Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
QR-Schritt mit impliziten Shifts QR-Zerlegung für Hessenberg-Matrizen Die Matrix Q = G H 1,2 · · · G H n−1,n ist aufgrund des Besetzungsmusters ihrer Faktoren ebenfalls obere Hessenberg-Matrix. (Dies folgt auch aus dem zu A = QR äquivalenten Ausdruck Q = AR −1 .) Demzufolge ist mit A 0 auch obere Hessenberg-Matrix. Satz 3.2 A 1 = R 1 Q 1 + ρI Beim QR-Schritt mit einfachem Shift bleibt die obere Hessenberg-Struktur erhalten. Eine effiziente Implementierung des QR-Verfahrens arbeitet mit impliziten Shifts, d.h. die QR-Zerlegung der Hessenberg-Matrizen wird implizit als Produkt von elementaren unitären Matrizen konstruiert. Hierzu ist eine Tatsache hilfreich, die als implizites Q-Theorem bekannt ist. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 57 / 177
QR-Schritt mit impliziten Shifts Unreduzierte Hessenberg-Matrizen Definition 3.3 Eine obere Hessenberg-Matrix H = [h i,j ] n i,j=1 ∈ Cn×n heißt unreduziert (engl. unreduced), falls h k+1,k ≠ 0 ∀k = 1, 2, . . . , n − 1. Satz 3.4 Ein Eigenwert λ ∈ Λ(A) einer unreduzierten Hessenberg-Matrix A ∈ C n×n besitzt geometrische Vielfachheit Eins. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 58 / 177
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QR-Schritt mit impliziten Shifts<br />
Unreduzierte Hessenberg-Matrizen<br />
Definition 3.3<br />
Eine obere Hessenberg-Matrix H = [h i,j ] n i,j=1 ∈ Cn×n heißt unreduziert (engl.<br />
unreduced), falls<br />
h k+1,k ≠ 0 ∀k = 1, 2, . . . , n − 1.<br />
Satz 3.4<br />
Ein Eigenwert λ ∈ Λ(A) einer unreduzierten Hessenberg-Matrix A ∈ C n×n<br />
besitzt geometrische Vielfachheit Eins.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 58 / 177
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