Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz Numerische Lineare Algebra - TU Chemnitz
Unterraumiteration Verschieben des Ursprungs Für einen beliebigen Shift ρ ∈ C besitzt A − ρI dieselben Eigenvektoren wie A, zu den verschobenen Eigenwerten {λ − ρ : λ ∈ Λ(A)}. Ordnet man diese so, dass |λ 1 − ρ| ≤ |λ 2 − ρ| ≤ · · · ≤ |λ n − ρ|, so beträgt die Konvergenzrate der Unterraumiteration für A − ρI nun λ n−d − ρ ∣λ n−d+1 − ρ∣ und kann durch Wahl von ρ optimiert werden. Typischerweise wählt man als Shift bereits berechnete Näherungen an Eigenwerte (von A), und ändert diesen im Lauf der Iteration, die dann lautet S k = (A − ρ k I )S k−1 . Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 37 / 177
Unterraumiteration Verschieben des Ursprungs m Schritte einer solchen „instationären“ Iteration ergeben also zusammengefasst S m = (A − ρ m I )(A − ρ m−1 I ) · · · (A − ρ 1 I )S 0 =: p(A)S 0 mit einem Polynom p vom Grad m, ein mehrfacher Shift der Ordnung m. Bei zyklischer Wiederholung dieser m Schritte spricht man von der durch p(A) erzeugten Iteration. Umnummerieren der Eigenwerte so, dass |p(λ 1 )| ≤ |p(λ 2 )| ≤ · · · ≤ |p(λ n )| ergibt nun die Konvergenzrate |p(λ n−d )/p(λ n−d+1 )|. In der Praxis ist die Iteration „noch instationärer“, d.h. es werden bei jedem Durchlauf m neue Shifts ρ j , also ein anderes Polynom gewählt. Wir betrachten im Weiteren der Einfachheit halber den stationären Fall mit einem festen Polynom. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerische Lineare Algebra Wintersemester 2013/14 38 / 177
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Unterraumiteration<br />
Verschieben des Ursprungs<br />
m Schritte einer solchen „instationären“ Iteration ergeben also zusammengefasst<br />
S m = (A − ρ m I )(A − ρ m−1 I ) · · · (A − ρ 1 I )S 0 =: p(A)S 0<br />
mit einem Polynom p vom Grad m, ein mehrfacher Shift der Ordnung m. Bei zyklischer<br />
Wiederholung dieser m Schritte spricht man von der durch p(A) erzeugten<br />
Iteration.<br />
Umnummerieren der Eigenwerte so, dass<br />
|p(λ 1 )| ≤ |p(λ 2 )| ≤ · · · ≤ |p(λ n )|<br />
ergibt nun die Konvergenzrate |p(λ n−d )/p(λ n−d+1 )|.<br />
In der Praxis ist die Iteration „noch instationärer“, d.h. es werden bei jedem Durchlauf<br />
m neue Shifts ρ j , also ein anderes Polynom gewählt. Wir betrachten im Weiteren<br />
der Einfachheit halber den stationären Fall mit einem festen Polynom.<br />
Oliver Ernst (<strong>Numerische</strong> Mathematik) <strong>Numerische</strong> <strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> Wintersemester 2013/14 38 / 177
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