Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Konvergenz Praktische Koordinaten Sei S eine Approximation an den A-invarianten Unterraum U . Dann approximiert T := U −1 S den B-invarianten Unterraum E d . Seien die Spalten von T ∈ C n×d eine ON-Basis von T und setze [ ] T1,1 T = mit T T 1,1 ∈ C d×d . 2,1 Nach Satz 5.24 sind die Singulärwerte von E H d T = T 1,1 die Kosinus der Hauptwinkel zwischen E d und T . Somit ist T 1,1 genau dann invertierbar, wenn für den größten Hauptwinkel ϑ d gilt cos ϑ d > 0, was genau dann gilt, wenn dist(E d , T ) = sin ϑ d < 1. Ist somit T eine hinreichend gute Approximation an E d , so ist T 1,1 invertierbar und es gilt [ ] [ ] T1,1 I T = = T T 2,1 X 1,1 mit X := T 2,1 T1,1 −1 . Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 63 / 177
Konvergenz Praktische Koordinaten Die Spalten von [ X I ] bilden eine (i. All. nicht ON-) Basis von T . Wir vergleichen diese mit der Basis von E d , welche gegeben ist durch die Spalten von [ O I ]. Lemma 3.6 Es gilt ‖X ‖ = tan ϑ d , mit ϑ d dem größten Hauptwinkel zwischen E d und T . Somit ist dist(E d , T ) = ‖X ‖ √ 1 + ‖X ‖ 2 und, falls T nahe bei E d , dist(E d , T ) = sin ϑ d ≈ ϑ d ≈ tan ϑ d = ‖X ‖. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 64 / 177
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Konvergenz<br />
Praktische Koordinaten<br />
Die Spalten von [<br />
X I ] bilden eine (i. All. nicht ON-) Basis von T . Wir vergleichen<br />
diese mit der Basis von E d , welche gegeben ist durch die Spalten von [<br />
O I ].<br />
Lemma 3.6<br />
Es gilt<br />
‖X ‖ = tan ϑ d ,<br />
mit ϑ d dem größten Hauptwinkel zwischen E d und T . Somit ist<br />
dist(E d , T ) =<br />
‖X ‖<br />
√<br />
1 + ‖X ‖<br />
2<br />
und, falls T nahe bei E d ,<br />
dist(E d , T ) = sin ϑ d ≈ ϑ d ≈ tan ϑ d = ‖X ‖.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 64 / 177
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