Die Ungleichungen von Loewner und Pu

Die Ungleichungen von Loewner und Pu
Simone Maxand (simone.maxand@gmx.de)
10. Mai 2011
In diesem Vortrag werden wir den Begriff der Systole für nicht-einfachzusammenhängende
Mannigfaltigkeiten definieren. Mit den Ungleichungen
von Loewner und Pu wollen wir einen Zusammenhang zwischen Systole
und gesamtem Flächeninhalt der Mannigfaltigkeit herstellen. Außerdem
werden wir einen Spezialfall der Hermite-Konstanten betrachten, die wir
für die Loewner Ungleichung benötigen.
1 Grundlagen
Zunächst definieren wir einige grundlegende Begriffe, die wahrscheinlich teilweise schon
bekannt sind, aber in jedem Fall in diesem Kapitel benötigt werden. Wir betrachten
im Folgenden Kurven in einem topologischen Raum X:
Definition 1.1. Eine Schleife, oder auch geschlossene Kurve, in X kann auf zwei
äquivalenten Wegen definiert werden, als
1. die stetige Abbildung β : [a, b] → X mit β(a) = β(b);
2. die stetige Abbildung λ : S 1 → X vom Kreis S 1 nach X.
Eine Schleife heißt einfach, wenn sie injektiv ist.
Definition 1.2. Eine Schleife S 1 → X heißt zusammenziehbar, wenn sich die Abbildung
des Kreises zu der stetigen Abbildung der Einheitsscheibe D → X ausweiten
lässt. X heißt einfach zusammenhängend, wenn jede Schleife zusammenziehbar ist.
Definition 1.3. Zwei Schleifen β 0 , β 1 : [0, 1] → X heißen homotop, wenn es eine stetige
Abbildung h : [0, 1] × [0, 1] → X gibt, so dass h(x, 0) = β 0 (x) und h(x, 1) = β 1 (x)
für alle x ∈ [0, 1]. Außerdem ist h(0, t) = h(1, t) für alle t ∈ [0, 1]. Die Äquivalenzklassen
der homotopen Schleifen nennen wir (freie) Homotopieklassen. Die Menge der
Homotopieklassen definiert die Fundamentalgruppe.
Für den schon in den vorangehenden Vorträgen eingeführten und verwendeten Begriff
einer Geodäte erwähnen wir noch einmal folgendes wichtige Ergebnis.
Seminar ”
Systolische Geometrie“, SS 2011, Universität Göttingen
1

2 2 Isoperimetrische Ungleichung
Satz 1.4. Jede (freie) Homotopieklasse enthält eine geschlossene Geodäte, die als
Kurve kürzester Länge gewählt werden kann.
Grundlegende neue Definition für diesen Vortrag ist die Defnition einer Systole.
Definition 1.5 (Systole). Die Systole ist das Infimum der Längen der nicht zusammenziehbaren
Schleifen β auf einer kompakten, nicht einfach zusammenhängenden
Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, G). Wir schreiben:
sysπ 1 (G) := inf length(β).
β
Um einzusehen, dass dieses Infimum für eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit
immer angenommen wird, verwenden wir Satz 1.4, der schon in einem der
vorherigen Vorträge behandelt wurde. Das Minimum der Längen über die Schleifen in
der Mannigfaltigkeit wird also von einer Geodäte angenommen.
Abbildung 1: Kleinste Schleife auf einem Torus T 2
Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen der Systole sysπ 1 (G) und der Fläche
area(Σ, G) herstellen, die bereits definiert wurde als
area(Σ, G) = ∑ ∫ √
det(g ij )du 1 du 2 ,
{U}
U
wobei {U} eine Partition von Σ in offene Überdeckungen ist.
2 Isoperimetrische Ungleichung
Als Einstieg und Anreiz für die systolischen Ungleichungen von Loewner und Pu betrachten
wir zunächst die isoperimetrische Ungleichung. Diese dient als Lösung einer
praktischen Fragestellung: Ein Bauer hat für die Einzäunung eines Weidegebietes eine
bestimmte Länge an Zaun zur Verfügung. Nun möchte er damit eine größtmögliche

3 Die Ungleichungen von Loewner und Pu 3
Fläche einschließen. Die obere Grenze dafür wird durch die isoperimetrische Ungleichung
gegeben.
Betrachten wir also eine einfache geschlossene Kurve in einer Ebene. Die Länge der
Kurve bezeichnen wir mit L. Sei A der Flächeninhalt des durch die Kurve eingeschlossenen
Gebietes. Dann erfüllt jede einfache Kurve in der Ebene
( ) 2
A L
π ≤ .
2π
Eine obere Schranke für den Flächeninhalt des von der Kurve eingeschlossenen Gebietes
ist also L 2 /4π. Es gilt Gleichheit, wenn die Kurve ein Kreis ist. Für den Beweis
siehe zum Beispiel [Bär01].
3 Die Ungleichungen von Loewner und Pu
Um die Ungleichung von Loewner zu formulieren, greifen wir zunächst die Definition
der Hermite-Konstanten aus dem vorangehenden Kapitel wieder auf. Für b ∈ N ist γ b
definiert durch die Formel
{
√
γb = sup
λ 1 (L)
vol(R b /L) 1/b |L ⊆ (Rb , || ||)
Dafür ist λ k (L, || · ||) := inf{λ ∈ R|∃ lin. unabh. v 1 , . . . , v k mit ||v i || ≤ λ∀i} das sukzessive
k-te Minimum, hier also λ 1 (L) die Länge des kürzesten Vektors. Wir machen
für diese Konstante folgende Feststellung.
Lemma 3.1. Für b = 2 hat die Hermite-Konstante den Wert γ 2 = 2 √
3
≈= 1.1547. Das
zugehörige kritische Gitter ist homothetisch zum Z−Span der dritten Einheitswurzeln
in C.
Homothetie bedeutet dabei Identität bis auf Translationen und zentrische Streckungen.
}
.
Beweis. Wir betrachten das Gitter L ⊂ C = R 2 und wollen berechnen
λ 1 (L) 2
area(C/L) . (1)
Sei λ 1 (L) = |z| die Länge des kürzesten Vektors z ∈ L \ {0}. Wir ersetzen nun L durch
das Gitter z −1 L. Wir kommen zum gleichen Ergebnis, da sich durch Multiplikation von
L mit komplexen Zahlen ungleich null der Quotient (1) nicht ändert. Wir setzen L =
z −1 L. Dann ist das kürzeste Element des Gitters +1 ∈ C und λ 1 (L) = 1. Wir ergänzen
das kürzeste Element nun zu einer Z−Basis {τ, +1} von L, dabei ist |τ| ≥ λ 1 (L) = 1.
Betrachten wir nun den Realteil R(τ) von τ. Die Basis können wir abändern, indem
wir zu τ einen passenden Wert addieren, so dass − 1 2 ≤ R(τ) ≤ 1 2
. Dann liegt der zweite
Basisvektor τ im Abschluss des Standard Fundamentalgebiets
D = {z ∈ C| |z| > 1, |R(z)| < 1 , I(z) > 0}
2

4 3 Die Ungleichungen von Loewner und Pu
für die Wirkung der Gruppe PSL(2, Z) in der oberen Halbebene von C.
Für den Imaginärteil gilt I(τ) ≥ √ 3
2 . Betrachten wir τ = r·eiϕ = r·(cos ϕ+i·sin ϕ),
so stellen wir fest, dass Gleichheit nur möglich ist, wenn τ = e i π 3 oder τ = e i 2π 3 und
damit R(τ) = + /− 1 2 und I(τ) = sin π 3 = sin 2π 3
= √ 3
2
. Weiterhin erhalten wir für
τ = r · e iϕ
sin ϕ = I(τ)
√
3
≥
|τ| 2|τ| .
Schließlich berechnen wir die Fläche des Parallelogramms, dass durch die Basisvektoren
τ und +1 aufgespannt wird und schreiben
λ 1 (L) 2
area(C/L) = 1
|τ| sin ϕ ≤ 2 √
3
.
Das Maximum wird also angenommen, wenn |τ| = 1 und wir erhalten γ 2 = 2 √
3
.
Die erste untere Schranke für das Volumen einer Mannigfaltigkeit wurde von Charles
Loewner 1949 durch die folgende Ungleichung gefunden. Diese stellt nun auf dem
Torus eine Beziehung zwischen ganzer Fläche und Systole her und beschränkt die
Fläche so nach unten. Diese Beziehung wird durch die Ungleichung von Pu für den
reellen projektiven Raum formuliert und kann dann auf alle asphärischen Flächen
erweitert werden. Für die Loewner Ungleichung betrachten wir also nicht wie vorher
in der isoperimetrischen Ungleichung die Länge der beschränkenden Kurve, sondern
die Länge der kürzesten Kurve sysπ 1 (G) und als Bereich die gesamte Mannigfaltigkeit.
Satz 3.2 (Loewner Ungleichung). Jede Riemannsche Metrik G auf dem Torus T 2
erfüllt die Gleichung
sysπ 1 (G) 2 ≤ γ 2 area(G),
wobei γ 2 = 2 √
3
die Hermite-Konstante wie in 3.1 ist. Gleichheit gilt für eine glatte
Metrik, die homothetisch ist zu dem Quotienten aus C mit dem kritischen Gitter aus
3.1.
Diese Ungleichung sowie die Ungleichung von Pu werden im nächsten Vortrag bewiesen.
Durch P.M. Pu, ein Schüler von Loewner, wurde in den 1950er Jahren eine weitere
Ungleichung bewiesen, die eine Schranke für die Fläche nun nicht nur auf dem Torus
darstellt. Betrachten wir also nicht den Torus T 2 , sondern die reelle projektive Ebene
RP 2 . Dann gilt die Ungleichung von Pu
sysπ 1 (G) 2 ≤ π 2 area(G),
für jede Metrik G auf RP 2 .
Mit der Ungleichung von Pu können wir so etwas wie eine Umkehrung“ zu der
”
isoperimetrischen Ungleichung ausdrücken. Die Ähnlichkeit zu dieser erkennt man in
der Schreibweise
( ) 2 sysπ1 (G)
≤ area(G) .
π
2π

Literatur 5
Die Ungleichung kann weiter auf alle asphärische Flächen ausgeweitet werden. Eine
Fläche ist asphärisch, wenn sie nicht die 2-Sphäre ist.
Satz 3.3. Jede asphärische Fläche (Σ, G) erfüllt die Ungleichung von Pu. Gleichheit
wird angenommen, wenn Σ die reelle projektive Ebene ist und die Metrik G konstante
Gausskrümmung hat.
Um die Erweiterung auf asphärische Flächen zu erhalten, verwenden wir Gromovs
Ungleichung. Dafür betrachten wir einen metrischen Ball
B = B p ( 1 2 sysπ 1(G)) ⊂ Σ
mit Radius 1 2 sysπ 1(G), der in jeder aspherischen kompakten Fläche (Σ, G) enthalten
ist. Die Ungleichung von Gromov besagt nun, dass dieser Ball die Gleichung
sysπ 1 (G) 2 ≤ 4 3 area(B)
erfüllt. Da π 2 > 4 3
und area(B) < area(G) erhalten wir also sogar eine stärkere
Abschätzung für die quadrierte Länge der kürzesten Kurve sysπ 1 (G)).
Eine weitere Generalisierung findet sich in Theorem 8.2.3 aus [Kat07].
Literatur
[Bär01] Bär, Christian: Elementare Differentialgeometrie. Berlin, New York : de
Gruyter Lehrbuch, 2001
[Kat07] Katz, Mikhail G.: Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 137: Systolic
geometry and topology. Providence, RI : American Mathematical Society,
2007. – xiv+222 S. – ISBN 978–0–8218–4177–8. – With an appendix by Jake
P. Solomon
[Wik]
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