Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Eine Matrix A = [a i,j ] ∈ C n×n heißt obere Hessenberg-Matrix, falls a i,j = 0 falls i > j + 1. Im 6 × 6-Beispiel: (× bezeichnet beliebige Einträge, i.A. ≠ 0) ⎡ ⎤ × × × × × × × × × × × × 0 × × × × × ⎢ 0 0 × × × × ⎥ ⎣ 0 0 0 × × × ⎦ 0 0 0 0 × × Diese Gestalt ist stets durch eine untäre Ähnlichkeitstransformation erreichbar. Satz 3.1 Zur jeder Matrix A ∈ C n×n existiert eine unitäre Matrix U ∈ C n×n sodass obere Hessenberg-Matrix ist. U H AU = H Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 49 / 177
Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Algorithmus 2 : Transformation auf Hessenberg-Gestalt. Gegeben : A ∈ C n×n . 1 for k = 1 to n − 2 do 2 [v, β] ← house(A(k + 1 : n, k)) 3 A(k + 1 : n, k : n) ← (I − βvv H )A(k + 1 : n, k : n) 4 A(1 : n, k + 1 : n) ← A(1 : n, k + 1 : n)(I − βvv H ) Dabei liefert die Funktion [v, β] = house(x ) zu x ∈ C n einen Vektor v ∈ C n , den sog. Householder-Vektor, mit v 1 = 1 sowie β ∈ R sodass P = I − βvv H unitär und Px = ‖x ‖ 2 x 1 |x 1 | e 1. Dieser Algorithmus erfordert 10n 3 /3 Flops, 4n 3 /3 zusätzliche Flops falls U explizit benötigt wird. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 50 / 177
- Seite 1 und 2: Numerische Lineare Algebra Oliver E
- Seite 3 und 4: Inhalt II 5.2 Störungstheorie 5.3
- Seite 5 und 6: Einleitung Nach dem Satz von Abel-R
- Seite 7 und 8: Vektoriteration Der Prototyp aller
- Seite 9 und 10: Vektoriteration Beispiel Wir betrac
- Seite 11 und 12: Vektoriteration Beispiel q 0 = v 1
- Seite 13 und 14: Unterraumiteration Vektoriteration
- Seite 15 und 16: Unterraumiteration Invariante Unter
- Seite 17 und 18: Unterraumiteration Verschieben des
- Seite 19 und 20: Unterraumiteration Simultane Iterat
- Seite 21 und 22: Unterraumiteration QR-Iteration Das
- Seite 23 und 24: Unterraumiteration Invarianzerkennu
- Seite 25 und 26: Unterraumiteration Rekursive Darste
- Seite 27: Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einlei
- Seite 31 und 32: Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Mi
- Seite 33 und 34: Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einlei
- Seite 35 und 36: QR-Schritt mit impliziten Shifts QR
- Seite 37 und 38: QR-Schritt mit impliziten Shifts Un
- Seite 39 und 40: QR-Schritt mit impliziten Shifts Im
- Seite 41 und 42: Konvergenz Praktische Koordinaten S
- Seite 43 und 44: Konvergenz Praktische Koordinaten D
- Seite 45 und 46: Konvergenz Konvergenzsatz II Satz 3
- Seite 47 und 48: Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einlei
- Seite 49 und 50: QR Konvergenz Satz 3.12 Beim QR-Ver
- Seite 51 und 52: QR Konvergenz In der Praxis besitze
Reduktion auf Hessenberg-Gestalt<br />
Algorithmus 2 : Transformation auf Hessenberg-Gestalt.<br />
Gegeben : A ∈ C n×n .<br />
1 for k = 1 to n − 2 do<br />
2 [v, β] ← house(A(k + 1 : n, k))<br />
3 A(k + 1 : n, k : n) ← (I − βvv H )A(k + 1 : n, k : n)<br />
4 A(1 : n, k + 1 : n) ← A(1 : n, k + 1 : n)(I − βvv H )<br />
Dabei liefert die Funktion [v, β] = house(x ) zu x ∈ C n einen Vektor v ∈ C n , den<br />
sog. Householder-Vektor, mit v 1 = 1 sowie β ∈ R sodass<br />
P = I − βvv H unitär und Px = ‖x ‖ 2<br />
x 1<br />
|x 1 | e 1.<br />
Dieser Algorithmus erfordert 10n 3 /3 Flops, 4n 3 /3 zusätzliche Flops falls U explizit<br />
benötigt wird.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 50 / 177
Change language