Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz

QR-Schritt mit impliziten Shifts
Implizites Q-Theorem
Interpretation: Sind G = V H AV und H = Q H AQ zwei unreduzierte Hessenberg-
Matrizen und besitzen die unitären Matrizen V und Q die gleiche erste Spalte, so
sind G und H im wesentlichen gleich, d.h. es gilt G = D −1 HD mit einer Diagonalmatrix
D = diag(ϑ 1 , . . . , ϑ n ), |ϑ j | = 1.
Die implizite Berechnung der QR-Schritts A k = Q H k A k−1Q k geschieht nun wie
folgt:
1 Berechne die erste Spalte von Q k (skalares Vielfaches der ersten Spalte von
A k−1 − ρI , ergibt sich also durch Nomierung).
2 Bestimme restliche Spalten von Q k so, dass Q k unitär und A k unreduzierte
obere Hessenberg-Matrix.
Das implizite Q-Theorem stellt dann sicher, dass wir dann A k bis auf Faktoren vom
Betrag eins berechnet haben.
Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 60 / 177