10 Zug und Druck - Umwelt-Campus Birkenfeld

Umwelt-Campus Birkenfeld
Technische Mechanik II
10. 9.4 Stoffgesetze Zug und Druck
der Fachhochschule Trier
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Zug- und Druckbeanspruchungen werden durch Kräfte hervorgerufen, die
senkrecht zur Wirkfläche stehen. Zur Übertragung großer Zugkräfte eignen
sich Seile und Stäbe, Druckkräfte können durch knicksteif ausgeführte
Träger aufgenommen werden.
Olympiapark München, Dachkonstruktion
10. Zug und Druck
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10.1 Prinzip von St. Vernant
der Fachhochschule Trier
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Wird ein eingespannter Rechteckstab axial durch eine Einzelkraft
beansprucht, wird der Bereich der der Lasteinleitung und der Lagerung am
stärksten verzerrt, während in den dazwischenliegenden Abschnitte die
Verformung gleichmäßig verteilt ist.
Schnitte
Belastung verzerrt die Gitterlinien an der Lasteinleitungsstelle
Gitterlinien entfernt von der Lasteinleitungsstelle
bleiben unverzerrt
Reaktionskräfte verzerren die Gitterlinien nahe
der Lagerung
aus Hibbeler: Technische Mechanik II
10. Zug und Druck
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Da bei elastischem Material die Spannungen mit den Verformungen über das
Hook‘sche Gesetz zusammenhängen, sind auch die Spannungen in einem
ausreichendem Abstand von der Störstelle über dem Querschnitt gleichmäßig
verteilt.
a
a
aus Hibbeler: Technische Mechanik II
Das Prinzip von Saint-Vernant sagt aus, dass die Störung des Kraftflusses
im Abstand der größten Querschnittsabmessung a von der
Störstelle entfernt bereits abgeklungen ist.
10. Zug und Druck
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10.2 Axiale Beanspruchung
Wird ein konischer Stab der Länge L in seiner Längsachse durch axiale Streckenlasten
q beansprucht, treten axial veränderliche Normalkräfte N(x) auf.
x
dx
dx
und mit der Verlängerung dl des Elements die Dehnungen
10. Zug und Druck
q
σ =
ε =
L
N ( x)
A(
x)
dl
dx
N(x)
Betrachtet man im Abstand x ein Stabelement der Länge dx mit der
Querschnittsfläche A(x), ergibt sich die Normalspannungen
dl
N(x)
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Für linear-elastisches Materialverhalten folgt aus dem Hook´schen Gesetz
σ = E ⋅ε
⇒
N ( x)
=
E
⋅
dl
dx
A(
x)
Durch Integration über die Länge L erhält man die Verlängerung und damit
die Gesamtdehnung des Stabes
∆L
L
N ( x)
1
= ∫ dx =
E ⋅ A(
x)
E
0
L
∫
0
σ ( x)
dx
Für Stäbe mit konstantem Querschnitt, die bereichsweise unterschiedlichen
Normalkräften, Querschnitte oder Materialeigenschaften besitzen, gilt
∆L
=
n
i
i= 1 Ei
⋅
∑
N
⋅ L
A
i
i
⇒ ε =
∆L
L
=
1
E ⋅ L
L
∫
0
σ ( x)
dx
L 1 L 2 L 3
q 1 q 2 q 3
wobei für jedes Segment n die Normalkraft
aus den Gleichgewichtsbedingungen
zu ermitteln ist.
A 1 , E 1 A 2 , E 2 A 3 , E 3
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Beispiel: Holzpfosten in Erdreich
Gegeben: F = 2,5 kN, q = 5 kN/m, d = 25 mm, L = 2 m
E = 12 000 N/mm 2
Gesucht: Einschlagtiefe t und Verlängerung ∆L
x
t
S 2
S 1
q
F
L
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Übung: Herausziehen eines Bohrgestänges
Gegeben: t = 5000 m, d i = 120 mm, d a = 140 mm,
q = 300 N/m, E = 210 000 N/mm 2
Gesucht: Zugkraft F, Spannung σ und Verlängerung ∆L
x
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t
q
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Die Gewichtskraft ergibt sich für homogene Körper aus
G = m ⋅ g = g ⋅ ρ ⋅V
L
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10.2.1 Axialer Beanspruchung durch Eigengewicht
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
mit der Masse m, dem spezifischen Gewicht (Dichte) ρ und dem Volumen V.
Wird ein Stab mit konischem Querschnitt A und der Dichte ρ aufgehängt
ergibt sich die Normalkraft aus dem Kräftegleichgewicht am herausgeschnittenen
Volumenelement
∑
⇒
F x
= 0 = ( N + dN ) − dG − N
dN
=
dG
= g ⋅ ρ ⋅ dV
= g ⋅ ρ ⋅ A(
x)
dx
Integration liefert die Stabkraft
N ( x)
= g ⋅ ρ ⋅∫ A(
x)
dx + C
dx
x
dV
A(x)
Die Integrationskonstante C ergibt sich aus den Randbedingungen.
dG
N
N+dN
dx
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Für einen Stab mit konstantem Querschnitt A ergibt sich
N ( x)
= g ⋅ ρ ⋅ A⋅∫ dx = g ⋅ ρ ⋅ A⋅
x + C
Bei x = 0 gilt
L dx
N ( x = 0) = 0 = C ⇒ C = 0
L
∆L
=
L
2
L
2
1
1 ⎡g
⋅ ρ ⋅ x ⎤ g ⋅ ρ ⋅ L
∫ ( x)
dx =
E ∫(
g ⋅ ρ ⋅ x)
dx = ⎢ ⎥ =
0 E 0 ⎣ 2 ⎦ 2E
Einsetzen der Integrationskonstante liefert
x
N ( x)
= g ⋅ ρ ⋅ A⋅
x
und daraus folgt mit σ = N/A die veränderliche Spannung
σ ( x)
= g ⋅ ρ ⋅ x
Die Verlängerung ergibt sich aus
E
0
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Die größte Spannung tritt im Aufhängepunkt bei x = L auf
σ max
= g ⋅ ρ ⋅ L
Als Reißlänge L R
wird diejenige Länge bezeichnet, bei der
ein Seil nur unter seinem eigenen Gewicht abreißen würde
Rm
= g ⋅ ρ ⋅ L ≤ R m ⇒ LR
=
g ⋅ ρ
d. h., dass die Maximalspannung σ max
die Zugfestigkeit R m
des Werkstoffs
erreicht. Die Reißlänge ist unabhängig vom Querschnitt.
L R
σ max
7850
Beispiel: g = 9,81 m/s 2 , ρ = 7850 kg/m 3 und R m
= 400 N/mm 2
L
R
Damit wird klar, warum es nicht möglich ist, von einem Satelliten in einer
geostationären Umlaufbahn (Höhe ca. 36000 km) ein Stahlseil auf die Erdoberfläche
herabzulassen, um etwa Versorgungsgüter heraufzuziehen.
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Rm
= g ⋅ ρ
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400⋅10
= = 5194m
≈ 5 km
9,81⋅
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Beispiel: Hängender konischer Stab unter Eigengewicht
Gegeben: H = 100 m, ρ = 7850 kg/m 3 , E = 210 000 N/mm 2
Gesucht: Max. Spannung σ max Verlängerung ∆L
A(x)
x
2R
H
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10.2.2 Körper gleicher axialer Beanspruchung
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Bauteile, deren Spannung in jedem Querschnitt gleich ist, werden als Körper
gleicher Beanspruchung bezeichnet. Für die Belastung durch Eigengewicht
ergibt sich aus dem Kräftegleichgewicht die Bedingung
σ zul
=
dG
dA
Durch Trennung der Variablen
dA
A
=
g
⋅ ρ
dx
σ zul
dV A
= g ⋅ ρ = g ⋅ ρ dx = const.
dA dA
liefert die Integration in den Grenzen von 0 bis h
h
x
dx
F
V
A 0
A u
A(x)
dV
A
∫
A
u
0
dA
A
=
g ⋅ ρ
σ
zul
h
∫
0
dx
⇒
g ⋅ ρ
ln[
0
σ
A
h
A]
A
u = [ x]
0
zul
⇒ ln
A
A
u
0
=
g ⋅ ρ
⋅ h
σ
zul
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Nach Umformung ergibt sich damit die Grundfläche
A
u
= A 0
⋅ e
g⋅ρ⋅h
σ
zul
Für Körper gleicher Druckbeanspruchung unter Eigengewicht ändern
sich die Querschnitte exponentiell.
Beispiel: Fernsehturm aus Beton
Gegeben: G = 1000 to, h = 300 m, ρ = 2500 kg/m 3 , σ zul = 2,4 N/mm 2
Gesucht: Flächen A 0 und A u
G
h
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10.2.3 Beanspruchung durch Fliehkräfte
Rotierende Bauteile (z. B.Turbinenschaufeln, Rotoren) werden durch Zentrifugalkräfte
beansprucht.
Rotiert ein Stab mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Drehachse,
wirkt auf das Massenelement dm die Zentrifugalkraft
2
dF = r ⋅ω
⋅ dm
R
Gleichgewicht am Massenelement
ω
m dm
∑ F r
= 0 = ( N + dN ) + dF − N
r dr
liefert
dN
= −dF
2
= −r
⋅ω
⋅ dm
Mit dm = ρ·dV = ρ·A·dr folgt
2
dN = −ρ
⋅ω
⋅ A⋅
r dr
und mit dN =A·dσ· ergibt sich die Axialspannung
2
dσ
= −ρ
⋅ω
⋅ r dr
N
dm
dF
N+dN
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Die Integration liefert
1 2 2
σ = − ρ ⋅ω
⋅ r + C
2
Mit der Randbedingung σ (r=R) = 0 folgt C = ρ R 2 ω 2 /2 und somit
1 2
2 2
σ = ρ ⋅ω
⋅(
R − r
2
)
Die größte Spannung tritt im Drehpunkt bei r = 0 auf
1 2 2
σ
max
= ρ ⋅ω
⋅ R
2
Die Normalspannung in einem rotierenden Stab sind unabhängig von seinem
Querschnitt.
Beispiel: Turbinenschaufel aus Titan
Gegeben: ρ = 4500 kg/m 3 , R = 800 mm, ω = 18000 min -1
1 2 2 1
2 2
8
σ
max
= ρ ⋅ω
⋅ R = ⋅ 4500⋅
300 ⋅0,8
= 1,296 ⋅10
Pa (130 N/mm 2 )
2
2
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In einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Drehachse rotierenden
dünnwandigen Ring treten am Massenelement dm nur Tangentialspannungen
auf, die über dem Querschnitt A als gleichmäßig verteilt angenommen
werden können.
Aus dem Kräftegleichgewicht in radialer Richtung
∑
F t
F
= 0 = dF − 2 ⋅ ⋅sin(
ϕ / 2)
r
F t
mit dF = r·ω 2·dm und dm = ρ·dV = ρ·r·A·dϕ folgt für
kleine Winkel sin(dϕ/2) ≈ dϕ/2 die Tangentialkraft
2
= ϕ ⋅ω
⋅ r
2
und mit σ = F/A die Tangentialspannung
2
σ = ϕ ⋅ω
⋅ r
t
2
⋅
A
Die Tangentialspannung in einem dünnwandigen, rotierendem Ring ist
unabhängig von seinem Querschnitt. Bei gegebenem r und ω ist sie doppelt so
groß wie die Normalspannung in einem umlaufenden Stab.
ω
dϕ
r
F t
F t
A
dm
dF
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10.3 Flächenpressung
Flächenpressung p tritt in den Kontaktfläche A zweier gegeneinander
gedrückter Körper auf und spielt bei Bolzen, Schrauben, in Lagern und
Fundamenten eine Rolle.
A
F
p
Bei starren, ebenen Berührflächen geht man von einer gleichmäßig verteilten
Flächenpressung
F
p m
=
A
Bei ungleichmäßig verteilter Pressung (z. B. infolge unterschiedlicher Steifigkeiten
der Körper) stellt p m die mittlere Flächenpressung dar. Die Einheit
der Flächenpressung entspricht der einer Spannung [N/m 2 , N/mm 2 , MPa].
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Steht die Kontaktfläche schräg zur Presskraft, so ist diese in Richtung der
Flächennormalen zu zerlegen.
F
Die Normalkraft setzt sich vektoriell aus
F A
der Druckkraft und der Lagerkraft zusammen.
Die mittlere Flächenpressung ergibt sich
p
m =
Fn
A
F
= A ⋅ cosα
wobei man die Fläche A proj
durch Projektion
der Kontaktfläche senkrecht zur Presskraft
erhält.
=
F
A proj
α
A
F n
p m
A proj
l proj
b
F
αF A
F n
Die Normalkraft F n
greift nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche A an, so
dass die Flächenpressung i. allg. nicht gleichmäßig verteilt ist. Die reale
Druckverteilung ist von der örtlichen elastischen Verformung abhängig.
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Beispiel: Eingepresster Kegelstumpf
Gegeben: F = 10 kN, D = 20 mm, h = 30 mm, α = 80°
Gesucht: Flächenpressung p
h
F
α
Bei gewölbten Pressflächen (z. B. in Gleitlagern, Gelenkbolzen oder Stiftverbindungen)
ist die Flächenpressung ebenfalls nicht konstant. In Abhängigkeit
vom Lagerspiel und den elastischen Eigenschaften der Bauteile kommt es zu
einer parabel- oder sinusförmigen Verteilung der Pressung (Lochleibung).
F
F
F
D
A proj
p m = F / A proj
p max ≈ 1,5·p m
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