Lösung 3

Prof. Dr. U. Keller FS 2012
Lösungen: Übungsblatt 3 zur Quantenelektronik
Aufgabe 1
Kompression von Attosekundenpulsen
a) Phasengeschwindigkeit: v p
= c / n ! 3.33"10 8 m/s . (> c !)
Für die anderen Grössen verwenden wir die Wellenzahl k n
(! ) = (!
/ c) " n(
!)
und berechnen
die Ableitungen davon näherungsweise:
dkn
kn
(!
+ "!)
# kn
(!
# "!)
=
= 3.8·10 -9 s/m,
d! 2"
!
2
d kn
kn
(!
+ "!)
+ kn
(!
# "!)
# 2kn
(!
)
=
= -25·10
d! 2
("
!) -27 s 2 /m,
2
3
d kn
kn
(!
+ 2"
!)
# 2kn
(!
+ "!)
+ 2kn
(!
# "!)
# kn
(!
# 2"
!)
=
= 2.8·10
d! 3
2 ("
!) -42 s 3 /m,
3
wobei wir eine numerische Schrittweite von !" # 1.5 $10 13 s %1 gewählt haben.
Daraus ergibt sich:
v g
=
dk (1
2
3
" n %
d k
#
$
d! &
' = 2.6 )10 8 n
d k
m/s , GDD = L = -25 fs 2 n
, TOD = L = 2.8 fs 3 .
2
3
d!
d!
Eine "vernünftige" Schrittweite hat man dann gewählt, wenn das Resultat nur
unwesentlich von der Schrittweite abhängt.
b) Hierzu lösen wir Gleichung 72 aus Kapitel 2.5.5 des Skripts nach der Länge des
dispersiven Mediums auf:
L d
= ! 2 p(0)
! 2 p
(L d
)
4 ln 2 k n
"" ! 2 p
(0) # 1
Aus der gegebenen spektralen Bandbreite können wir mit Hilfe des Zeit-Bandbreite-
Produkts eines Gauss-Pulses die transformlimitierte Pulsdauer ausrechnen:
!E = 12 eV " !# p
= 2.9 $10 15 Hz , also ! p
(0) = 152 as .
! p
(L d
) = 500 as ist in der Aufgabenstellung gegeben. Damit hängt die rechte Seite der
obigen Gleichung nicht mehr von L d
ab und man findet L d
! 1 µm .
c) Bei 40 nm Wellenlänge werden noch ca. 8% des Lichts durch den Film transmittiert. Die
gleiche Wellenlänge wird in einem Zentimeter Luft vollständig absorbiert. Aus diesem
Grund müssen alle Experimente in diesem Wellenlängenbereich in Vakuum durchgeführt
werden.
d) Um den Einfluss der dritten Ordnung Dispersion abzuschätzen betrachten wir
Phasenänderung über die Bandbreite des Pulses:
!" = 1 6 L d 3 k n
d
d# !# 3 $ 2.8 rad
3
Da diese Phasenänderung von der Grössenordnung von ! ist, ist die dritte Ordnung
Dispersion nicht vernachlässigbar. Für einen Puls mit zehnmal grösserem Transformlimit
ist die Bandbreite zehnmal kleiner und somit die Phasenänderung 10 3 -mal kleiner als in
obigem Fall. Somit ist für diese Pulse die höhere Ordnung Dispersion vernachlässigbar.
e) Um die Dispersionskoeffizienten zu bestimmen, wurden die Brechungsindexdaten
numerisch abgeleitet. Numerische Ableitungen haben die Eigenschaft, sehr empfindlich

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auf experimentelles Rauschen zu sein. Deshalb kriegt man üblicherweise spätestens bei
der zweiten Ableitung keine brauchbaren Resultate mehr. Das Anwenden von
Glättungsalgorithmen oder das Fitten von analytischen Funktionen kann dieses Problem
beseitigen. Allerdings ist auch hier Vorsicht geboten. Minimale Interpolationsfehler
werden durch das Ableiten massiv verstärkt. So erweisen sich z.B. Polynomfits bei dem
hier vorliegenden Problem als völlig ungeeignet. Auch Fits mit der Sellmeier-Gleichung
können massive Abweichungen spätestens in der dritten Ableitung aufweisen, wenn nur
mit leicht unterschiedlichen Startparametern gefittet wird.
Aufgabe 2
Dispersion im Wellenlängenbereich
a)
d 2 !
d" = d # d! &
2 d" $
%
d" '
( = d #
d" $
%
= ! 2"c L d
# 2 c
= ! " 2 L d
2#c c
nL d
c
#
1) n*
$
%
n + & &
'
(
'
( = d+ d #
d" d+ $
%
& &
n$
1! n$
'
(
n % ) &
*
+ + n ! n$$
n % ! n$
n + & n$
)
(
(
'
(
n *
+
'
'
2
nL d
c
) )
% + +
* *
%
n $ ! n$
2
n " ! n $$ " ! n $ + n$
2
&
'
n " (
)
* = " 3 L d
n $$
2#c 2
#
1 ) n*
$
%
n + & &
'
(
'
(
d 3 !
d" = d # d 2 ! &
3 d" $
% d" 2
'
( = d) d # ) 3 L d
&
n++
d" d) $
%
2*c 2 '
( = , ) 2
2*c - L d
2*c - 3) 2 n ++ + ) 3 n+++
2
( ) = , ) 4 L d
( )
3 n ++ + ) n+++
4* 2 c 3
b) Erst leiten wir den Zusammenhang zwischen d 2 !
d" 2 und D !
her:
Mit D !
:= " 1 dT g
L d
d! = # 2 dT g
2$cL d
d# und T g
:= d!
d" erhält man D = " 2 d 2 $
!
2#cL d
d" 2
und somit ! p
(L d
) = d 2 "
d# $# = 2%cL dD &
$# = D 2 # 2 &
' L d
' $& , wobei wir für den letzten
Schritt !"
" = !#
# und damit !" = " #
!# =
2$c
# 2 !# verwendet haben.
Die Pulsdauer am Ende der Faser ist also das Produkt aus dem Dispersionskoeffizienten
D !
, der Länge der Faser und der spektralen Bandbreite des Pulses. Optische
Telekommunikation findet normalerweise mit ps-Pulsen über kilometerlange
Faserstrecken statt. Da die Zentralwellenlänge für Faserkommunikation üblicherweise bei
1.3 µm oder 1.55 µm liegt, befindet sich die zugehörige Pulsbandbreite im nm Bereich.
Entsprechend macht es aus praktischen Gründen sehr viel Sinn, die Einheit von D !
als
" ps %
#
$ km ! nm &
' zu wählen.

Aufgabe 3
a)
Transmission durch eine Glasoberfläche
Seite 3
70°
Luft
Glas
30°
Einfallsebene
b) Die Feldkomponenten sind E p
= E 0
cos30° = 0.866 (mit E 0
= 1)
und E s
= E 0
sin30° = 0.5.
c) Wir rechnen mit Impedanzen unter Verwendung der Formeln aus dem Skript:
Z 1,p
= Z 0
cos! 1
= 129 ", Z 2,p
= Z 0
n cos! 2 = 196 "
Z 1,s
= Z 0
/ cos! 1
= 1102 ", Z 2,s
= Z 0
n / cos! 2 = 322 "
und erhalten damit
r p
= Z 2p
! Z 1p
= +0.206, t p
= 1 ! r p
Z 2p
+ Z 1p
n
= 0.529,
r s
= Z 2s ! Z 1s
Z 2s
+ Z 1s
= -0.547, t s
= 1+ r s
= 0.453.
Damit ergeben sich die transmittierten Feldamplituden zu E 2p
= t p
E p
= 0.458 und
E 2s
= t s
E s
= 0.226. Es treten keine Phasensprünge auf, weil sich die Vorzeichen der
Feldamplituden nicht ändern.
d) Für die Polarisationsrichtung des transmittierten Strahls ergibt sich ein Diagramm wie
oben rechts, nur mit anderen Winkeln. Der Winkel zur Einfallsebene ist arctan E 2s
/ E 2p ( )
= 26.3°.
e) Bei Einfall eines Strahles unter dem Brewster-Winkel ! B
= arctann = 56.3° erfolgt keine
Reflexion für p-Polarisation, d. h. der reflektierte Strahl ist vollständig s-polarisiert. Wir
können wie oben den Reflektionskoeffizienten r s
für s-Polarisation berechnen, und der
Anteil der reflektierten Leistung vom unpolarisierten Strahl ist r 2 s
/ 2 = 7.4 %. Das ist für
eine praktische Anwendung unter Umständen zu wenig.