Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einleitung 3 Das QR-Verfahren 3.1 Vektoriteration 3.2 Unterraumiteration 3.3 Reduktion auf Hessenberg-Gestalt 3.4 QR Iteration mit impliziten Shifts 3.5 Konvergenz der Unterraumiteration 3.6 Konvergenz des QR-Verfahrens 4 Hermitesche Eigenwertaufgaben 5 Anhang: Grundlagen aus der Linearen Algebra Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 27 / 177
Vektoriteration Der Prototyp aller numerischer Eigenwertverfahren ist die sog. Vektoriteration nach von Mises, auch Potenzmethode (engl. power method) genannt. Es beruht auf der Tatsache, dass für (nahezu) jeden Vektor q ∈ C n die Vektorfolge q, Aq, A 2 q, A 3 q, . . . zunehmend in Richtung eines Eigenvektors von A zum Eigenwert ρ(A) zeigt. In seiner einfachsten Form lautet das Verfahren wie folgt: Algorithmus 1 : Vektoriteration nach von Mises. Gegeben : A ∈ C n×n , q 0 ∈ C n . 1 for k = 1 to . . . do 2 z k ← Aq k−1 3 q k ← z k /‖z k ‖ 2 4 µ k ← q H k Aq k Wie man sieht, wird, allein schon um Gleitpunktüber-/unterlauf zu vermeiden, der Vektor zusätzlich in jedem Schritt normiert . Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 28 / 177
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Vektoriteration<br />
Der Prototyp aller numerischer Eigenwertverfahren ist die sog. Vektoriteration nach<br />
von Mises, auch Potenzmethode (engl. power method) genannt. Es beruht auf der<br />
Tatsache, dass für (nahezu) jeden Vektor q ∈ C n die Vektorfolge<br />
q, Aq, A 2 q, A 3 q, . . .<br />
zunehmend in Richtung eines Eigenvektors von A zum Eigenwert ρ(A) zeigt. In<br />
seiner einfachsten Form lautet das Verfahren wie folgt:<br />
Algorithmus 1 : Vektoriteration nach von Mises.<br />
Gegeben : A ∈ C n×n , q 0 ∈ C n .<br />
1 for k = 1 to . . . do<br />
2 z k ← Aq k−1<br />
3 q k ← z k /‖z k ‖ 2<br />
4 µ k ← q H k Aq k<br />
Wie man sieht, wird, allein schon um Gleitpunktüber-/unterlauf zu vermeiden, der<br />
Vektor zusätzlich in jedem Schritt normiert .<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 28 / 177
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