19 Bauteilsicherheit - Umwelt-Campus Birkenfeld
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<strong>Umwelt</strong>-<strong>Campus</strong> <strong>Birkenfeld</strong><br />
Technische Mechanik III<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong><br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
Eine wesentliche Aufgabe der Ingenieurpraxis ist es, Bauteile, die infolge der<br />
äußeren Belastung einem allgemeinen Spannungs- und Verformungszustand<br />
unterliegen, so zu dimensionieren, dass es während der gesamten Betriebszeit<br />
nicht zum Bruch oder zum Versagen durch großen Verformungen kommt.<br />
Einsturz der Mississippi-Brücke in<br />
Minneapolis (aus: www.tagesschau.de)<br />
Hierbei muss grundsätzlich unterschieden werden zwischen ruhender und wechselnder<br />
Beanspruchung, was insbesondere im Bereich von Kerben von Bedeutung<br />
ist.<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong> <br />
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Technische Mechanik III<br />
<strong>19</strong>.1 Versagenskriterien<br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
Ein Bauteil versagt, wenn es aufgrund der äußeren Belastung zu einem Anriß<br />
bzw. Bruch kommt oder der Werkstoff einer unzulässig hohen plastischen<br />
Verformung unterliegt.<br />
Die Art des Versagens ist abhängig<br />
• von den Werkstoffeigenschaften (zäh oder spröd)<br />
• vom Spannungszustand (ein- oder mehrachsig) und<br />
• der Art der Belastung (ruhend, wechselnd, schlagartig)<br />
Darüber hinaus spielt noch die Temperatur, das Umgebungsmedium und die<br />
Formgebung eine Rolle.<br />
Bei der Auslegung eines Bauteils ist es daher notwendig, die Obergrenze<br />
eines Spannungszustandes zu definieren, deren Überschreitung zum Versagen<br />
des Materials führt (Versagenskriterium).<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong> <br />
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Technische Mechanik III<br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
Zähe Werkstoffe versagen durch das Abgleiten einzelner Ebenen des<br />
Kristallgitters beim Erreichen der Scherfestigkeit τ krit .<br />
Die Bruchfläche ist stark verformt und<br />
und matt glänzend. Sie verläuft in<br />
Richtung der größten Schubspannung.<br />
τ krit<br />
Bei spröden Werkstoffen tritt Versagen durch einen verformungsarmen<br />
Trennbruch bei Überschreiten der Trennfestigkeit σ krit ein.<br />
Die verformungsarme Bruchfläche ist<br />
körnig und verläuft senkrecht zur größten<br />
Normalspannung.<br />
σ krit<br />
In der Praxis versagen Werkstoffe häufig durch eine Kombination aus Scherund<br />
Trennbruch. Zunächst erfolgt ein Fließen in Richtung der größten Schubspannung,<br />
anschließend tritt ein Restgewaltbruch senkrecht zur größten<br />
Normalspannung auf.<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong> <br />
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Technische Mechanik III<br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
Um zu beurteilen, ob es zum Versagen kommt, muss der durch die Belastung resultierende<br />
mehrachsige Spannungszustand im Bauteil mit einem Werkstoffkennwert<br />
R verglichen werden, der i. allg. im Zug- oder Biegeversuch unter<br />
einachsiger Beanspruchung zum Versagen der Probe führt.<br />
Mit sog. Festigkeitshypothesen<br />
wird ein mehrachsiger Spannungszustand<br />
in eine einachsige<br />
Vergleichsspannung σ v umgerechnet,<br />
die eine äquivalente<br />
Schädigung des Bauteil hervorrufen<br />
würde.<br />
Die Versagensbedingung lautet<br />
somit<br />
σ ≤ v<br />
R<br />
F<br />
Q<br />
τ xy<br />
Das Versagen durch Bruch wird gegen die Zugfestigkeit R m des Werkstoffes<br />
abgesichert, bei Fließversagen wird die Fließgrenze R e herangezogen.<br />
p<br />
F<br />
σ x T<br />
σ Festigkeitshypothese<br />
σ z x<br />
σ N<br />
y<br />
Belastungsversuch<br />
σ v<br />
≤<br />
R<br />
R<br />
σ v<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong> <br />
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Technische Mechanik III<br />
<strong>19</strong>.2 Festigkeitshypothesen<br />
der Fachhochschule Trier<br />
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Festigkeitshypothesen fassen die bei mehrachsiger Beanspruchung auftretenden<br />
Spannungen zu einer Vergleichsspannung zusammen, die dem einachsigen<br />
Werkstoffkennwert gegenüber gestellt werden kann.<br />
9.2.1 Normalspannungshypothese (NH)<br />
Der Normalspannungshypothese liegt die Annahme zugrunde, dass die größte<br />
auftretende Normalspannung für das Versagen des Bauteils verantwortlich ist.<br />
σ max<br />
≤<br />
R<br />
τ<br />
R<br />
Mit σ max = σ 1 und R = R m folgt die Vergleichsspannung<br />
NH<br />
σ v<br />
= σ 1<br />
≤<br />
R<br />
m<br />
σ 3<br />
σ 2<br />
σ 1<br />
σ<br />
Der Bruch tritt ein, wenn die größte Hauptspannung die Zugfestigkeit erreicht.<br />
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Für den ebenen Spannungszustand kann die Vergleichsspannung direkt in den<br />
Koordinatenspannungen der Schnittebene angegeben werden<br />
σ<br />
NH<br />
v<br />
σ<br />
x<br />
=<br />
+ σ<br />
2<br />
y<br />
+<br />
⎛ σ<br />
x<br />
⎜<br />
⎝<br />
− σ<br />
2<br />
y<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
+ τ<br />
2<br />
xy<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
Bei einachsiger Beanspruchung gilt<br />
σ<br />
NH<br />
v<br />
σ<br />
= +<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ τ<br />
2<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
Die Normalspannungshypothese beschreibt das Versagen spröder Werkstoffe<br />
wie Glas, Keramik, Grauguss oder gehärteter Stahl.<br />
Da eine Trennung des Werkstoffzusammenhangs (Riss bzw. Bruch) nur unter<br />
Zugbeanspruchung erfolgen kann, gilt die Normalspannungshypothese nur für<br />
positive Hauptspannungen.<br />
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<strong>19</strong>.2.2 Schubspannungshypothese (SH)<br />
Der Schubspannungshypothese beschreibt das Versagen von zähen Werkstoffen<br />
durch Abgleiten von Kristallgitterebenen infolge auftretender Schubspannungen<br />
τ max<br />
≤<br />
R<br />
Für den räumlichen Spannungszustand kann die<br />
maximale Schubspannung durch die größte und<br />
kleinste Hauptspannung ausgedrückt werden<br />
τ<br />
max<br />
σ<br />
1<br />
− σ<br />
3<br />
=<br />
2<br />
Die Scherfestigkeit im einachsigen Zugversuch ist durch die halbe Fließgrenze<br />
R = 0,5 · R e festgelegt. Einsetzen liefert die Vergleichsspannung<br />
σ<br />
SH<br />
v<br />
= σ<br />
1<br />
− σ<br />
3<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
Nach der Schubspannungshypothese tritt Fließversagen ein, wenn die maximale<br />
Hauptspannungsdifferenz die Streckgrenze erreicht.<br />
τ<br />
σ 3<br />
σ 2<br />
τ max<br />
σ 1<br />
R<br />
σ<br />
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Für den ebenen Spannungszustand (σ 3 =0) sind bei der Schubspannungshypothese<br />
Fallunterscheidungen zu treffen:<br />
Beide Hauptspannungen<br />
sind positiv<br />
τ<br />
(σ 1<br />
> σ 2<br />
> 0)<br />
R<br />
Hauptspannungen mit<br />
ungleichen Vorzeichen<br />
(σ 1<br />
> 0 und σ 2<br />
< 0)<br />
τ<br />
R<br />
Beide Hauptspannungen<br />
sind negativ<br />
R<br />
(σ 2<br />
< σ 1<br />
< 0)<br />
τ<br />
σ 2<br />
τ max<br />
σ 1<br />
σ<br />
σ 2<br />
τ max<br />
σ 1<br />
σ<br />
σ 2<br />
τ max<br />
σ 1<br />
σ<br />
σ<br />
SH<br />
v<br />
σ<br />
= 1<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
σ<br />
SH<br />
v<br />
= σ<br />
1<br />
− σ<br />
2<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
SH<br />
σ v<br />
σ<br />
= −<br />
2<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
Bei positiven Vorzeichen der Hauptspannungen stimmt die Schubspannungshypothese<br />
mit der Normalspannungshypothese überein.<br />
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Ist aus der Belastung ersichtlich, dass die Hauptspannungen unterschiedliche<br />
Vorzeichen besitzen (und nur dann), kann die Vergleichsspannung für den<br />
ebenen Fall auch direkt in den Koordinatenspannungen der Schnittebene<br />
angegeben werden<br />
σ<br />
( σ σ ⋅τ<br />
SH<br />
2<br />
v<br />
=<br />
x<br />
−<br />
y<br />
) + 4<br />
2<br />
xy<br />
≤<br />
R<br />
m<br />
Bei einachsiger Beanspruchung gilt<br />
σ<br />
SH<br />
v<br />
=<br />
σ<br />
2<br />
+<br />
2<br />
4 ⋅τ<br />
≤<br />
R<br />
m<br />
Obwohl die Schubspannungshypothese theoretisch einfach zu begründen ist und<br />
auch das Versagen zäher Werkstoffe richtig beschreibt, stellt die Notwendigkeit<br />
der Fallunterscheidung für den besonders wichtigen ebenen Spannungszustand<br />
in der Anwendung eine zusätzliche Schwierigkeit dar. Sie wird auch als Tresca-<br />
Kriterium bezeichnet.<br />
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<strong>19</strong>.2.3 Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH)<br />
Nach der Gestaltänderungsenergiehypothese versagt ein Bauteil, wenn die<br />
gespeicherte Gestaltenergie einen werkstoffabhängigen Grenzwert erreicht. Aus<br />
der Elastizitätstheorie lässt sich die Gestaltänderungsenergie durch die Hauptspannungen<br />
ausdrücken. Für den räumlichen Spannungszustand gilt<br />
(3)<br />
W G<br />
1+<br />
ν<br />
=<br />
6 ⋅ E<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[(<br />
σ − σ ) + ( σ −σ<br />
) + ( σ − σ ) ]<br />
1<br />
2<br />
(1) 1+<br />
ν 2<br />
WG<br />
= ⋅ 2σ<br />
v<br />
6 ⋅ E<br />
Gleichsetzen beider Ausdrücke liefert die Vergleichsspannung<br />
2<br />
3<br />
mit der Querdehnzahl ν und dem Elastizitätsmodul E. Analog ergibt sich für den<br />
einachsigen Fall wenn σ v = σ 1 gesetzt wird<br />
σ<br />
1<br />
GEH<br />
2<br />
2<br />
2<br />
v<br />
= ( σ<br />
1<br />
− σ<br />
2<br />
) + ( σ<br />
2<br />
− σ<br />
3)<br />
+ ( σ<br />
1<br />
− σ<br />
3)<br />
2<br />
1<br />
3<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
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Für den ebenen Spannungszustand (σ 3 = 0) ergibt sich<br />
σ<br />
GEH<br />
v<br />
2<br />
= σ<br />
1<br />
+ σ<br />
2<br />
−σ<br />
1<br />
⋅σ<br />
2<br />
2<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
oder in den Koordinatenspannungen der Schnittebene ausgedrückt<br />
σ<br />
GEH<br />
v<br />
=<br />
σ<br />
2<br />
x<br />
+ σ<br />
2<br />
y<br />
− σ<br />
x<br />
⋅σ<br />
y<br />
+ 3⋅τ<br />
2<br />
xy<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
Analog gilt für den einachsigen Spannungszustand<br />
σ<br />
GEH<br />
v<br />
=<br />
σ<br />
2<br />
+ 3⋅τ<br />
2<br />
≤<br />
R<br />
e<br />
Wie die Schubspannungshypothese beschreibt die Gestaltänderungsenergiehypothese<br />
das Versagen von zähen Werkstoffen, besitzt aber nicht deren Nachteil<br />
der Fallunterscheidung.<br />
Die Gestaltänderungsenergiehypothese stimmt i. allg. am besten den experimentellen<br />
Ergebnissen überein. Sie wird auch als v. Mises Kriterium bezeichnet.<br />
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<strong>19</strong>.3 Vergleich der Festigkeitshypothesen<br />
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Für den ebenen Spannungszustand (σ 3 = 0) lassen sich die Grenzkurven der<br />
Festigkeitshypothesen in einem gemeinsamen σ 1 - σ 2 -Schaubild darstellen.<br />
Bei der Normalspannungshypothese tritt Versagen<br />
ein, wenn σ 1 oder σ 2 einen kritischen<br />
positiven Wert R erreichen.<br />
Das gleiche gilt für die Schubspannungshypothese,<br />
wenn σ 1 und σ 2 gleiche Vorzeichen<br />
haben, andernfalls tritt Versagen ein, wenn die<br />
Differenz σ 1 -σ 2 den kritischen Wert R erreicht.<br />
Die Grenzkurve der Gestaltänderungsenergiehypothese<br />
bildet eine gegenüber den Spannungsachsen<br />
um 45° geneigte Ellipse.<br />
Versagen tritt ein, wenn in einem Punkt eines Bauteils die Hauptspannungskoordinaten<br />
auf oder außerhalb der Grenzkurven liegen.<br />
-R<br />
NH<br />
R<br />
σ 2<br />
-R<br />
SH<br />
GEH<br />
R<br />
σ 1<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong> <br />
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Beispiel:Belastetes Bauteil aus 30 CrNiMo 8<br />
Gegeben: Hauptspannungen σ 1 = 800 N/mm 2 , σ 2 = 400 N/mm 2 , σ 3 = 360 N/mm 2 ,<br />
Gesucht:<br />
Werkstoffkennwerte R e = 1050 N/mm 2 , R m = 1250 N/mm 2<br />
Vergleichsspannungen und Sicherheiten<br />
a) Einachsiger Spannungszustand<br />
σ 1<br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
σ 2<br />
σ 1<br />
σ 2<br />
b) Ebener Spannungszustand<br />
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... Fortsetzung<br />
c) Räumlicher Spannungszustand<br />
σ<br />
σ 2<br />
1<br />
σ 3<br />
σ 3<br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
σ 2<br />
σ 1<br />
Übung: Ebener Spannungszustand<br />
Gegeben: Hauptspannungen σ 1 = 300 N/mm 2 , σ 2 = –200 N/mm 2 ,<br />
Gesucht: Vergleichsspannungen<br />
<strong>19</strong>. <strong>Bauteilsicherheit</strong> <br />
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Technische Mechanik III<br />
der Fachhochschule Trier<br />
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />
Beispiel:Ebener Spannungszustand<br />
Gegeben: Koordinatenspannungen σ x = 120 N/mm 2 , σ y = 80 N/mm 2 , τ xy = 40 N/mm 2 ,<br />
Gesucht: Haupt- und Vergleichsspannungen<br />
a) Hauptspannungen<br />
σ x<br />
σ y<br />
τ xy<br />
σ x<br />
b) Vergleichsspannungen<br />
σ y<br />
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