Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Unterraumiteration Simultane Iteration Aufgrund der oberen Dreiecksstruktur von R k bilden die Spalten q (k) 1 , . . . , q (k) d von Q k nicht nur eine Orthonormalbasis von p(A)S k−1 , es gilt vielmehr span{p(A)q (k−1) 1 , . . . , p(A)q (k−1) } = span{q (k) 1 , . . . , q (k) j }, j = 1, . . . , d. j Die simultane Iteration erzeugt somit eine Folge geschachtelter Unterräume der Dimensionen 1 bis d. Ist A diagonalisierbar und sind v 1 , . . . , v n die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ 1 , . . . , λ n von A mit so gilt |p(λ 1 )| ≤ |p(λ 2 )| ≤ · · · ≤ |p(λ n )| span{q (k) 1 , . . . , q (k) j } → span{v n−j+1 , . . . , v n }, j = 1, . . . , d, sofern |p(λ n−j+1 )| > |p(λ n−j )|. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 41 / 177
Unterraumiteration QR-Iteration Das QR-Verfahren entspricht simultaner Iteration mit d = n beginnend mit Q 0 = I . Hierbei wird also eine Folge geschachtelter Unterräume erzeugt, die jeweils gegen invariante Unterräume von A konvergieren. Alternativ kann das QR-Verfahren als Folge von Orthonormalbasen betrachtet werden, bezüglich derer im Grenzfall die Matrix A Schur-Form annimmt. Es wird sozusagen das kartesische Koordinatensystem im C n geeignet „zurechtrotiert“. Neben QR-Zerlegung sind auch andere Transformationen gebrauchlich, etwa LR-Zerlegungen. Diese sollten nach Moglichkeit die vorhandene Struktur in A erhalten. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 42 / 177
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Unterraumiteration<br />
Simultane Iteration<br />
Aufgrund der oberen Dreiecksstruktur von R k bilden die Spalten q (k)<br />
1 , . . . , q (k)<br />
d<br />
von<br />
Q k nicht nur eine Orthonormalbasis von p(A)S k−1 , es gilt vielmehr<br />
span{p(A)q (k−1)<br />
1 , . . . , p(A)q (k−1) } = span{q (k)<br />
1 , . . . , q (k)<br />
j }, j = 1, . . . , d.<br />
j<br />
Die simultane Iteration erzeugt somit eine Folge geschachtelter Unterräume der<br />
Dimensionen 1 bis d.<br />
Ist A diagonalisierbar und sind v 1 , . . . , v n die Eigenvektoren zu den Eigenwerten<br />
λ 1 , . . . , λ n von A mit<br />
so gilt<br />
|p(λ 1 )| ≤ |p(λ 2 )| ≤ · · · ≤ |p(λ n )|<br />
span{q (k)<br />
1 , . . . , q (k)<br />
j } → span{v n−j+1 , . . . , v n }, j = 1, . . . , d,<br />
sofern |p(λ n−j+1 )| > |p(λ n−j )|.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 41 / 177
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