Warum gibt es Isolatoren? - Philipps-Universität Marburg

Warum gibt es Isolatoren?
Florian Gebhard
arbeitsgruppe vielteilchentheorie
fachbereich physik
philipps-universität marburg

Gliederung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
IV. Bloch-Wilson Bandisolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
IV. Bloch-Wilson Bandisolator
V. Peierls Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
IV. Bloch-Wilson Bandisolator
V. Peierls Isolator
VI. Anderson Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
IV. Bloch-Wilson Bandisolator
V. Peierls Isolator
VI. Anderson Isolator
VII. Mott Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
IV. Bloch-Wilson Bandisolator
V. Peierls Isolator
VI. Anderson Isolator
VII. Mott Isolator
VIII. Zusammenfassung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

Gliederung
I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle?
II. Wie sind Isolatoren charakterisiert?
III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen?
IV. Bloch-Wilson Bandisolator
V. Peierls Isolator
VI. Anderson Isolator
VII. Mott Isolator
VIII. Zusammenfassung
IX. Dank
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 2/40

I Das Drude-Problem
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 3/40

I Das Drude-Problem
1. Metallische Leitung in der klassischen Physik
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 3/40

I Das Drude-Problem
1. Metallische Leitung in der klassischen Physik
Drude-Konzept: die Elektronen bewegen sich frei zwischen zwei
Stößen. Mittlere Zeit zwischen den Stößen istτ (Streuzeit).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 3/40

I Das Drude-Problem
1. Metallische Leitung in der klassischen Physik
Drude-Konzept: die Elektronen bewegen sich frei zwischen zwei
Stößen. Mittlere Zeit zwischen den Stößen istτ (Streuzeit).
Newtons Gesetz für die Geschwindigkeit ⃗v(ω) der Elektronen
mit Massemund Ladungeim elektrischen Feld ⃗E(ω):
e⃗E(ω)=−iωm⃗v(ω)+ m τ ⃗v(ω).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 3/40

I Das Drude-Problem
1. Metallische Leitung in der klassischen Physik
Drude-Konzept: die Elektronen bewegen sich frei zwischen zwei
Stößen. Mittlere Zeit zwischen den Stößen istτ (Streuzeit).
Newtons Gesetz für die Geschwindigkeit ⃗v(ω) der Elektronen
mit Massemund Ladungeim elektrischen Feld ⃗E(ω):
e⃗E(ω)=−iωm⃗v(ω)+ m τ ⃗v(ω).
Ohms Gesetz für die Stromdichte ⃗ j(ω) als Funktion des
elektrischen Feldes:
⃗j(ω)=ne⃗v(ω)=σ(ω)⃗E(ω),
n: Elektronendichte;σ(ω): Leitfähigkeit.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 3/40

I Das Drude-Problem
Leitfähigkeitσ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall:τ→ 0)
σ(ω) = σ 0
1+iωτ
1+(ωτ) 2 ,
σ 0
= ne2
m τ. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 4/40

I Das Drude-Problem
Leitfähigkeitσ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall:τ→ 0)
σ(ω) = σ 0
1+iωτ
1+(ωτ) 2 ,
σ 0
= ne2
m τ.
2. Probleme im klassischen Zugang
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 4/40

I Das Drude-Problem
Leitfähigkeitσ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall:τ→ 0)
σ(ω) = σ 0
1+iωτ
1+(ωτ) 2 ,
σ 0
= ne2
m τ.
2. Probleme im klassischen Zugang
In der klassischen Betrachtung streuen die Elektronen an jedem
Ion: die Streuzeiten sind zu kurz!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 4/40

I Das Drude-Problem
Leitfähigkeitσ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall:τ→ 0)
σ(ω) = σ 0
1+iωτ
1+(ωτ) 2 ,
σ 0
= ne2
m τ.
2. Probleme im klassischen Zugang
In der klassischen Betrachtung streuen die Elektronen an jedem
Ion: die Streuzeiten sind zu kurz!
Die typischen Transportgeschwindigkeiten sind falsch
(Boltzmann-Statistik statt Fermi-Statistik)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 4/40

I Das Drude-Problem
Leitfähigkeitσ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall:τ→ 0)
σ(ω) = σ 0
1+iωτ
1+(ωτ) 2 ,
σ 0
= ne2
m τ.
2. Probleme im klassischen Zugang
In der klassischen Betrachtung streuen die Elektronen an jedem
Ion: die Streuzeiten sind zu kurz!
Die typischen Transportgeschwindigkeiten sind falsch
(Boltzmann-Statistik statt Fermi-Statistik)
Es fehlt eben die Quantenmechanik – diese zeigt aber, daß das
Drude-Resultat für Metalle im Limesωτ≪ 1 vernünftig ist.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 4/40

I Das Drude-Problem
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 5/40

I Das Drude-Problem
Die Quantenmechanik lehrt uns:
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 5/40

I Das Drude-Problem
Die Quantenmechanik lehrt uns:
Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 5/40

I Das Drude-Problem
Die Quantenmechanik lehrt uns:
Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben.
Für eine perfekt periodische Anordnung der Ionen sind die
Bloch-Wellen über den ganzen Kristall ausgebreitet.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 5/40

I Das Drude-Problem
Die Quantenmechanik lehrt uns:
Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben.
Für eine perfekt periodische Anordnung der Ionen sind die
Bloch-Wellen über den ganzen Kristall ausgebreitet.
Die Quantenmechanik ‘kehrt die Beweislast um’:
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 5/40

I Das Drude-Problem
Die Quantenmechanik lehrt uns:
Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben.
Für eine perfekt periodische Anordnung der Ionen sind die
Bloch-Wellen über den ganzen Kristall ausgebreitet.
Die Quantenmechanik ‘kehrt die Beweislast um’:
Warum gibt es Isolatoren?
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 5/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 6/40

II Charakterisierung von Isolatoren
1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 6/40

II Charakterisierung von Isolatoren
1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0
Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine)
Spannung anlegen.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 6/40

II Charakterisierung von Isolatoren
1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0
Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine)
Spannung anlegen.
Etwas genauer: bei TemperaturT = 0 verschwindet der Realteil
des Tensors der Gleichstrom-Leitfähigkeit,
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 6/40

II Charakterisierung von Isolatoren
1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0
Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine)
Spannung anlegen.
Etwas genauer: bei TemperaturT = 0 verschwindet der Realteil
des Tensors der Gleichstrom-Leitfähigkeit,
σ DC
α,β
(T = 0) = lim lim lim R { σ α,β (⃗q,ω;T) } ;
T→0ω→0|⃗q|→0
Isolator :
σ DC
α,β
(T = 0)=0.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 6/40

II Charakterisierung von Isolatoren
1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0
Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine)
Spannung anlegen.
Etwas genauer: bei TemperaturT = 0 verschwindet der Realteil
des Tensors der Gleichstrom-Leitfähigkeit,
σ DC
α,β
(T = 0) = lim lim lim R { σ α,β (⃗q,ω;T) } ;
T→0ω→0|⃗q|→0
Isolator :
σ DC
α,β
(T = 0)=0.
Die Unterscheidung zwischen Metall und Isolator ist nur bei
T = 0 sinnvoll: alle Materialien leiten mehr oder weniger bei
endlichen Temperaturen.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 6/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Isolierendes Verhalten resultiert aus
I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen
II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Isolierendes Verhalten resultiert aus
I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen
II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung
Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Isolierendes Verhalten resultiert aus
I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen
II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung
Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund
1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen
Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Isolierendes Verhalten resultiert aus
I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen
II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung
Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund
1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen
Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren)
2. der Wechselwirkung mit einem periodisch modulierten
Gitterpotential (Peierls Isolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Isolierendes Verhalten resultiert aus
I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen
II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung
Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund
1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen
Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren)
2. der Wechselwirkung mit einem periodisch modulierten
Gitterpotential (Peierls Isolatoren)
3. der Streuung an Verunreinigungen und sonstigen
unregelmäßigen Potentialfluktuationen (Anderson Isolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
2. Klassen von Isolatoren
Isolierendes Verhalten resultiert aus
I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen
II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung
Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund
1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen
Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren)
2. der Wechselwirkung mit einem periodisch modulierten
Gitterpotential (Peierls Isolatoren)
3. der Streuung an Verunreinigungen und sonstigen
unregelmäßigen Potentialfluktuationen (Anderson Isolatoren)
Aufgabe: beschreibe unabhängige Elektronen in einem Potential!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 7/40

II Charakterisierung von Isolatoren
In der Kategorie II ist ein Vielteilchen-Problem zu lösen. Hierzu
gehören Isolatoren aufgrund
4. der Elektron-Elektron Wechselwirkung (Mott Isolatoren).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 8/40

II Charakterisierung von Isolatoren
In der Kategorie II ist ein Vielteilchen-Problem zu lösen. Hierzu
gehören Isolatoren aufgrund
4. der Elektron-Elektron Wechselwirkung (Mott Isolatoren).
Die Klassifizierung ist rein theoretisch: in realen Materialien sind
stets alle Wechselwirkungen präsent. Isolatoren werden benannt
nach dem dominanten Mechanismus.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 8/40

II Charakterisierung von Isolatoren
In der Kategorie II ist ein Vielteilchen-Problem zu lösen. Hierzu
gehören Isolatoren aufgrund
4. der Elektron-Elektron Wechselwirkung (Mott Isolatoren).
Die Klassifizierung ist rein theoretisch: in realen Materialien sind
stets alle Wechselwirkungen präsent. Isolatoren werden benannt
nach dem dominanten Mechanismus.
‘Gemischte Fälle’ werden mit Begriffen wie ‘Mott-Anderson
Isolator’ belegt.
Beispiel: im ‘Mott-Anderson Isolator’ bewirken Elektron-Elektron
Wechselwirkung und Verunreinigungsstreuung zusammen das
isolierende Verhalten.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 8/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 9/40

II Charakterisierung von Isolatoren
3. Kriterium der Energielücke
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 9/40

II Charakterisierung von Isolatoren
3. Kriterium der Energielücke
Annahme:
schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig
Anregungsenergie bereitstellen (ω→0).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 9/40

II Charakterisierung von Isolatoren
3. Kriterium der Energielücke
Annahme:
schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig
Anregungsenergie bereitstellen (ω→0).
Resultat:
lineare Antwort-Theorie ist anwendbar, es gilt das
Fluktuations-Dissipations-Theorem:
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 9/40

II Charakterisierung von Isolatoren
3. Kriterium der Energielücke
Annahme:
schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig
Anregungsenergie bereitstellen (ω→0).
Resultat:
lineare Antwort-Theorie ist anwendbar, es gilt das
Fluktuations-Dissipations-Theorem:
die Leitfähigkeit (Transport-Größe!) ist gegeben durch eine
Strom-Strom Korrelationsfunktion im Gleichgewicht.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 9/40

II Charakterisierung von Isolatoren
3. Kriterium der Energielücke
Annahme:
schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig
Anregungsenergie bereitstellen (ω→0).
Resultat:
lineare Antwort-Theorie ist anwendbar, es gilt das
Fluktuations-Dissipations-Theorem:
die Leitfähigkeit (Transport-Größe!) ist gegeben durch eine
Strom-Strom Korrelationsfunktion im Gleichgewicht.
Problem:
die Strom-Strom Korrelationsfunktion ist eine
Zweiteilchen-Größe. Sie beschreibt die Propagation einer
Teilchen-Loch Anregung des Systems.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 9/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Lösung:
Für Stromtransport müssen sowohl das Teilchen als auch das
Loch (Einteilchenzustände) zu Kathode bzw. Anode propagieren.
Daher muß das Kriterium der Energielücke gelten:
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 10/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Lösung:
Für Stromtransport müssen sowohl das Teilchen als auch das
Loch (Einteilchenzustände) zu Kathode bzw. Anode propagieren.
Daher muß das Kriterium der Energielücke gelten:
Die Einteilchenanregungen Teilchen bzw. Loch müssen
makroskopisch ausgedehnt sein, ihre Anregungsenergie
muß verschwindend gering sein.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 10/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Lösung:
Für Stromtransport müssen sowohl das Teilchen als auch das
Loch (Einteilchenzustände) zu Kathode bzw. Anode propagieren.
Daher muß das Kriterium der Energielücke gelten:
Die Einteilchenanregungen Teilchen bzw. Loch müssen
makroskopisch ausgedehnt sein, ihre Anregungsenergie
muß verschwindend gering sein.
Für ein System mitN± 1-Teilchen, GrundzustandsenergieE 0 (N)
und minimaler EnergieE0 ext (N± 1) für ausgedehnte Zustände:
µ ± (N) := E ext
0 (N± 1)−E 0(N),
∆ := µ + (N)−µ − (N),
∆ > 0 : Isolator (Lückenkriterium).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 10/40

II Charakterisierung von Isolatoren
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 11/40

II Charakterisierung von Isolatoren
4. Endliche Temperaturen
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 11/40

II Charakterisierung von Isolatoren
4. Endliche Temperaturen
Vorteile der Energielücke:
1. leichter zu berechnen (Einteilchen-Größe!);
2. relevante Energieskala, die mit thermischen Energienk B T
verglichen werden kann.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 11/40

II Charakterisierung von Isolatoren
4. Endliche Temperaturen
Vorteile der Energielücke:
1. leichter zu berechnen (Einteilchen-Größe!);
2. relevante Energieskala, die mit thermischen Energienk B T
verglichen werden kann.
Ist die Energielücke groß gegen die Temperatur, so zeigt die
Leitfähigkeit ein aktiviertes Verhalten,
(
σ DC
α,β (k BT ≪∆)∼exp − ∆
2k B T
(Experimentell zugängliches Kriterium für einen Isolator)
)
.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 11/40

II Charakterisierung von Isolatoren
4. Endliche Temperaturen
Vorteile der Energielücke:
1. leichter zu berechnen (Einteilchen-Größe!);
2. relevante Energieskala, die mit thermischen Energienk B T
verglichen werden kann.
Ist die Energielücke groß gegen die Temperatur, so zeigt die
Leitfähigkeit ein aktiviertes Verhalten,
(
σ DC
α,β (k BT ≪∆)∼exp − ∆
2k B T
(Experimentell zugängliches Kriterium für einen Isolator)
Die so bestimmte Energielücke kann selbst von der Temperatur
und anderen Systemvariablenλabhängen,∆=∆(T,λ).
)
.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 11/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren?
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 12/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren?
1. Thermodynamische Phasenübergänge
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 12/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren?
1. Thermodynamische Phasenübergänge
Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in
Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger
Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 12/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren?
1. Thermodynamische Phasenübergänge
Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in
Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger
Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw.
Die EntropieS wirkt geordneten Phasen entgegen.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 12/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren?
1. Thermodynamische Phasenübergänge
Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in
Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger
Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw.
Die EntropieS wirkt geordneten Phasen entgegen.
Der Parameter TemperaturT kontrolliert die Konkurrenz
zwischenU undS.
Zu optimieren ist die freie Energie:F=U−TS.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 12/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren?
1. Thermodynamische Phasenübergänge
Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in
Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger
Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw.
Die EntropieS wirkt geordneten Phasen entgegen.
Der Parameter TemperaturT kontrolliert die Konkurrenz
zwischenU undS.
Zu optimieren ist die freie Energie:F=U−TS.
Konsequenz:
thermodynamischer Phasenübergang beiT c mit geordnetem
Zustand fürT T c .
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 12/40

III Metall-Isolator Übergänge
In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen
Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen,
‘weiche Lücke’: ∆(T 0 , ∆(T ≥T c )=0.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 13/40

III Metall-Isolator Übergänge
In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen
Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen,
‘weiche Lücke’: ∆(T 0 , ∆(T ≥T c )=0.
Phasendiagramm:
T
✻
✁ T c(λ)
not ordered ✁ ✁✁✁✁
(good conductor)
ordered
✁ ✁✁✁✁ (bad conductor)
•✁ ✁ ✲
metal
insulator
λ c
λ
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 13/40

III Metall-Isolator Übergänge
In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen
Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen,
‘weiche Lücke’: ∆(T 0 , ∆(T ≥T c )=0.
Phasendiagramm:
T
✻
✁ T c(λ)
not ordered ✁ ✁✁✁✁
(good conductor)
ordered
✁ ✁✁✁✁ (bad conductor)
•✁ ✁ ✲
metal
insulator
λ c
λ
Der Punkt(T = 0,λ c ) ist ein quanten-kritischer Punkt.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 13/40

III Metall-Isolator Übergänge
In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen
Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen,
‘weiche Lücke’: ∆(T 0 , ∆(T ≥T c )=0.
Phasendiagramm:
T
✻
✁ T c(λ)
not ordered ✁ ✁✁✁✁
(good conductor)
ordered
✁ ✁✁✁✁ (bad conductor)
•✁ ✁ ✲
metal
insulator
λ c
λ
Der Punkt(T = 0,λ c ) ist ein quanten-kritischer Punkt.
Der Übergang als Funktion vonλbei(T = 0,λ c ) heißt
‘Quanten-Phasenübergang’.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 13/40

III Metall-Isolator Übergänge
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 14/40

III Metall-Isolator Übergänge
2. Quanten-Phasenübergänge bei TemperaturT = 0
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 14/40

III Metall-Isolator Übergänge
2. Quanten-Phasenübergänge bei TemperaturT = 0
Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung
der Elektronen im Grundzustand des Systems.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 14/40

III Metall-Isolator Übergänge
2. Quanten-Phasenübergänge bei TemperaturT = 0
Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung
der Elektronen im Grundzustand des Systems.
Die potentielle Energie ˆV bevorzugt in manchen Systemen einen
Grundzustand mit Lücke für stromtragende Anregungen. Dieser
Zustand kann geordnet sein, muß es aber nicht!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 14/40

III Metall-Isolator Übergänge
2. Quanten-Phasenübergänge bei TemperaturT = 0
Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung
der Elektronen im Grundzustand des Systems.
Die potentielle Energie ˆV bevorzugt in manchen Systemen einen
Grundzustand mit Lücke für stromtragende Anregungen. Dieser
Zustand kann geordnet sein, muß es aber nicht!
Der Systemparameterλ(zum Beispiel Druck, Elektronendichte)
kontrolliert die Konkurrenz zwischen ˆT und ˆV.
Zu optimieren ist die Grundzustandsenergie:E 0 =〈ˆT+ˆV〉 0 .
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 14/40

III Metall-Isolator Übergänge
2. Quanten-Phasenübergänge bei TemperaturT = 0
Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung
der Elektronen im Grundzustand des Systems.
Die potentielle Energie ˆV bevorzugt in manchen Systemen einen
Grundzustand mit Lücke für stromtragende Anregungen. Dieser
Zustand kann geordnet sein, muß es aber nicht!
Der Systemparameterλ(zum Beispiel Druck, Elektronendichte)
kontrolliert die Konkurrenz zwischen ˆT und ˆV.
Zu optimieren ist die Grundzustandsenergie:E 0 =〈ˆT+ˆV〉 0 .
Konsequenz: der Quanten-Phasenübergang kann zu einem
Metall-Isolator Übergang führen,
Metall fürλλ c .
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 14/40

III Metall-Isolator Übergänge
Für einen Übergang ohne Symmetriebrechung erwartet man eine
‘harte Lücke’: ∆(T,λ>λ c )>0,
die nicht wesentlich von der Temperatur abhängt.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 15/40

III Metall-Isolator Übergänge
Für einen Übergang ohne Symmetriebrechung erwartet man eine
‘harte Lücke’: ∆(T,λ>λ c )>0,
die nicht wesentlich von der Temperatur abhängt.
Idealisiertes Phasendiagramm:
T
✻
· cross-over regime
·
·
good·
bad
·
semi-
conductor·
semimetal
conductor
· conduc-
tor
·
·
·
·
·
·
·
·
•················
✲
metal λ c insulator
λ
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 15/40

III Metall-Isolator Übergänge
Für einen Übergang ohne Symmetriebrechung erwartet man eine
‘harte Lücke’: ∆(T,λ>λ c )>0,
die nicht wesentlich von der Temperatur abhängt.
Idealisiertes Phasendiagramm:
T
✻
· cross-over regime
·
·
good·
bad
·
semi-
conductor·
semimetal
conductor
· conduc-
tor
·
·
·
·
·
·
·
·
•················
✲
metal λ c insulator
λ
Der Quanten-Phasenübergang bei(T = 0,λ c ) induziert ein
‘cross-over’ Verhalten der Leitfähigkeit bei endlichen
Temperaturen, keine Singularitäten. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 15/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wechselwirkungen ˆV 1 , die ‘klein’ gegen ˆT und ˆV sind, werden in
der Nähe des Quanten-Phasenübergangs wichtig:
|λ−λ c | wird zum kleinen Parameter der Summe ˆT+ˆV.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 16/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wechselwirkungen ˆV 1 , die ‘klein’ gegen ˆT und ˆV sind, werden in
der Nähe des Quanten-Phasenübergangs wichtig:
|λ−λ c | wird zum kleinen Parameter der Summe ˆT+ˆV.
Konsequenz:
geordnete Phasen ‘verbergen’ den Quanten-Phasenübergang.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 16/40

III Metall-Isolator Übergänge
Wechselwirkungen ˆV 1 , die ‘klein’ gegen ˆT und ˆV sind, werden in
der Nähe des Quanten-Phasenübergangs wichtig:
|λ−λ c | wird zum kleinen Parameter der Summe ˆT+ˆV.
Konsequenz:
geordnete Phasen ‘verbergen’ den Quanten-Phasenübergang.
Vollständiges Phasendiagramm
(Übergänge können erster oder zweiter Ordnung sein):
T
good
conductor
cross
over
bad
conductor
ordered phase
λ
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 16/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 17/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
1. Prinzip
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 17/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. perfekt periodisches Gitterpotential der Ionen
2. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 17/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. perfekt periodisches Gitterpotential der Ionen
2. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Konsequenz: Einteilchen-Problem
Ĥ|Φ〉=E|Φ〉
mit dem Hamilton-Operator (in zweiter Quantisierung)
Ĥ= ∑ σ
∫
(
d⃗r ˆΨ σ + (⃗r) − 2
2m ∇2 + ∑ )
U(⃗r−⃗R i ) ˆΨ σ (⃗r)
⃗R i
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 17/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 18/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Resultat: EnergiebänderE n ( ⃗ k) mit Bandindexnfür Bloch-Wellen
mit Kristallimpuls ⃗ k aus der ersten Brillouin-Zone.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 18/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Resultat: EnergiebänderE n ( k) ⃗ mit Bandindexnfür Bloch-Wellen
mit Kristallimpulsk ⃗ aus der ersten Brillouin-Zone.
Bandisolator:
1. vollständig gefüllte ValenzbänderEn( v k), ⃗
2. leere LeitungsbänderEn c(⃗ k).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 18/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Resultat: EnergiebänderE n ( k) ⃗ mit Bandindexnfür Bloch-Wellen
mit Kristallimpulsk ⃗ aus der ersten Brillouin-Zone.
Bandisolator:
1. vollständig gefüllte ValenzbänderEn( v k), ⃗
2. leere LeitungsbänderEn c(⃗ k).
3. Energielücke für Einteilchen-Anregungen
[
∆= Min En( c k)−E ⃗ m( v ⃗ ]
k)
⃗k,m,n
.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 18/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Resultat: EnergiebänderE n ( k) ⃗ mit Bandindexnfür Bloch-Wellen
mit Kristallimpulsk ⃗ aus der ersten Brillouin-Zone.
Bandisolator:
1. vollständig gefüllte ValenzbänderEn( v k), ⃗
2. leere LeitungsbänderEn c(⃗ k).
3. Energielücke für Einteilchen-Anregungen
[
∆= Min En( c k)−E ⃗ m( v ⃗ ]
k)
⃗k,m,n
.
Bedingung für einen Bandisolator:
pro Einheitszelle muß eine gerade Anzahl von Elektronen
vorliegen, denn die Elektronen haben Spinσ =↑,↓!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 18/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Energielücke für Einteilchen-Anregungen
[ ]
∆= Min En c (⃗ k)−Em v (⃗ k)
⃗k,m,n
.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 19/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Energielücke für Einteilchen-Anregungen
[ ]
∆= Min En c (⃗ k)−Em v (⃗ k)
⃗k,m,n
.
Schematische Zustandsdichten
E
✻
wide-gap
insulator
(a)
intrinsic
semicond.
(b)
two-band
semimetal
(c)
one-band
metal
(d)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 19/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 20/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
2. Bloch-Wilson Übergang in Ytterbium unter Druck
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 20/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
2. Bloch-Wilson Übergang in Ytterbium unter Druck
Leitfähigkeit bei einem Quanten-Phasenübergang
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 20/40

IV Bloch-Wilson Bandisolator
2. Bloch-Wilson Übergang in Ytterbium unter Druck
Leitfähigkeit bei einem Quanten-Phasenübergang
Aufgrund des Drucks verändern sich Matrixelemente der
Hybridisierung zwischendundf Elektronen, ein Loch-Ellipsoid
verschwindet unter Druck.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 20/40

V Peierls Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 21/40

V Peierls Isolator
1. Prinzip
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 21/40

V Peierls Isolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. statisch deformierbares Gitter
2. stark anisotrop: quasi-eindimensional
3. einzelnes Band am Fermi-Wellenvektork F
4. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 21/40

V Peierls Isolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. statisch deformierbares Gitter
2. stark anisotrop: quasi-eindimensional
3. einzelnes Band am Fermi-Wellenvektork F
4. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Konsequenz: Einteilchen-Problem mit dem Hamilton-Operator
Ĥ= ∑ σ
∫
dx ˆΨ + σ (x) (
− 2
2m
d 2 )
dx 2+δ sin(2k Fx) ˆΨ σ (x)+Cδ 2
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 21/40

V Peierls Isolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. statisch deformierbares Gitter
2. stark anisotrop: quasi-eindimensional
3. einzelnes Band am Fermi-Wellenvektork F
4. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Konsequenz: Einteilchen-Problem mit dem Hamilton-Operator
Ĥ= ∑ σ
∫
dx ˆΨ + σ (x) (
− 2
2m
d 2 )
dx 2+δ sin(2k Fx) ˆΨ σ (x)+Cδ 2
selbstkonsistent zu lösen für die wellenförmige Modulationδ
des Gitters mit Wellenzahl 2k F (Ladungsdichtewelle)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 21/40

V Peierls Isolator
Die Ladungsdichtewelle
kostet elastische Energie proportional zuδ 2
bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 22/40

V Peierls Isolator
Die Ladungsdichtewelle
kostet elastische Energie proportional zuδ 2
bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ)
Die geordnete Phase existiert nur bei tiefen Temperaturen
(thermodynamischer Phasenübergang).
Die Ladungsdichtewelle zeigt eine Einteilchen-Lücke.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 22/40

V Peierls Isolator
Die Ladungsdichtewelle
kostet elastische Energie proportional zuδ 2
bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ)
Die geordnete Phase existiert nur bei tiefen Temperaturen
(thermodynamischer Phasenübergang).
Die Ladungsdichtewelle zeigt eine Einteilchen-Lücke.
Bandstruktur des Peierls Isolators bei TemperaturT = 0
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 22/40

V Peierls Isolator
Die Ladungsdichtewelle
kostet elastische Energie proportional zuδ 2
bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ)
Die geordnete Phase existiert nur bei tiefen Temperaturen
(thermodynamischer Phasenübergang).
Die Ladungsdichtewelle zeigt eine Einteilchen-Lücke.
Bandstruktur des Peierls Isolators bei TemperaturT = 0
Die Lücke ist proportional zuδ. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 22/40

V Peierls Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 23/40

V Peierls Isolator
2. Peierls Übergang in K 3 Mo 10 O 30 (blaue Bronze)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 23/40

V Peierls Isolator
2. Peierls Übergang in K 3 Mo 10 O 30 (blaue Bronze)
Leitfähigkeit bei einem thermodynamischen Phasenübergang
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 23/40

V Peierls Isolator
2. Peierls Übergang in K 3 Mo 10 O 30 (blaue Bronze)
Leitfähigkeit bei einem thermodynamischen Phasenübergang
Bei tiefen Temperaturen ist die Gitterverzerrung stabil, die
Ladungsdichtewelle zeigt eine Lücke für stromtragende
Einteilchen-Anregungen.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 23/40

VI Anderson Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 24/40

VI Anderson Isolator
1. Prinzip
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 24/40

VI Anderson Isolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. stark fluktuierendes Gitterpotential
2. einzelnes Band an der FermienergieE F
3. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 24/40

VI Anderson Isolator
1. Prinzip
Annahmen:
1. stark fluktuierendes Gitterpotential
2. einzelnes Band an der FermienergieE F
3. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung
Konsequenz: Anderson-Modell mit dem Hamilton-Operator
Ĥ= ∑
t ⃗l,⃗m ĉ + ⃗ ĉ l,σ ⃗m,σ + ∑ U ⃗l ĉ + ⃗ ĉ l,σ ⃗l,σ
⃗ l≠⃗m;σ ⃗ l;σ
t i,j :
U i :
Amplituden für den Elektronentransfer von Gitterplatz ⃗R i
zu Gitterplatz ⃗R j (L Gitterplätze)
lokal fluktuierendes Potential, z.B. gleichverteilt
im Interval[−δ,δ].
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 24/40

VI Anderson Isolator
Streuung an einer einzelnen Verunreinigung (U ⃗l≠ ⃗ l0
= 0) liefert:
(L−2) makroskopisch ausgedehnte Streuzustände,
zwei lokalisierte ‘bonding’ und ‘anti-bonding’ Zustände
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 25/40

VI Anderson Isolator
Streuung an einer einzelnen Verunreinigung (U ⃗l≠ ⃗ l0
= 0) liefert:
(L−2) makroskopisch ausgedehnte Streuzustände,
zwei lokalisierte ‘bonding’ und ‘anti-bonding’ Zustände
Streuung an vielen Verunreinigungen liefert:
lokalisierte und ausgedehnte Zustände,
separiert durch die MobilitätskantenE (1,2)
M
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 25/40

VI Anderson Isolator
Streuung an einer einzelnen Verunreinigung (U ⃗l≠ ⃗ l0
= 0) liefert:
(L−2) makroskopisch ausgedehnte Streuzustände,
zwei lokalisierte ‘bonding’ und ‘anti-bonding’ Zustände
Streuung an vielen Verunreinigungen liefert:
lokalisierte und ausgedehnte Zustände,
separiert durch die MobilitätskantenE (1,2)
M
Anderson-Isolator: endliche Lücke zwischen der Mobilitätskante
und der Fermi-Energie,
∆=E (1)
M −E F> 0
oder
∆=E F −E (2)
M > 0
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 25/40

VI Anderson Isolator
Schema der Zustandsdichte als Funktion der Stärke der
Verunreinigungsstreuung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 26/40

VI Anderson Isolator
Schema der Zustandsdichte als Funktion der Stärke der
Verunreinigungsstreuung
Ein Quanten-Phasenübergang kann induziert werden
durch Variation der Stärke der Verunreinigungsstreuungδim
Verhältnis zur BandbreiteB (schwierig)
durch Auffüllen des Bandes (Dotierung ändertE F )
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 26/40

VI Anderson Isolator
2. Anderson-Übergang in dotiertem Silizium (Si)/Germanium (Ge)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 27/40

VI Anderson Isolator
2. Anderson-Übergang in dotiertem Silizium (Si)/Germanium (Ge)
P/Sb Atome: Donatoren für Elektronen und Streuzentren.
Die Zahl der Streuzentren kann erhöht werden durch Hinzufügen
von gleichen Mengen P/Sb und Bor (B) (‘Kompensation’).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 27/40

VI Anderson Isolator
2. Anderson-Übergang in dotiertem Silizium (Si)/Germanium (Ge)
P/Sb Atome: Donatoren für Elektronen und Streuzentren.
Die Zahl der Streuzentren kann erhöht werden durch Hinzufügen
von gleichen Mengen P/Sb und Bor (B) (‘Kompensation’).
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 27/40

VI Anderson Isolator
2. Anderson-Übergang in dotiertem Silizium (Si)/Germanium (Ge)
P/Sb Atome: Donatoren für Elektronen und Streuzentren.
Die Zahl der Streuzentren kann erhöht werden durch Hinzufügen
von gleichen Mengen P/Sb und Bor (B) (‘Kompensation’).
Problematisch: kritischer Exponentν inσ ∝(n−n c ) ν ist schwer
zu bestimmen – experimentell und theoretisch!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 27/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Theorie)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 28/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Theorie)
Theoretische Vorhersage fürν aus der Entwicklung inǫ=d−2:
ν(d)= 1 ǫ − 9 4 ζ(3)ǫ3 +O
(ǫ 4)
Leider istζ(3)≈1.2 undǫ=1 ind=3 Dimensionen!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 28/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Theorie)
Theoretische Vorhersage fürν aus der Entwicklung inǫ=d−2:
ν(d)= 1 ǫ − 9 4 ζ(3)ǫ3 +O
(ǫ 4)
Leider istζ(3)≈1.2 undǫ=1 ind=3 Dimensionen!
Chayes-Grenze für Anderson-Modell:
ν(d=3)≥2/3
scheint verletzt zu sein für unkompensierte Materialien!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 28/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Theorie)
Theoretische Vorhersage fürν aus der Entwicklung inǫ=d−2:
ν(d)= 1 ǫ − 9 4 ζ(3)ǫ3 +O
(ǫ 4)
Leider istζ(3)≈1.2 undǫ=1 ind=3 Dimensionen!
Chayes-Grenze für Anderson-Modell:
ν(d=3)≥2/3
scheint verletzt zu sein für unkompensierte Materialien!
Numerische Rechnungen auf ‘großen’ Systemen liefern
ν(d=3)=1.4±0.2
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 28/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Experiment)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 29/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Experiment)
Resultate der Thomas-Gruppe
ν≈ 0.5
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 29/40

VI Anderson Isolator
3. Exponentenpuzzle (Experiment)
Resultate der Thomas-Gruppe
Resultate der Löhneysen-Gruppe
ν≈ 0.5 ν≈ 1.3
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 29/40

VII Mott Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 30/40

VII Mott Isolator
1. Prinzip
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 30/40

VII Mott Isolator
1. Prinzip
Stark vereinfachende Annahmen:
1. perfekt periodisches Gitter mitLPlätzen
2. ein Band an der FermienergieE F mit BandbreiteW
3. rein lokale Elektron-Elektron Wechselwirkung der StärkeU
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 30/40

VII Mott Isolator
1. Prinzip
Stark vereinfachende Annahmen:
1. perfekt periodisches Gitter mitLPlätzen
2. ein Band an der FermienergieE F mit BandbreiteW
3. rein lokale Elektron-Elektron Wechselwirkung der StärkeU
Hamilton-Operator des Hubbard Modells
Ĥ = ˆT+U ˆD−(U/2) ˆN+UL/4,
ˆT = ∑
⃗ l,⃗m;σ
t( ⃗ l− ⃗m)ĉ + ⃗ l,σ ĉ ⃗m,σ ,
ˆD = ∑ ⃗ l
ˆn ⃗l,↑ ˆn ⃗l,↓ , ˆN= ∑ ⃗ l;σ
ˆn ⃗l,σ .
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 30/40

VII Mott Isolator
1. Prinzip
Stark vereinfachende Annahmen:
1. perfekt periodisches Gitter mitLPlätzen
2. ein Band an der FermienergieE F mit BandbreiteW
3. rein lokale Elektron-Elektron Wechselwirkung der StärkeU
Hamilton-Operator des Hubbard Modells
Ĥ = ˆT+U ˆD−(U/2) ˆN+UL/4,
ˆT = ∑
⃗ l,⃗m;σ
t( ⃗ l− ⃗m)ĉ + ⃗ l,σ ĉ ⃗m,σ ,
ˆD = ∑ ⃗ l
ˆn ⃗l,↑ ˆn ⃗l,↓ , ˆN= ∑ ⃗ l;σ
ˆn ⃗l,σ .
NEU: echtes Vielteilchen-Problem!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 30/40

VII Mott Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 31/40

VII Mott Isolator
2. Mott-Übergang bei halber Bandfüllung,N=L
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 31/40

VII Mott Isolator
2. Mott-Übergang bei halber Bandfüllung,N=L
i. Schwache Wechselwirkung (U≪W)
Die Zustände an der FermikanteE F = 0 sind ausgedehnt,
es gibt keine Energielücke
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 31/40

VII Mott Isolator
2. Mott-Übergang bei halber Bandfüllung,N=L
i. Schwache Wechselwirkung (U≪W)
Die Zustände an der FermikanteE F = 0 sind ausgedehnt,
es gibt keine Energielücke
D(E)
W
E
Metallischer Grundzustand
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 31/40

VII Mott Isolator
ii. Starke Wechselwirkung (U≫W):
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 32/40

VII Mott Isolator
ii. Starke Wechselwirkung (U≫W):
(a) Band für Doppelbesetzungen: oberes Hubbard-Band
(b) Band für Lochanregungen: unteres Hubbard-Band
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 32/40

VII Mott Isolator
ii. Starke Wechselwirkung (U≫W):
(a) Band für Doppelbesetzungen: oberes Hubbard-Band
(b) Band für Lochanregungen: unteres Hubbard-Band
✻ ❄ ✻ ❄❄ ✻ ❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ✻ ❄
(a) ✻❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ✻✻ ❄❄ ✻
✻ ❄❝ ❄ ✻ ❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ❝
(b) ✻❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ✻ ❝ ❄ ✻
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 32/40

VII Mott Isolator
ii. Starke Wechselwirkung (U≫W):
(a) Band für Doppelbesetzungen: oberes Hubbard-Band
(b) Band für Lochanregungen: unteres Hubbard-Band
✻ ❄ ✻ ❄❄ ✻ ❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ✻ ❄
(a) ✻❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ✻✻ ❄❄ ✻
✻ ❄❝ ❄ ✻ ❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ❝
Energielücke
(b) ✻❄ ✻ ←→ ✻ ❄❄ ✻ ❝ ❄ ✻
∆(U≫W)≈U−W > 0 : Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 32/40

VII Mott Isolator
Einteilchen-Zustandsdichte
D(E)
U
W ∆=U−W W
Isolierender Grundzustand
E
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 33/40

VII Mott Isolator
Die beiden Bänder für Ladungsanregungen sind durch die
Energielücke∆(U≫W)≈U−W > 0 getrennt.
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 34/40

VII Mott Isolator
Die beiden Bänder für Ladungsanregungen sind durch die
Energielücke∆(U≫W)≈U−W > 0 getrennt.
Die beiden Bänder verschmelzen beiU c ≈W:
Mott–Hubbard Metall-Isolator Übergang
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 34/40

VII Mott Isolator
Die beiden Bänder für Ladungsanregungen sind durch die
Energielücke∆(U≫W)≈U−W > 0 getrennt.
Die beiden Bänder verschmelzen beiU c ≈W:
Mott–Hubbard Metall-Isolator Übergang
Der Mott–Hubbard Übergang ist ein Quanten-Phasenübergang,
er erfordert keine Symmetriebrechung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 34/40

VII Mott Isolator
Die beiden Bänder für Ladungsanregungen sind durch die
Energielücke∆(U≫W)≈U−W > 0 getrennt.
Die beiden Bänder verschmelzen beiU c ≈W:
Mott–Hubbard Metall-Isolator Übergang
Der Mott–Hubbard Übergang ist ein Quanten-Phasenübergang,
er erfordert keine Symmetriebrechung
Der Mott–Hubbard Übergang wird überdeckt durch die Ordnung
der magnetischen Momente: Mott–Heisenberg Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 34/40

VII Mott Isolator
Die beiden Bänder für Ladungsanregungen sind durch die
Energielücke∆(U≫W)≈U−W > 0 getrennt.
Die beiden Bänder verschmelzen beiU c ≈W:
Mott–Hubbard Metall-Isolator Übergang
Der Mott–Hubbard Übergang ist ein Quanten-Phasenübergang,
er erfordert keine Symmetriebrechung
Der Mott–Hubbard Übergang wird überdeckt durch die Ordnung
der magnetischen Momente: Mott–Heisenberg Isolator
T
cross
over
correlated
metal
Mott–Hubbard
insulator
Mott–Heisenberg
insulator (ordered)
U
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 34/40

VII Mott Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 35/40

VII Mott Isolator
3. Qualitatives Phasendiagramm des Hubbard-Modells
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 35/40

VII Mott Isolator
3. Qualitatives Phasendiagramm des Hubbard-Modells
Nur im Limes hoher Dimensionen kann das Phasendiagramm
quantitativ studiert werden – schwieriges Problem!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 35/40

VII Mott Isolator
3. Qualitatives Phasendiagramm des Hubbard-Modells
Nur im Limes hoher Dimensionen kann das Phasendiagramm
quantitativ studiert werden – schwieriges Problem!
Phasendiagramm der Dynamischen Molekularfeld-Theorie
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 35/40

VII Mott Isolator
3. Qualitatives Phasendiagramm des Hubbard-Modells
Nur im Limes hoher Dimensionen kann das Phasendiagramm
quantitativ studiert werden – schwieriges Problem!
Phasendiagramm der Dynamischen Molekularfeld-Theorie
Alle qualitativen Phasen sind vorhanden
Viele Gruppen finden auch Phasenübergänge erster Ordnung bei
endlichen Temperaturen
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 35/40

VII Mott Isolator
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 36/40

VII Mott Isolator
4. Phasendiagramm von Vanadium-Sesquioxid (V 2 O 3 ) unter Druck
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 36/40

VII Mott Isolator
4. Phasendiagramm von Vanadium-Sesquioxid (V 2 O 3 ) unter Druck
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 36/40

VII Mott Isolator
4. Phasendiagramm von Vanadium-Sesquioxid (V 2 O 3 ) unter Druck
Reales Material, kein Hubbard-Modell:
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 36/40

VII Mott Isolator
4. Phasendiagramm von Vanadium-Sesquioxid (V 2 O 3 ) unter Druck
Reales Material, kein Hubbard-Modell:
1. es gibt mehrere 3d-Bänder an der Fermikante
2. die Elektron-Gitter Wechselwirkung ist relevant,
nahe der Übergänge treten starke Volumenänderungen auf
3. die Elektron-Elektron Wechselwirkung ist langreichweitig, eine
konsistente Beschreibung der Abschirmung fehlt
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 36/40

VII Mott Isolator
All das ist (noch) zu kompliziert für heutige theoretisch/numerische
Verfahren, aber:
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 37/40

VII Mott Isolator
All das ist (noch) zu kompliziert für heutige theoretisch/numerische
Verfahren, aber:
Wir machen Fortschritte!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 37/40

VIII Zusammenfassung
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Festkörper können Isolatoren sein
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Festkörper können Isolatoren sein
aufgrund der Wechselwirkung mit dem periodischen
Gitterpotential (Bandisolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Festkörper können Isolatoren sein
aufgrund der Wechselwirkung mit dem periodischen
Gitterpotential (Bandisolatoren)
aufgrund einer statischen Gitterdeformation
(Peierls-Isolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Festkörper können Isolatoren sein
aufgrund der Wechselwirkung mit dem periodischen
Gitterpotential (Bandisolatoren)
aufgrund einer statischen Gitterdeformation
(Peierls-Isolatoren)
aufgrund (starker) Unordnung im Gitterpotential
(Anderson-Isolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Festkörper können Isolatoren sein
aufgrund der Wechselwirkung mit dem periodischen
Gitterpotential (Bandisolatoren)
aufgrund einer statischen Gitterdeformation
(Peierls-Isolatoren)
aufgrund (starker) Unordnung im Gitterpotential
(Anderson-Isolatoren)
aufgrund der Elektron-Elektron Wechselwirkung
(Mott-Isolatoren)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Isolatoren gibt es nur am absoluten Temperaturnullpunkt
Festkörper können Isolatoren sein
aufgrund der Wechselwirkung mit dem periodischen
Gitterpotential (Bandisolatoren)
aufgrund einer statischen Gitterdeformation
(Peierls-Isolatoren)
aufgrund (starker) Unordnung im Gitterpotential
(Anderson-Isolatoren)
aufgrund der Elektron-Elektron Wechselwirkung
(Mott-Isolatoren)
In der Natur lassen sich die Effekte nicht so sauber trennen . . . !
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 38/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
in Folge von thermodynamischen Phasenübergängen
(Kontrollparameter TemperaturT)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
in Folge von thermodynamischen Phasenübergängen
(Kontrollparameter TemperaturT)
in Folge von Quanten-Phasenübergängen beiT = 0
(Kontrollparameter Druck, Dotierung, etc.)
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
in Folge von thermodynamischen Phasenübergängen
(Kontrollparameter TemperaturT)
in Folge von Quanten-Phasenübergängen beiT = 0
(Kontrollparameter Druck, Dotierung, etc.)
Bandisolatoren und Peierls Isolatoren und ihre Metall-Isolator
Übergänge sind gut verstanden
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
in Folge von thermodynamischen Phasenübergängen
(Kontrollparameter TemperaturT)
in Folge von Quanten-Phasenübergängen beiT = 0
(Kontrollparameter Druck, Dotierung, etc.)
Bandisolatoren und Peierls Isolatoren und ihre Metall-Isolator
Übergänge sind gut verstanden
Übergänge vom Metall zum Anderson Isolator oder zum Mott
Isolator sind harte Nüsse für die Festkörperphysiker
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
in Folge von thermodynamischen Phasenübergängen
(Kontrollparameter TemperaturT)
in Folge von Quanten-Phasenübergängen beiT = 0
(Kontrollparameter Druck, Dotierung, etc.)
Bandisolatoren und Peierls Isolatoren und ihre Metall-Isolator
Übergänge sind gut verstanden
Übergänge vom Metall zum Anderson Isolator oder zum Mott
Isolator sind harte Nüsse für die Festkörperphysiker
Es bleibt schwierig . . .
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

VIII Zusammenfassung
Metall-Isolator Übergänge passieren
in Folge von thermodynamischen Phasenübergängen
(Kontrollparameter TemperaturT)
in Folge von Quanten-Phasenübergängen beiT = 0
(Kontrollparameter Druck, Dotierung, etc.)
Bandisolatoren und Peierls Isolatoren und ihre Metall-Isolator
Übergänge sind gut verstanden
Übergänge vom Metall zum Anderson Isolator oder zum Mott
Isolator sind harte Nüsse für die Festkörperphysiker
Es bleibt schwierig . . .
– und spannend!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 39/40

IX Dank
Mein besonderer Dank gilt Martin Paech für das Layout und seine
Hilfe mit den Abbildungen!
Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? – p. 40/40