Aufgabe 11 - Umwelt-Campus Birkenfeld

Umwelt-Campus Birkenfeld
Technische Mechanik II (T)
Übungsblatt 2
der Fachhochschule Trier
Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
Techn. Mechanik und Werkstoffkunde
Aufgabe 7:
Eine mit der konstanten Streckenlast q 0 = 100 N/mm belastete Hohlwelle aus St 52 ist über zwei
Vollwellenzapfen in A und B gelenkig gelagert.
Gesucht:
a) Auflagerreaktionen
b) Querkraft- und Momentenlinie
c) Momente an den Querschnittsübergängen C und E
d) Ort x D und Betrag des max.Biegemoments
e) Biegespannungen an den kritischen Stellen C und D
f) Sicherheit S, wenn die zulässige Biegespannung σ zul =
360 N/mm 2 beträgt
g) Wie groß muss d 2 gewählt werden, wenn die minimale
Sicherheit S min = 1,3 ist?
A
q 0
∅30 ∅d 2
50
C
z
∅60
E
x D
5
D
250 100
B
x
Lösung:
A z = 14063 N, B z = 10937 N, Q(x) = 14063-100·x, M(x) = 703125+x·(14063-50·x),
M C = 703125 Nmm, M D = 1691895 Nmm, M E = 1093750 Nmm, x D = 140,6 mm
σ bC = 265 N/mm 2 , σ bD = 154 N/mm 2 , S C = 1,36, S D = 2,33, d 2 = 34,2 (35) mm
Aufgabe 8:
Der mit der Streckenlast q belastete Balken konstanter Biegesteifigkeit EI y der Länge L ist bei A eingespannt
und in B gelenkig gelagert.
q = const.
Gesucht: Gleichung der Biegelinie w (x)
x
Hinweis: Das System ist statisch überbestimmt. Die
Momentenlinie M (x) kann daher nicht aus den
Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden. Bestimmen
Sie die Gleichung der Biegelinie durch vierfache Integration
der Streckenlast q (x) .
A
L
B
Lösung: w (x) = q⋅l 4 ⋅[(x/l) 4 - 5/2(x/l) 3 +3/2(x/l) 2 ]/(24⋅EI yy )
z
Aufgabe 9:
Ein in A eingespannter Stahlträger wird mit der Streckenlast q belastet. Lösen Sie die Aufgabe durch
bereichsweise formale Integration.
Gegeben:
Längen a = 500 mm, b = 400 mm
Streckenlast q = 3 kN/m
Fächenträgheitsmoment I yy = 2x10 5 mm 4
E-Modul E = 200000 N/mm 2
Gesucht:
a) Auflagerreaktionen
b) Momentenlinien M(x 1 ) und M(x 2 ).
c) Biegelinie w(x) und Neigungslinie w’(x)
d) Durchbiegung und Neigung bei x 2 = b
A
z
x 1
a
B
x 2
b
q = const.
C
22.06.09 TMII_Übung2_SS09.doc Seite 1

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Techn. Mechanik und Werkstoffkunde
Lösung: M A = -0,84 kNm, A z = 1,2 kN, M (x1) = 1,2 . x 1 -0,84 kNm, M (x2) = x . 2 (1,2-1,5 . x 2 )-0,24 kNm,
w(x 2 =b) = w max = 5,7 mm, α(x 2 =b) = 0,43°
Aufgabe 10:
Ein in A und B statisch bestimmt gelagerter, biegesteifer Träger wird durch die Kraft F belastet. Lösen sie die
Aufgabe durch Überlagerung elementarer Lastfälle.
D
B
F 2
Gegeben:
Länge a = 1 m
Kräfte F 1 = 5 kN, F 2 = 3 kN
Biegesteifigkeit EI = 10 12 Nmm 2
Gesucht:
a) Vertikale Verschiebung im Punkt C und
horizontale Verschiebung im Punk D
b) Verdrehung in den Lagerpunkten A und B
c) Skizzieren Sie die Biegelinie
Lösung: w v = 0,083 mm, w H = -1,75 mm, α = 0,00075 rad (0,043°), β = 0,00025 rad (0,014°)
Aufgabe 11
Ein in A eingespannter, rechteckiger Balken der
Länge L und der Höhe h wird mit einer Streckenlast
q(x) belastet.
Gegeben:
Balkengeometrie L = 2 m, h = 100 mm
Streckenlast
q 0 = 30 N/mm
Elastizitätsmodul E = 200000 N/mm 2
Fächenträgheitsmoment I y = 5⋅10 6 mm 4
Gesucht:
a) Biegelinie w(x) und Neigungslinie w’(x)
b) Auflagerreaktionen
c) Winkel α und Durchbiegung w an der Stelle x=L
d) Biegespannung an der Stelle x=0
q(x)=q 0 ⋅(1-x/L)
Lösung: k 1 = −q 0 ⋅L/2, k 2 = q 0 ⋅L 2 /6, c 1 = c 2 = 0, w’(x) = q 0 . L³/24EI y [4(x/L)-6(x/L)²+4(x/L)³-(x/L) 4 ],
w(x) = q 0 . L 4 /120EI y [10(x/L)²-10(x/L)³+5(x/L) 4 -(x/L) 5 ], A x = 0, A z = q 0 ⋅L/2 = 30 kN, M A = −q 0 ⋅L 2 /6 = -20 kNm,
α = w’ (x=L) = -7q 0 ⋅L 3 /(24EI) = -0.07 rad (4°), w (x=L) = q 0 ⋅L 4 /(30EI) = 16 mm, σ b = 200 N/mm 2
q 0
A
B
EI
FA
A
z
a
A
x
C
B
EI
F 1
L
a
A
B
a
A
B
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Aufgabe 12
Ein in A und B gelagerter, rechteckiger Balken der
Länge L und der Höhe h wird symmetrisch mit einer
parabelförmigen Streckenlast q(x) belastet.
Gegeben:
Balkengeometrie L = 1 m, h = 50 mm
Streckenlast
q 0 = 15 N/mm
Elastizitätsmodul E = 200000 N/mm 2
Fächenträgheitsmoment I y = 10 6 mm 4
Gesucht:
a) Biegelinie w(x) und Neigungslinie w’(x)
b) Winkel α in den Lagern A und B
c) Durchbiegung w an der Stelle x=L/2
d) Biegespannung σ b an der Stelle x=L/2
Lösung:
k 1 = −q 0 ⋅L/3, k 2 = 0, c 1 = q 0 ⋅L 3 /30, c 2 = 0, A x = 0, A y = B y = q 0 ⋅L/3 = 5 kN, M (x=L/2) = 5q 0 ⋅L 2 /48 = 1562,5 Nm
α = w’ (x=0) = −w’ (x=L) = q 0 ⋅L 3 /(30EI) = 0.025 rad (0.15°), w (x=L/2) = 0,79 mm, σ b = 39 N/mm 2
A
z
x
EI
q(x) = 4q 0 ⋅(x/L−x 2 /L 2 )
L
q 0
B
22.06.09 TMII_Übung2_SS09.doc Seite 3