Elementare Zahlentheorie - Formelsammlung

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Elementarteilersatz: Es seien F eine freie abelsche Gruppe vom Rang n und U ⊆ F eine Untergruppe vom Rang n. Dann gibt es eine Basis {b 1 , ..., b n } von F und natürliche Zahlen e 1 |e 2 |...|e r , sodass {e 1 b 1 , e 2 b 2 , ..., e r b r } eine Basis von U ist. Matrixversion des Elementarteilersatzes: Es sei M( ∈ Z n×m ) eine ganzzahlige Matrix. Dann gibt es unimodulare D 0 Matrizen S ∈ GL n (Z), T ∈ GL m (Z), sodass S −1 MT = , D := diag(e 0 0 1 , ..., e r ), e 1 |e 2 |...|e r ≠ 0 Diophantische Gleichungen (Polynom-Gleichungssysteme): P i (x 1 , ..., x n ) = 0, 1 ≤ i ≤ m, P 1 , ..., P m ∈ Z[X 1 , ..., X n ] Schinzels Hypothese: Sind P 1 , ..., P m ∈ Z[X] (nichtkonstante) irreduzible Polynome in einer Variablen mit positiven Leitkoezienten, sodass keine Primzahl p alle Werte P 1 (k) · ... · P m (k), k ∈ Z teilt, dann gibt es unendlich viele k ∈ Z, sodass alle Werte P 1 (k), ..., P m (k) Primzahlen sind. Pythagoräisches Tripel: von (0, 0, 0) verschiedenes Tripel (a, b, c) ∈ Z 3 mit a 2 + b 2 = c 2 Die Restklassenringe Kongruenzrechnung Kongruenz modulo U von a, b ∈ A (A abelsche Gruppe, U ⊆ A Untergruppe): a − b ∈ U • In Zeichen: a ≡ b mod U Addition von Restklassen: (a + U) + (b + U) = (a + b) + U Homomorphiesatz: Wenn A, B zwei (abelsche) Gruppen sind und Φ : A → B ein Homomorphismus, dann induziert Φ einen Isomorphismus zwischen A/Kern(Φ) und Bild(Φ). Dieser kommt durch ( ˜Φ(a + Kern(Φ)) := Φ(a) zustande. Index von U in A (U ⊆ A abelsche Gruppen): Kardinalität von U/A Erzeugnis von S ⊆ U: U, wenn jedes Element von U eine ganzzahlige Linearkombination von Elementen aus S ist • U heiÿt endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystem gibt • U heiÿt zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird Ordnung von a ∈ A: kleinste natürliche Zahl d mit da = 0 (bzw. a d = 1 in multiplik. Notation) Elementarteilersatz: Es sei F eine frei abelsche Gruppe von Rang n und U ⊆ F eine Untergruppe von endlichem Index. Dann hat U Rang n und (F : U) ist das Produkt der Elementarteiler von U in F . Lagrange-Satz für abelsche Gruppen a) Es sei A eine (additiv geschriebene) endliche abelsche Gruppe und a ∈ A. Dann gilt: |A| · a = 0 b) Die Ordnung d von a ist ein Teiler von |A|. Kleiner Satz von Fermat (abstrakt): Wenn F ein endlicher Körper mit q Elementen ist, dann gilt für jedes a ∈ F × : a q−1 = 1 Restklassenring: R/I mit R kommutativer Ring, I ⊆ R Ideal und (a + I) · (b + I) := (ab) + I Homomorphiesatz: Sind R, S zwei kommutative Ringe und ist Φ : R → S ein Ringhomomorphismus, so liefert Φ einen Isomorphismus zwischen den Ringen R/Kern(Φ) und Bild(Φ). Die Einheitengruppe - kleiner Fermat konkret a) Es seien R ein kommutativer Ring und I ⊆ R. Dann ist r + I genau dann eine Einheit von R/I, wenn es ein s ∈ R gibt mit rs − 1 ∈ I. b) Ist R ein Hauptidealring und I = Rm, m ∈ R, dann ist für r ∈ R die Restklasse r + 1 genau dann in R/I invertierbar, wenn r und m teilerfremd sind. c) Ist R ein Hauptidealring und I = Rm, m ∈ R, dann ist R/I genau dann ein Körper, wenn m irreduzibel ist. d) Für N ∈ N ist (Z/NZ) × = {r + NZ | 0 ≤ r ≤ N − 1, ggT(r, N) = 1}. Z/NZ ist genau dann ein Körper, wenn N eine Primzahl ist. 4
e) Ist p ∈ P, so gilt für alle a ∈ Z: p|a p − a Prime Restklassengruppe modulo N ∈ N = Einheitengruppe (Z/NZ) × F p : andere Schreibweise für Z/pZ, falls p eine Primzahl ist Euler'sche ϕ-Funktion: ϕ(N) := |(Z/NZ) × | • ϕ(N) = | {x ∈ N | x ≤ N, ggT(x, N) = 1} | • Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen Fermat: ϕ(p) = p − 1 • Für Potenzen p e (mit e ≥ 1) von p gilt ϕ(p e ) = p e−1 (p − 1) • Man sieht schnell, dass ϕ(N) genau die Anzahl der Elemente von Ordnung N in Z/NZ ist. Primzahltest: Kriterium dafür, dass eine gegebene Zahl n keine Primzahl ist: ist für eine Zahl a ∈ Z, die zu n teilerfremd ist, die Kongruenz a n−1 ≡ 1 mod n nicht erfüllt, dann ist n sicher keine Primzahl. Chinesischer Restsatz: Es seien N, M zwei teilerfremde Zahlen. Dann gelten die folgenden Aussagen: a) Die Ringe Z/MZ × Z/NZ (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) und Z/(MNZ) sind isomorph. b) Für je zwei Zahlen a, b ∈ Z gibt es eine ganze Zahl x, sodass simultan x ≡ a mod M und x ≡ b mod N gilt. Zwei Lösungen x und ˜x dieser Kongruenzbedingung sind kongruent modulo MN. Folgerung: ϕ ist multiplikativ und für zwei Primzahlen p ≠ q und k ∈ N: gilt: ∀ a ∈ Z : a k(p−1)(q−1)+1 ≡ a mod pq Endliche Körper Endlicher Körper: Körper F mit q = |F | • Die Ordnung von 1 F in der additiven Gruppe von F ist eine Primzahl p, und Z/pZ ist ein Teilring von F . • Die Kardinalität von F ist eine Potenz von p • Die Einheitengruppe von F ist zyklisch • F ist ein Restklassenkörper des Polynomrings F p [X] Charakteristik von F = additive Ordnung von 1, wenn diese endlich (und damit eine Primzahl) ist, ansonsten 0 Primitives Element: ξ ∈ F × , das die Einheitengruppe erzeugt Minimalpolynom von ξ über F p = normierter Erzeuger m des Kerns von Φ Zyklizität der Einheitengruppe von R := Z/p m Z: p ≥ 3 und m ∈ N Kreisteilungspolynom: Φ N := ∏ ∗ k mod N (X − c k) • Das Produkt (mit Sternchen) läuft nur noch über die zu N teilerfremden k • Hergeleitet aus dem Polynom F N = X N − 1, dessen komplexe Nullstellen c k := cos ( 2πk N N sind. • rekursive Formel: Φ 1 = X − 1, Φ N = (X N − 1) : ( ∏ d|N, d
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Seite 3: Zur Verteilung der Primzahlen Eukli
Seite 7 und 8: Norm N(α) (α ∈ K): Determinante

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