Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einleitung 3 Das QR-Verfahren 4 Hermitesche Eigenwertaufgaben 5 Anhang: Grundlagen aus der Linearen Algebra Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 25 / 177
Einleitung Nach dem Satz von Abel-Ruffini sind Polynomgleichungen ab Grad 5 nicht durch Wurzelziehen lösbar. Die Nullstellen des Polynoms p(z) = z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 sind die Eigenwerte seiner Frobenius-Begleitmatrix ⎡ ⎤ 0 −a 0 1 0 −a 1 A = . .. . .. ⎢ . ∈ C n×n . ⎥ ⎣ 1 0 −a n−2 ⎦ 1 −a n−1 Ein Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten mit endlich vielen Schritten würde somit zu einer Formel für die Nullstellen eines Polynomes führen. Das in diesem Kapitel betrachtete Verfahren, die QR-Iteration, berechnet die Schur- Zerlegung einer n × n Matrix in O(n 3 ) Operationen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 26 / 177
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Einleitung<br />
Nach dem Satz von Abel-Ruffini sind Polynomgleichungen ab Grad 5 nicht durch<br />
Wurzelziehen lösbar. Die Nullstellen des Polynoms<br />
p(z) = z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0<br />
sind die Eigenwerte seiner Frobenius-Begleitmatrix<br />
⎡<br />
⎤<br />
0 −a 0<br />
1 0 −a 1<br />
A =<br />
. .. . .. ⎢<br />
.<br />
∈ C n×n .<br />
⎥<br />
⎣ 1 0 −a n−2<br />
⎦<br />
1 −a n−1<br />
Ein Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten mit endlich vielen Schritten würde<br />
somit zu einer Formel für die Nullstellen eines Polynomes führen.<br />
Das in diesem Kapitel betrachtete Verfahren, die QR-Iteration, berechnet die Schur-<br />
Zerlegung einer n × n Matrix in O(n 3 ) Operationen.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 26 / 177
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