v−vs
Relativistischer Doppler-Eekt: ω = γ · ω ′ · (1 + β · cos θ ′ )
• tan θ =
• θ = ∢( ⃗ K, ⃗v s )
sin θ
γ·(cos θ ′ +β)
• θ ′ = ∢( ⃗ K ′ , ⃗v s )
6

4-Vektoren
4-Vektor: Satz von 4 physikalischen Gröÿen, die unter einer Lorentz-Transformation wie (ct, ⃗r) transformieren
• a µ := (a 0 ,⃗a) = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 )
• (a 0 ) ′ = γ · (a 0 − β · a 1 )
• (a 1 ) ′ = γ · (a 1 − β · a 0 )
• (a 2 ) ′ = a 2
• (a 3 ) ′ = a 3
• a µ := (a 0 ,⃗a) heiÿt kovarianter 4-Vektor
• a µ := (a 0 , −⃗a) heiÿt kontravarianter 4-Vektor
• Ortsvektor: x µ = (c · t, ⃗x)
Skalarprodukt: a · b = a 0 · b 0 − ⃗a ·⃗b = ∑ 3
µ=0 a µb µ =: a µ b µ (Einstein'sche Summenkonvention)
• x µ x µ = x µ g µα x α = c 2 t 2 − |⃗x| 2 = ˜x µ˜x µ
Dierentialoperatoren:
• ∂ µ :=
• ∂ µ :=
(
1
c ∂ t, ∇) ⃗ kontravariant
(
1
c ∂ t, −∇) ⃗ kovariant
• ∂µ∂ µ = 1 c 2 ∂ 2 t − ∆
Lorentz-Transformation: L =
⎛
⎜
⎝
• ˜x µ = ∑ 3
λ=0 L µλx λ = L µλ x λ
Relativistische Elektrodynamik
Wellengleichungen: ∂ µ ∂ µ A ⃗ =
1 1
ε 0 c jν
γ −βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Lorentz-Eichung: ∂ µ A µ = 0 mit A µ = (φ, c · ⃗A)
⎛
Feldstärketensor: F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ =
⎜
⎝
Dualer Feldstärke-Tensor: F µν = 1 2 εµνϱσ F ϱσ =
• ε: Levi-Civita-Symbol
⎞
⎟
⎠
0 −E x −E y −E z
E x 0 −c · B z c · B y
E y c · B z 0 −c · B x
E z −c · B y c · B x 0
⎛
⎜
⎝
Inhomogene Maxwell-Gleichungen: ∂ µ F µν = 1 ε 0
1
c jν
Homogene Maxwell-Gleichungen: ∂ µ F µν = 0
⎞
⎟
⎠
0 −B x −B y −B z
1
B x 0
c E z − 1 c E y
B y − 1 c E 1
z 0
c E x
1
B z c E y − 1 c E x 0
⎞
⎟
⎠
7

Relativistische Kinematik
Relativistischer Impuls: ⃗p = γ · m 0 · ⃗v =
m0 q1− v2
c 2
Energie-Impuls-Relation: E = √ m 2 0 · c4 + |⃗p| 2 · c 2
4er-Impuls: p µ = ( 1 c
E, ⃗p)
4er-Geschwindigkeit: v µ = γ · (c, ⃗v)
4er Impuls-Geschwindigkeits-Beziehung: p µ = m 0 · v µ
Impuls Photon: ⃗p = E c
= ω c
Lichtkegel, Kausalität
x µ = (c · t, ⃗x), x µ x µ = c 2 · t 2 − |⃗x| 2 =: s 2 , s 2 12 = c 2 · (t 1 − t 2 ) 2 − |⃗x 1 − ⃗x 2 | 2
Lichtartig: s = 0, c = |⃗x|
t
Raumartig: s 2 12 < 0 [c 2 · (t 1 − t 2 ) 2 < (x 1 − x 2 ) 2 in 1D]
• Ereignisse lassen sich nicht durch ein Lichtsignal verbinden
• Kein kausaler Zusammenhang
Zeitartig: s 2 12 > 0 [c 2 · (t 1 − t 2 ) 2 > (x 1 − x 2 ) 2 in 1D]
• Ereignisse lassen sich durch Lichtsignal verbinden
• Kausaler Zusammenhang möglich
Allgemeine Relativitätstheorie
Ideen:
• träge Masse = schwere Masse
• starkes Äquivalenzprinzip:
Folgen:
· ⃗v
Forderung: Physik in frei fallenden Bezugssystem in einem Gravitationsfeld ⇔ Physik in einem Inertialsystem
ohne Gravitation
Physik in einem nicht-beschleunigten Bezugssystem mit Gravitation ⃗g ⇔ Physik in einem beschleunigten
Bezugssystem mit ⃗a = −⃗g
• Gravitation krümmt den Raum (Lichtstrahlen)
Gravitationspotential: φ(⃗r) = −G · M
|⃗r|
Brechungsindex: n(⃗r) = 1 − φ(⃗r)
c 2
• Rot-Verschiebung von Licht
Doppler-Shift: ( )
∆ω
ω
= ∆U
Doppler c
• Zeitdilatation durch Gravitation: dτ1−dτ2
dτ 2
= φ1−φ2
c 2
Für statisches φ: ∆t
t
= ∆φ
c 2
Uhren im starken Gravitationsfeld gehen schneller
8

Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung: i∂ t Ψ = ĤΨ
• Ĥ = − 2
2m∆ + V (⃗r): Hamilton-Operator
• Ψ(⃗r, t): quantenmechanische Wellenfunktion
• V (⃗r): Potential, in dem sich das Teilchen mit Masse m bendet (potentielle Energie), z.B. im elektrischen
Potential φ(⃗r) : V (⃗r) = q · φ(⃗r)
Physikalische Gröÿen in der Quantenmechanik: hermitesche Operatoren
Hermitescher Operator: Ô = Ô+
• Ô+ : hermitesch konjugierter Operator, ∫ d 3 r ϕ ∗ (ÔΨ) = ∫ d 3 r (Ô+ ϕ ∗ )Ψ ∀ Ψ, ϕ
• Eigenschaften:
reelle Eigenwerte Ôϕ = }{{}
O ϕ
∈R
Eigenfunktionen ϕ bilden vollständiges Orthonormalsystem, also Basis
Wert 〈 〉
Ô〉
der physikalischen Gröÿe im Zustand Ψ(⃗r, t):
〈Ô = ∫ )
Ψ
V d3 r Ψ ∗ (⃗r, t)
(ÔΨ(⃗r, t) ∈ R
Impuls: ˆ⃗p = −i ⃗ ∇
Ort: ˆ⃗r = ⃗r·
Energie: Ĥ = − 2
2m ∆ + V (⃗r)
• klassische Mechanik: Hamilton-Funktion H(⃗r, ⃗p) = ⃗p2
2
2m
+ V (⃗r) → Quantenmechanik: Ĥ = −
2m ∆ + V (⃗r)
Kopenhagener Deutung:
|Ψ(⃗r, t)| 2 d 3 r = Wahrscheinlichkeit dafür, zur Zeit t am Ort ⃗r das Teilchen in einem Volumen d 3 r zu nden
Normierung: ∫ V d3 r |Ψ(⃗r, t)| 2 = 1
〉 〈Ô ist das bezüglich Ψ gewichtete Mittel möglicher Messwerte
Mögliche Messwerte sind die reellen Eigenwerte des Hermiteschen Operators Ô
Wahrscheinlichkeitsdichte-Operator: |Ψ(⃗r, t)| 2 = ∫ d 3 r Ψ ∗ (⃗r, t) δ(⃗r − ⃗r 0 ) Ψ(⃗r, t)
Wahrscheinlichkeitsstromdichte-Operator: ⃗j(⃗r 0 , t) = ∫ d 3 r Ψ ∗ (⃗r, t) ˆ⃗j Ψ(⃗r, t)
• ˆ⃗j
)
= 1
2m
(ˆ⃗pˆϱw + ˆϱ w ˆ⃗p
Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung
• Lineare Dierentialgleichung ⇒ Superposition möglich, nicht relativistisch
• Stationäre Schrödinger-Gleichung: Ĥϕ(⃗r) = Eϕ(⃗r)
Verfahren zur Bestimmung der Wellenfunktion Ψ(⃗r, t), falls Ĥ keine Funktion der Zeit:
1. Ĥϕ = Eϕ mit Ansatz lösen → Satz von Eigenwerten {E 1 , E 2 , ...} und Eigenfunktionen {ϕ 1 , ϕ 2 , ...}
2. Ψ(⃗r, 0) = ∑ i α i · ϕ i (⃗r), α i ∈ C
α i = ∫ d 3 r ϕ ∗ i (⃗r) Ψ(⃗r, 0)
3. ⇒ Ψ(⃗r, t) = ∑ i α i · e − i ·Ei·t · ϕ i (⃗r)
Oder: Ψ(⃗r, t) = ϕ(⃗r) · e − i ·E·t
• Lösungsansatz: ϕ(x) = A · e ikx + B · e −ikx ⇒ ϕ(x) = A · e i √
2m·(E−V )·x
+ B · e − i √
2m·(E−V )·x
9

Vertauschungsrelationen, Kommutatoren, Anti-Kommutatoren
Kommutator: [Â, ˆB] = Â ˆB − ˆBÂ
• Impuls und Ort: [ˆp x , ˆx] = i
• [ˆL, ˆM] = −[ ˆM, ˆL]
• [ˆL, ˆL] = 0
• [ˆL, a ˆM] = a[ˆL, ˆM]
• [ˆL 1 + ˆL 2 , ˆM] = [ˆL 1 , ˆM] + [ˆL 2 , ˆM]
• [ˆL 1 ˆL2 , ˆM] = [ˆL 1 , ˆM]ˆL 2 + ˆL 1 [ˆL 2 , ˆM]
•
[ˆL1 , [ˆL 2 , ˆL 3 ]]
+
[ˆL2 , [ˆL 3 , ˆL
]
1 ] +
[ˆL3 , [ˆL 1 , ˆL
]
2 ] = 0
Anti-Kommutator: { Â, ˆB
}
= Â ˆB + ˆBÂ
Einfache Systeme
Freies Teilchen: i∂ t Ψ = − 2
2m ∆Ψ
• Ansatz: Ψ = A · e ±i(⃗ k⃗r−ωt)
• ⇒
}{{}
ω
E
Ψ = 2 k 2
2m
} {{ }
⃗p 2
2m
Ψ
Harmonischer Oszillator: ( )
− 2 d 2
2m dx
+ 1 2 2 mω2 x 2 ϕ = Eϕ
• Lösung kompliziert (mit Hermite-Polynomen etc.), deshalb:
• :⇔ Ĥϕ n = E n ϕ n
E n = · ω · (n + 1 2 ), n ∈ N 0
∫ d 3 r ϕ ∗ n(⃗r) ϕ m (⃗r) = δ nm
Ĥ = · ω · (↠â + 1 2 )
∗ â = √ m·ω
2 · ˆx + i · √ 1
2m·ω· · ˆp x : Absteiger-Operator
∗ â † = √ m·ω
2 · ˆx − i · √ 1
2m·ω· · ˆp x : Aufsteiger-Operator
√
∗ ˆx =
∗ ˆp x = 1 i ·
2m·ω · (â † + â )
√
m··ω
2
· (â † − â )
∗ âϕ n = √ n · ϕ n−1 , âϕ 0 = 0
∗ â † ϕ n = √ n + 1 · ϕ n+1
∗ [â, â † ] = 1
∗ [â m , â † ] = m · a m−1 , [â, (â † ) m ] = m · (â † ) m−1
∗ ˆn = â † â, [ˆn, â m ] = −m · a m , [ˆn, (â † ) m ] = m · (â † ) m
Unschärferelation
Unschärfe einer physikalischen Gröÿe Ô im Zustand Ψ(⃗r, t): (∆O2 ) Ψ = ∫ 〉 ) 2
d 3 r Ψ
(Ô ∗ −
〈Ô Ψ
Ψ
• = 0 in Eigenzuständen
• Statistische Aussage, hängt vom Zustand des Systems ab
〈
Unschärferelation: (∆Q 2 ) Ψ · (∆R 2 ) Ψ ≥ 1 4
∣ [
• ∆x · ∆p ≥ 2
〉
ˆQ, ˆR]
• Statistische Aussage, Unsicherheit ist nicht in der Messung, sondern in der Vorhersage
∣
∣ 2
Ψ
10

Teilchen im allgemeinen elektromagnetischen Feld
(
Hamilton-Operator: Ĥ = 1
2m i ∇ − q ⃗ 2
c
A)
+ q · φ
Eich-Transformationen:
• ⃗ A → ⃗ A ′ + ∇χ
• φ → φ ′ − ∂ t χ
• Ψ → Ψ ′ = e i q
·c χ : angepasste Wellenfunktion
Wasserstoatom
Schrödinger-Gleichung: [ ]
− 2
2m ∆ − e2 1
4πε 0 r
Ψ = EΨ
Wellengleichung: Ψ(r, θ, φ) = R(r) · Y (θ, φ)
(
• Winkelanteil / Kugelächenfunktionen: Y l,m = (−1) m ·
l ∈ N: Drehimpulsquantenzahl
−l ≤ m ≤ l: magnetische Quantenzahl
2l+1
4π
(l−|m|)!
(l+|m|)!
P |m|
l
(x) = (1 − x 2 ) |m|
2 · ∂ x
|m| P l (x): Assoziierte Legendre-Polynome
P l (x) = 1
2 l·l! · ∂l x(x 2 − 1) l : Legendre-Polynom
Eigenschaften der Kugelächenfunktionen:
∗ ∫ 2π
dφ ∫ π
0 0 dθ sin θ |Y l,m(θ, φ)| 2 = 1
∗ ∫ 2π
dφ ∫ π
∗
dθ sin θ Y
0 0 l ′ ,m ′(θ, φ) Y l,m(θ, φ) = δ ll ′δ mm ′
Beispiele:
∗ Y 0,0 = √ 1
√ 4π
3
∗ Y 1,0 =
4π · cos θ
√
∗ Y 1,±1 = ∓
3
8π
(
• Radialteil: R n,l (r) =
· sin θ · e±iφ
) 3
2 1
a 0
√
2
·
n 2·(n+l)! · (n−l−1)!
(n+l)!
· ϱ l · e − ϱ 2 · L 2l+1
n+1 (ϱ)
a 0 = 4πε02
m·e
≈ 0, 529 · 10 −10 m: Bohr'scher Radius
2
ϱ = 2
n·a 0
· r
L s r(ϱ) = ∂ϱL s r (ϱ): Assoziierte Laguerre-Polynome
L r (ϱ) = e ϱ · ∂ϱ(ϱ r r · e −ϱ ): Laguerre-Polynom
(
• Zusammengefasst: Ψ n,l,m (r, θφ) =
) 1
4·(n−l−1)! 2
(n·a 0) 3·n((n+l)!) 3
) 1
2
· P |m|
l
· (cos θ) · e i·m·φ
· ϱ l · L 2l+1
n+1 (ϱ) · e− ϱ 2 · Y l,m (θ, phi)
Energieeigenwert: E n = − R H
n 2 , n ∈ N\ {0}
m·e
• R H = 4
2 2·(4πε 0)
≈ 13, 605 eV
2
Spektrallinien: ∆E = E n − E m = · ω
11

Drehimpuls und Spin
Drehimpulsoperator: ˆ⃗ L = −ˆ⃗p × ˆ⃗r
• [ˆL x , ˆL y ] = i · · L z
• [ˆL y , ˆL z ] = i · · L x
• [ˆL z , ˆL x ] = i · · L y
• [ˆ⃗ L 2 , ˆL x ] = [ˆ⃗ L 2 , ˆL y ] = [ˆ⃗ L 2 , ˆL z ] = 0
• ˆ⃗
(
)
L 2 = − 2 1 ·
sin θ · ∂ θ (sin θ · ∂ θ ) + 1
sin 2 θ · ∂2 φ
,
ˆ⃗L 2 Y l,m = 2 · l · (l + 1) · Y l,m
• ˆL z = −i · · ∂ φ ,
ˆLz Y l,m = · m · Y l,m
Hamilton-Operator des Wasserstoatoms im Magnetfeld: Ĥ = Ĥohne
• Aufspaltung: ∆E = µ B · B · m
• µ B = e·
2m e
: Bohr'sches Magneton
⃗ B − e·B
2m · ˆL z
Spin-Quantenzahl: s = ± 1 2
Spin-Operator: deniert durch obige Eigenschaften von Drehimpuls-Operatoren
• Darstellung: S ⃗ = 1 2 · · ˆ⃗σ, ˆ⃗σ = (ˆσ x , ˆσ y , ˆσ z )
( ) ( ) ( 0 1
0 −i
1 0
• σ x = , σ
1 0 y =
, σ
i 0 z =
0 −1
• Eigenzustände zu ˆσ z : Ψ + 1
2 = ( 1
0
)
, Ψ − 1
2 = ( 0
1
)
: Pauli-Spin-Matrizen
)
, Ŝ z Ψ ± 1
2 = ± 1 2 · · Ψ + 1 2
12