Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
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QR-Schritt mit impliziten Shifts<br />
Führt man einen QR-Schritt mit einem Shift ρ durch, so vereinfacht sich (3.2) zu<br />
A k−1 − ρI = Q k R k , A k = Q H k A k−1 Q k .<br />
(Wir schreiben Q k anstelle von ˜Q k , da wir nur noch die geschlängelten Matrizen<br />
benötigen.)<br />
Die letzte Gleichung lässt sich vereinfachen zu<br />
A k = Q H k (Q k R k + ρI )Q k = R k Q k + ρI .<br />
Ein einzelner QR-Schritt besteht also im wesentlichen aus einer QR-Zerlegung von<br />
A k−1 gefolgt von der Multiplikation der QR-Faktoren in umgekehrter Reihenfolge.<br />
Da A 0 = A in Hessenberg-Gestalt vorliegt, besteht also die erste Aufgabe in einer<br />
QR-Zerlegung für eine Hessenberg-Matrix. Hierzu sind lediglich (höchstens) n − 1<br />
Givens-Rotationen erforderlich.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 55 / 177
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