Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Wir zeigen das Vorgehen der Reduktion auf Hessenberg-Gestalt durch Householder- Transformationen anhand einer beliebigen 6 × 6-Matrix A auf. Bezeichnet ˜P 1 ∈ C (n−1)×(n−1) eine Householder-Transformation, welche den Vektor A(2 : n, 1) auf ein Vielfaches von e 1 ∈ C n−1 abbildet, so ergibt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ × × × × × × × × × × × × [ ] × × × × × × × × × × × × 1 0 P1 H T A = × × × × × × 0 ˜P1 ⎢× × × × × × = 0 × × × × × ⎥ ⎢ 0 × × × × × ⎥ ⎣× × × × × × ⎦ ⎣ 0 × × × × × ⎦ × × × × × × 0 × × × × × Anschließende Multiplikation von rechts mit P 1 lässt die erste Spalte unverändert, sodass wir mit A 1 := P H 1 AP 1 eine zu A unitär ähnliche Matrix erhalten mit Nullen unterhalb der ersten Nebendiagonalen in der ersten Spalte. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 51 / 177
Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Mit der zweiten Spalte verfahren wir analog: bildet die Householder-Matrix ˜P 2 ∈ C (n−2)×(n−2) den Vektor A 1 (3 : n, 2) auf ein Vielfaches von e 1 ∈ C n−3 ab, so wirkt die unitäre Matrix von links multipliziert [ ] P2 H I2 O = O ˜P 2 nur auf die Zeilen 3 bis n, analog P 3 von rechts multipliziert nur auf Spalten 3 bis n, und wir erhalten ⎡ ⎤ × × × × × × × × × × × × A 2 = (P 1 P 2 ) H A(P 1 P 2 ) = 0 × × × × × ⎢ 0 0 × × × × ⎥ ⎣ 0 0 × × × × ⎦ 0 0 × × × × Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 52 / 177
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Reduktion auf Hessenberg-Gestalt<br />
Wir zeigen das Vorgehen der Reduktion auf Hessenberg-Gestalt durch Householder-<br />
Transformationen anhand einer beliebigen 6 × 6-Matrix A auf.<br />
Bezeichnet ˜P 1 ∈ C (n−1)×(n−1) eine Householder-Transformation, welche den Vektor<br />
A(2 : n, 1) auf ein Vielfaches von e 1 ∈ C n−1 abbildet, so ergibt<br />
⎡<br />
⎤ ⎡<br />
⎤<br />
× × × × × × × × × × × ×<br />
[ ]<br />
× × × × × ×<br />
× × × × × ×<br />
1 0<br />
P1 H T<br />
A =<br />
× × × × × ×<br />
0 ˜P1 ⎢× × × × × ×<br />
=<br />
0 × × × × ×<br />
⎥ ⎢ 0 × × × × ×<br />
⎥<br />
⎣× × × × × × ⎦ ⎣ 0 × × × × × ⎦<br />
× × × × × × 0 × × × × ×<br />
Anschließende Multiplikation von rechts mit P 1 lässt die erste Spalte unverändert,<br />
sodass wir mit A 1 := P H 1 AP 1 eine zu A unitär ähnliche Matrix erhalten mit Nullen<br />
unterhalb der ersten Nebendiagonalen in der ersten Spalte.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 51 / 177
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