Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Unterraumiteration Rekursive Darstellung bei QR-Iteration Die Ähnlichkeitstransformation A ↦→ Q H k AQ k muss nicht explizit berechnet werden: definiert man ˜Q k := Q H k−1Q k , so ergeben sich unmittelbar Q k = ˜Q 1 ˜Q2 · · · ˜Q k sowie A k = ˜Q H k A k−1 ˜Qk , d.h. A k kann bei Vorliegen von ˜Q k aus A k−1 berechnet werden. Ferner gilt p(A k−1 ) = ˜Q k R k , sodass ein QR-Schritt zusammengefasst werden kann als p(A k−1 ) = ˜Q k R k , A k = ˜Q H k A k−1 ˜Qk . (3.2) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 45 / 177
Unterraumiteration Rekursive Darstellung bei QR-Iteration Fazit: Ein QR-Schritt entspricht einem Schritt simultaner Iteration angewandt auf die Unterräume span{e 1 , . . . , e j }, j = 1, . . . , n. Hierauf folgt ein unitärer Basiswechsel, bezüglich dessen die Unterräume wieder die Darstellung span{e 1 , . . . , e j }, j = 1, . . . , n besitzen. Bei der simultanen Iteration bleibt die Matrix A unverändert und die Unterräume ändern sich; beim QR-Verfahren ändert sich die Matrix und die Unterräume besitzen stets die Darstellung span{e 1 , . . . , e j }, j = 1, . . . , n, d.h. die Standardbasis wird zunehmend invariant bezüglich der aktuellen Matrix. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 46 / 177
- Seite 1 und 2: Numerische Lineare Algebra Oliver E
- Seite 3 und 4: Inhalt II 5.2 Störungstheorie 5.3
- Seite 5 und 6: Einleitung Nach dem Satz von Abel-R
- Seite 7 und 8: Vektoriteration Der Prototyp aller
- Seite 9 und 10: Vektoriteration Beispiel Wir betrac
- Seite 11 und 12: Vektoriteration Beispiel q 0 = v 1
- Seite 13 und 14: Unterraumiteration Vektoriteration
- Seite 15 und 16: Unterraumiteration Invariante Unter
- Seite 17 und 18: Unterraumiteration Verschieben des
- Seite 19 und 20: Unterraumiteration Simultane Iterat
- Seite 21 und 22: Unterraumiteration QR-Iteration Das
- Seite 23: Unterraumiteration Invarianzerkennu
- Seite 27 und 28: Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einlei
- Seite 29 und 30: Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Al
- Seite 31 und 32: Reduktion auf Hessenberg-Gestalt Mi
- Seite 33 und 34: Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einlei
- Seite 35 und 36: QR-Schritt mit impliziten Shifts QR
- Seite 37 und 38: QR-Schritt mit impliziten Shifts Un
- Seite 39 und 40: QR-Schritt mit impliziten Shifts Im
- Seite 41 und 42: Konvergenz Praktische Koordinaten S
- Seite 43 und 44: Konvergenz Praktische Koordinaten D
- Seite 45 und 46: Konvergenz Konvergenzsatz II Satz 3
- Seite 47 und 48: Inhalt 1 Organisatorisches 2 Einlei
- Seite 49 und 50: QR Konvergenz Satz 3.12 Beim QR-Ver
- Seite 51 und 52: QR Konvergenz In der Praxis besitze
Unterraumiteration<br />
Rekursive Darstellung bei QR-Iteration<br />
Fazit:<br />
Ein QR-Schritt entspricht einem Schritt simultaner Iteration angewandt auf<br />
die Unterräume span{e 1 , . . . , e j }, j = 1, . . . , n. Hierauf folgt ein unitärer<br />
Basiswechsel, bezüglich dessen die Unterräume wieder die Darstellung<br />
span{e 1 , . . . , e j }, j = 1, . . . , n besitzen.<br />
Bei der simultanen Iteration bleibt die Matrix A unverändert und die<br />
Unterräume ändern sich; beim QR-Verfahren ändert sich die Matrix und die<br />
Unterräume besitzen stets die Darstellung span{e 1 , . . . , e j }, j = 1, . . . , n,<br />
d.h. die Standardbasis wird zunehmend invariant bezüglich der aktuellen<br />
Matrix.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 46 / 177
Change language