Theoretische Physik 1 (Elementarteilchenphysik) / Uni Siegen

Theoretische Physik:
Thermodynamik
und
Statistische Physik
Aufgabensammlung
x

Inhaltsverzeichnis
1 SS 2005 5
Blatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Blatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Blatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Blatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Blatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Blatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Blatt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Blatt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Blatt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Blatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Blatt 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Blatt 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Nachklausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 SS 2006 30
Blatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Blatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Blatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Blatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Blatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Blatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Blatt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Blatt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Blatt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Blatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Blatt 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Blatt 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 SS 2009 53
Blatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Blatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Blatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Blatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Blatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Blatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Blatt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Blatt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Blatt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Blatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Blatt 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Blatt 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Blatt 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Blatt 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 1
1. Betrachten Sie Variationen der partiell differenzierbaren Funktionen U.x 1 ; : : : ; x n / und
V .x 1 ; : : : ; x n /. Dabei werden die Variablen x 3 ; : : : ; x n konstant gehalten.
a) Bestimmen Sie die Änderung von U
bei einer Variation von x 1 und x 2 , die V
@U
unverändert läßt, d. h. berechnen Sie
@x 1
:
V;x 3 ;:::;x n
b) Berechnen Sie @U
@V
x 2 ;:::;x n
:
2. Ein Gas werde von .p 1 ; V 1 ; T 1 / nach .p 2 ; V 2 ; T 2 / geführt. Die Zustandsänderung sei
derart, dass Druck– und Volumenänderung die Relation dp D a dV mit einer positiven
p V
Konstanten a erfüllen. Berechnen Sie die von dem Gas geleistete Arbeit.
3. Betrachten Sie ein ideales Gas, das die beiden
in der Abbildung dargestellten Kreisprozesse
C 1 D .1231/ und C 2 D .4564/ durchläuft.
Dabei sind T a und T b die Temperaturen
entlang der entsprechenden Isothermen. Zeigen
Sie, dass H C 1
pdV D H C 2
pdV . Was folgt für
die verbrauchten Wärmemengen?
P
1
2
3 4
6
5
T b
Ta
V
4. Die Zustandsgleichung für ein Gas sei p D p.T; V /, d. h. der Druck, p, ist Funktion
der Temperatur, T , und des Volumens, V . Diese Zustandsgleichung lasse sich eindeutig
nach V auflösen.
a) Zeigen Sie, dass für den isochoren Spannungkoeffizienten, D 1 @p
, den
p @T
V
isobaren Ausdehnungkoeffizienten, ˇ D 1 @V
, und den isothermen Kompressionskoeffizienten,
D , die Relation ˇ D p
V @T p
gilt.
1 V
@V
@p
b) Verifizieren Sie diese Relation für ein ideales Gas.
T
c) Zeigen Sie, dass die oben definierten Größen die Konsistenzbedingung
@
@p ŒVˇ T
D
@
@T ŒV p
erfüllen müssen.
5

d) Für ein System seien
ˇ D 1 T
1 C 3a
V T 2
und
D 1 p
1 C a
V T 2
gegeben. Dabei ist a eine beliebige Konstante. Verifizieren Sie, dass dieses System
die Konsistenzbedingung c) erfüllt und bestimmen Sie die Zustandsgleichung in
der Form V D V .p; T /.
6

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 2
1. Zeigen Sie, dass die über die Zustandsgleichung des idealen Gases (pV D nR) definierte
Temperatur identisch mit der Kelvin–Temperatur T ist. Schreiben Sie dazu den
Wirkungsgrad einer mit einem idealen Gas betriebenen Carnot–Maschine als Funktion
von .
2. Die unabhängigen Variablen, die ein System beschreiben, seien das Volumen V und die
Temperatur T . Diesem System wird die Wärmemenge ıQ zugeführt, wobei sich die
Temperatur um ıT ändert, aber die Zustandsgröße X.V; T / unverändert bleibt. Zeigen
Sie, dass die spezifische Wärme durch
C X D
ıQ
ıT
X
D
@U
@T
V
@U
C
@V T
@V
C p
@T X
gegeben ist. Dabei sind U und p innere Energie und Druck. Verifizieren Sie damit C p D
C V C nR für ein ideales Gas.
3. Die Zustandsgleichung für ein Gas sei von der Form p D Tf .V /. Verwenden Sie, dass
die Entropie und die innere Energie vollständige Differentiale haben, um zu zeigen, dass
in diesem Fall die innere Energie unabhängig vom Volumen ist.
4. Ein ideales Gas durchlaufe den folgenden Kreisprozess
.T 2 ; V 1 / isotherm
!
✻
isochor
.T 1 ; V 1 /
isotherm
.T 2 ; V 2 /
isochor
❄
.T 1 ; V 2 /
mit T 2 > T 1 und V 2 > V 1 .
a) Skizzieren Sie den Kreisprozess in den .P; V /, .T; V / und .P; T / Diagrammen.
b) Berechnen Sie für jeden Teilschritt die geleistete Arbeit und die ausgetauschte Wärme
und bestimmen daraus den Wirkungsgrad.
7

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 3
1. Gehen Sie von den Differentialen für die freie Energie, F und dem thermodynamischen
Potential, G aus, um folgende Relationen für Ableitungen der Entropie zu zeigen,
@S @p @S @V
D
D :
@V T @T V @p T @T p
Zeigen Sie, dass aus der Zustandsgleichung p D p.V; T / berechnet werden
kann.
@CV
@V
T
2. Für ein Gas geringer Dichte gelte folgende Virialentwicklung
p.V; T / D nRT 1 C n
V V B.T / :
Die Wärmekapazität kann um diejenige des idealen Gases entwickelt werden:
3 n
C V D nR
2 V F.T / :
a) Welche Beziehung muss zwischen B.T / und F.T / gelten, damit die Entwicklungen
thermodynamisch konsistent sind (vgl. Aufgabe 1)?
b) Bestimmen Sie die Wärmekapazität C p und die Entropie S.V; T /.
3. Berechnen Sie den adiabatischen Kompressionskoeffizienten ad D 1 V
idealen Gases. Bestimmen Sie damit die Schallgeschwindigkeit c 2 D
@p
@
T D 273K. Wie hängt die Schallgeschwindigkeit von der Temperatur ab?
@V
@p
ad
ad
eines
in Luft bei
4. Ein ideales Gas durchlaufe den in der Abbildung skizzierten Kreisprozess im S T
Diagramm.
T
4
1
SA
p=p =const.
1
p=p =const.
2
2
3
SB
S
a) Bestimmen Sie die Bahnkurven der Isobaren bei
p 1 und p 2 .
b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer so betriebenen
Wärmekraftmaschine.
c) Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad nur von T 1
und T 4 abhängt.
8

5. Ein Rohr, das am unteren Ende durch eine semipermeable Membran abgeschlossen und
mit einer wässrigen Salzlösung gefüllt ist, tauche in ein Gefäß mit Wasser ein. Bestimmen
Sie die Teilchendichte des Salzes, wenn der Höhenunterschied der beiden Flüssigkeiten
h D 2cm beträgt.
g
h=2cm
..
Salzlosung
Wasser
9

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 4
@U
1. Zeigen Sie, dass aus der Zustandsgleichung berechnet werden kann. Betrachten
@p
T
Sie speziell ein Gas, das durch die van–der–Waals Zustandsgleichung beschrieben wird.
In welchen Bereichen ist
@U
@p
T
positiv bzw. negativ?
2. Zeigen Sie für ein van–der–Waals Gas, dass entlang der Inversionskurve des Joule–
Thomson Prozesses, die durch D 0 bestimmt ist,
@T
@p
H
2a
RT
2 v b
D b
v
erfüllt ist. Dabei ist v D V =n. Lösen Sie obige Bedingung nach v auf, um die Inversionkurve
in der Form P i D P i .T / zu schreiben.
3. Betrachten Sie ein Gas, das durch die Dieterici–Zustandsgleichung
˛
p.v ˇ/ exp D RT
vRT
beschrieben wird. Bestimmen Sie die kritischen Größen T C , p C und v C als Funktionen
der Konstanten ˛, ˇ und R. Schreiben Sie die Dieterici–Zustandsgleichung mittels der
dimensionslosen Variablen v D v=v C , p D p=p C und T D T =T C . Folgt daraus ein
Gesetz der korrespondierenden Zustände?
4. Bestimmen Sie den thermischen Expansionskoeffizienten
˛coex D 1 @vg
v g @T coex
für einen Dampf (ideales Gas), der im Gleichgewicht mit seiner flüssigen Phase ist. Dabei
ist v g das Molvolumen des Dampfes. Das Molvolumen der Flüssigkeit sei vernachlässigbar
klein.
5. Eine Flüssigkeit kocht in der Höhe des Meerespiegels bei 103 ı C und auf einem Hügel,
der 400m höher liegt, bei 93 ı C. Berechnen Sie die als konstant angenommene Verdampfungswärme
der Flüssigkeit. Der Druck in der Höhe z ergibt sich aus der barometrischen
Höhenformel p.z/ D p 0 exp. mgz=RT 0 /. Dabei ist m die Masse pro Mol
und T 0 D 273K die Umgebungstemperatur. Die Luftzusammensetzung sei 80%N 2 und
20%O 2 .
10

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 5
1. Betrachten Sie eine Mischung von zwei Arten von Gasmolekülen mit den Massen m 1
und m 2 im Volumen V , bei konstanter Temperatur T . Die Moleküle können durch eine
poröse Wand in das umgebende Vakuum entweichen. Berechnen Sie das Verhältnis der
Konzentrationen, c 1 .t/=c 2 .t/ als Funktion der Zeit t für m 1 > m 2 .
2. Aus einem Ofen der Temperatur T entweicht durch
Blende
Schirm
eine nahezu punktförmige Öffnung ein Gasstrahl ins Ofen
Vakuum. Die Geschwindigkeiten der Teilchen im . .
. .
.
.
. .
.
.
Ofen gehorchen einer Maxwellverteilung. Im Abstand
s wird durch eine ebenfalls nahezu punktförmi-
.
. . .
.
. .
x
.
.
.
. .
.
.
.
ge Öffnung der horizontale Anteil ausgeblendet. Im
z
Abstand a s wird der Strahl auf einem Schirm
s a
aufgefangen.
Zeigen Sie, dass die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit die Blende horizontal mit der
Geschwindigkeit v x verlassen durch
d PN / n
m
2k B T
3
2
v
3
x exp
mv
2
x
dv x
2k B T
geben ist. Dabei ist n die Dichte der Teilchen im Ofen. Berechnen Sie die Intensitätsverteilung
I.z/ D d PN
auf dem Schirm unter Berücksichtigung der Schwerkraft (nur
dz
zwischen Schirm und Blende).
3. Ein Gas bestehe aus N Molekülen, die sich unabhängig in einem Volumen V bewegen.
Betrachen Sie ein Teilvolumen v.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w N .n/, n Moleküle in v zu finden?
b) Wie groß ist die mittlere Teilchenzahl Nn im Teilvolumen v?
c) Berechnen Sie das Schwankungsquadrat
.n Nn/ 2
:
Nn
Wie groß ist das für v D V , v D V =2 und v D 10 10 V ?
d) Geben Sie eine einfache Näherung für N Nn an. (Hinweis: Für große x gilt die
Stirlingsche Formel x! D p 2x x x =e x C : : : .)
11

4. Gegeben seien N unabhängige harmonische Oszillatoren, die jeweils die Eigenfrequenz
! haben. Die Gesamtenergie beträgt somit
E D N ! C M !
2
mit M D n 1 C n 2 C : : : C n N . Bestimmen Sie die Anzahl Z.E/ der Zustände mit einer
vorgegebenen Gesamtenergie E. Geben Sie für die Größe @ln Z.E/=@E einen analytischen
Ausdruck für den Grenzfall M; N 1 an.
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Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 6
1. Betrachten Sie ein System von N Teilchen der Masse m und der Phasenraumverteilung
.Eq 1 : : : Eq N ; Ep 1 : : : Ep N ; t/ und einer nicht–relativistischen Hamiltonfunktion (Hamiltonoperator),
die keine geschwindigkeitsabhängige Potentiale enthält. Zeigen Sie, dass
die lokale Dichte
NX
Z
n.Er ; t/ D d 3 q 1 : : : d 3 q N d 3 p 1 : : : d 3 p N .Eq 1 : : : Eq N ; Ep 1 : : : Ep N ; t/ı 3 .Eq i Er /
i
und die Geschwindigkeitsverteilung
Ev .Er ; t/ D 1
n.Er ; t/
NX Z
i
die Kontinuitätsgleichung (Er D .x 1 ; x 2 ; x 3 /)
erfüllen.
d 3 q 1 : : : d 3 q N d 3 p 1 : : : d 3 p N .Eq 1 : : : Eq N ; Ep 1 : : : Ep N ; t/ Ep i
m ı3 .Eq i Er /
@n.Er ; t/
@t
C
3X
kD1
@
@x k
n.Er ; t/vk .Er ; t/ D 0
2. Betrachten Sie ein System von N freien Teilchen der Masse m mit der nicht–relativistischen
Energie–Impuls–Beziehung
Berechnen Sie die Zahl der Zustände
˝.E 0 ; V; N / D
im Volumen V bis zur Energie E 0 .
E.f Ep i g/ D 1
2m
V N
h 3N N !
Z
NX
Ep 2 i :
iD1
E.f Ep i g/E 0
d 3 p 1 : : : d 3 p N
Zeigen Sie dazu zunächst, dass eine n–dimensionale Einheitskugel das Volumen n=2 = . n C 2
1/ besitzt. Für nicht–negative ganzzahlige Argumente ist .nC1/ D n! und für beliebige
Argumente gilt die Integraldarstellung
.x/ D
Z 1
0
e t t x
1 dt:
(Hinweis: Berechnen Sie das Integral R 1
1 1dx 2 : : : dx n e x2 1 x2 2 ::: x2 n in sphärischen
und kartesischen Koordinaten.)
13

3. Betrachten Sie N ununterscheidbare harmonische Oszillatoren der Masse m und der Frequenz
!, die nicht miteinander wechselwirken. Zeigen Sie, dass die Zahl der Zustände,
deren Energie kleiner als E 0 ist, durch
gegeben ist.
˝.E 0 ; !; N / D
1
N ! .3N C 1/
3N E0
4. Die Energie eines Spins mit Magnetisierung m im Magnetfeld B beträgt E 1 D ˙mB; je
nach Orientierung des Spins. Betrachten Sie ein Ensemble aus N 1 Spins, die nicht
miteinander wechselwirken.
a) Bestimmen Sie die Zahl der Zustände mit vorgegebener Gesamtenergie E.
b) Bestimmen Sie die Temperaturabhängigkeit des Erwartungswerts der Energie E D
E.T / bei E N mB und E 0. Welchen Temperaturbereichen entsprechen
diese Energiebereiche? Skizzieren Sie E.T /.
c) Zeigen Sie mittels der Stirlingschen Formel, dass
mB
E.T / D N mB tanh :
k B T
d) Skizzieren Sie die spezifische Wärme C B D
!
@E.T /
.
@T
B
14

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 7
1. Leiten Sie aus der kanonischen Verteilung die Beziehung
@U
DH 2 H 2 D .E/ 2
@ˇ
ab, um für die spezifische Wärme c V > 0 zu zeigen.
V
2. Betrachten Sie N Systeme S i mit den Zustandssummen Z i und den freien Energien
F i , i D 1; : : : ; N . Diese Systeme sind in Kontakt, wechselwirken aber nur schwach
miteinander, so dass das Gesamtsystem als Zusammensetzung S D P N
iD1 S i behandelt
werden kann.
a) Zeigen Sie, dass für die Zustandsumme des Gesamtsystems Z S D ˘ N
iD1 Z i gilt.
b) Bestimmen Sie freie Energie des Gesamtsystems, F S .
c) Berechnen Sie die Zustandssumme eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators
mit den Energieniveaus n D ! n C 1 2
. Geben Sie für ein System von
N dieser Oszillatoren die innere Energie und die spezifische Wärme für feste Frequenz
! an.
3. Berechnen Sie den Erwartungswert,H D U und die Unschärfe E aus der Zustandsumme
für das ideale Gas.
Hinweis: Ersetzen Sie ggf. Summen durch gewichtete Integrale. Zum Beispiel
X
f .E r / e ˇE r
!
r
Z 1
0
dE !.E/ f .E/ e ˇE :
Dabei ist !.E/ / E 3N=2 1 die Zustandsdichte des idealen Gases.
q
4. Die Energie–Impuls–Relation lautet für ein ultra–relativistisches Teilchen D c Ep 2 .
Berechnen Sie die (klassische) Zustandssumme für ein System, das aus N nicht miteinander
wechselwirkenden ultra–relativistischen Teilchen besteht. Vergleichen Sie innere
Energie und spezifische Wärme c V mit denen von nicht–relativistischen Teilchen.
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Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 8
1. Eine sehr empfindliche Federwaage (Federkonstante a) besteht aus einer Feder, die an einem
festen Aufhängepunkt angebracht ist. Sie befinde sich an einem Ort der konstanten
Schwerbeschleunigung g im thermischen Gleichgewicht mit ihrer Umgebung (Temperatur
T ). An diese Waage ist ein Objekt der Masse M angebracht.
a) Was ist die resultierende mittlere Auslenkung hxi?
b) Wie groß sind die durch .x/ 2 D h.x hxi/ 2 i charakterisierten thermischen
Schwankungen um die Gleichgewichtslage?
c) Welches ist die kleinste Masse, die mit der Waage noch gemessen werden kann?
2. Ein Kettenmolekül, das eine gerade Linie der Länge L bildet, sei aus N Elementen
aufgebaut. Jedes dieser Elemente kann sich in einem Zustand ˛ oder ˇ befinden. Die
Länge und Energie eines Elements im Zustand ˛ seien a bzw. E a ; entsprechend b und
E b für den Zustand ˇ. Die Zahl der Elemente im Zustand ˛ (ˇ) sei N˛ (Nˇ).
a
b
X
a
β
L
X
a) Geben Sie die Energie E und die Länge L des Kettenmoleküls als Funktionen von
N˛ und Nˇ an. Wie groß ist die Zahl der Zustände mit gleichen N˛ und Nˇ?
b) Durch äußere Kräfte entsteht im Kettenmolekül die Spannung X . Diese liefert den
Energiebeitrag X L. Bestimmen Sie die Zustandssumme Z.T; X; N /.
c) Wie groß ist die mittlere Länge hLi des Kettenmoleküls bei fester, vorgegebener
Spannung X ?
3. Betrachten Sie ein ideales Gas, das aus N zweiatomigen Molekülen mit konstanten elektrischen
Dipolmomenten d E besteht. Die Dipole orientieren sich entsprechend der kanonischen
Verteilung. Zeigen Sie, dass die Polarisierbarkeit durch
P D d N V
Ed
coth
kT
16
kT
Ed

gegeben ist. Dabei ist EE das homogene äußere elektrische Feld und d D j E dj bzw.
E D j EEj bezeichnen die jeweiligen Beträge. Verifizieren Sie weiterhin, dass im Grenzfall
Ed kT die dielektrische Konstante des Gases
D 1 C 4 N V
d 2
3kT
ist. Hinweis: Berechnen Sie den Erwartungswert der potentiellen Energie,
h d E EE i in der kanonischen Gesamtheit.
4. Zeigen Sie, dass für die großkanonische Gesamtheit gilt:
@˝
@˝
p D
; hN i D
; S D
@V
@
T;
T;V
@˝
@T V;
:
Dabei ist das großkanonische Potential ˝ D kT lnZ über die Zustandssumme Z der
großkanonischen Gesamtheit definiert. Verwenden Sie dazu, dass die Entropie, S proportional
ist zum
Erwartungswert des Logarithmus der Verteilungsfunktion. Schreiben
Sie weiterhin
@˝ als Linearkombination von ˝, U D hH i und hN i, um über Koeffizientenvergleich
für das Differential d˝ zu verifizieren, dass T dS D dU C pdV
@T V;
dhN i.
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Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 9
1. Betrachten Sie ein System aus drei Teilchen, die jeweils in einem der beiden Quantenzustände
mit den Energien E D 0 und E D > 0 sein können. Bestimmen Sie die
kanonische Zustandsumme für
a) unterscheidbare Teilchen,
b) Bose–Teilchen,
c) Fermi–Teilchen.
2. Betrachten Sie ein System, dessen Quantenzustände mit den Energien E j (nahezu) entartet
sind. Der jeweilige Entartungsgrad sei j. Ein Zustand des gesamten Systems kann
durch die Besetzungszahlen N j , die die Zahl der Teilchen mit Energie E j angeben, charakterisiert
werden.
Begründen Sie, dass die Zahl der möglichen Makrozustände, die durch einen Satz fN j g
vorgegebener Besetzungszahlen je nach Teilchenstatistik gegeben ist durch
˝.fN j g/ D Y j
˝.fN j g/ D Y j
.N j C j 1/!
N j !. j 1/!
j!
N j !. j N j /!
.Bose Einstein Statistik/ ;
.Fermi Dirac Statistik/ :
Geben Sie die wahrscheinlichste Konfiguration unter den Nebenbedingungen an, dass
mittlere Gesamtenergie und mittlere Teilchenzahl vorgegeben sind. Zeigen Sie, dass die
Besetzungszahlen für die wahrscheinlichste Konfiguration in der Form
n max
j
D
j
eˇ.E j /
˙ 1
geschrieben werden können. Geben Sie die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten
ˇ und an.
Hinweis: Führen Sie geeignete Lagrange–Multiplikatoren ein und bestimmen Sie das
Maximum von ln ˝.
18

3. Es sei g./ eine stetige Funktion, die bei D beliebig oft stetig differenzierbar ist und
die im Intervall j j kT nur langsam variiert, d. h. es ist eine Taylor–Entwicklung
um D möglich. Weiter sei
f ./ D
1
eˇ. / C 1
die Fermi–Verteilungsfunktion. Zeigen Sie, dass für starke Entartung (ˇ 1)
Z 1
Z
g./f ./d D g./d C 2 dg./
ˇ C 74 d 3 g./
C : : : :
6ˇ2 d 360ˇ4 d ˇD
ˇˇˇˇˇD 3
0
0
Dabei ist 0 die kleinste Energie des Systems. Betrachten Sie zunächst ./ mit d./
d
g./ und . 0 / D 0.
Hinweis: Die Integraldarstellung der –Funktion ist
Z 1
x n e x
1 .e x C 1/ dx D 2.1 2 21 n / n! .n/ mit
1X
.n/ D
lD1
l
n ;
.2/ D 2
6
; .4/ D
4
90 :
D
4. Verwenden Sie die Entwicklung aus Aufgabe 3), um für ein entartetes ideales Fermi–Gas
das chemische Potential und die innere Energie U bis zur Ordnung T 4 zu bestimmen.
Berechnen Sie dazu den Erwartungswert einer Größe g als Integral über die Fermi–
Verteilungsfunktion und der Zustandsdichte !./ eines freien Teilchen im Volumen V :
Z
hgi D g./ !./ f./ d :
Drücken Sie V als Funktion der Fermi–Energie, " F aus.
19

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 10
1. Betrachten Sie ein System im Volumen V , das aus n Untersystem mit gleichen Volumina
V =n zusammengesetzt ist. Die Trennwände sollen Teilchen und Wärmeaustausch ermöglichen,
ansonsten bestehe keine Wechselwirkung zwischen den Untersystemen. Das
zusammengesetzte System habe Kontakt mit einer Wärme–Teilchen–Quelle mit vorgegebener
Temperatur T und vorgegebenem chemischen Potential .
a) Zeigen Sie für die großkanonischen Zustandssumme Z die Relation Z.V; T; / D
ŒZ.V =n; T; / n .
b) Verwenden Sie das Ergebnis aus Blatt 8, Aufgabe 4, um die Zustandsgleichung in
der Form pV D kT lnZ zu schreiben.
2. Betrachten Sie ein ideales Quantengas in einem Würfel der Seitenlänge L. Die Randbedingung,
dass die Wellenfunktionen am Rand verschwinden, liefert die diskreten Impulse
p n .L/ der Einteilchenzustände. Bestimmen Sie daraus die Ableitung @p n
wobei V das
@V
Volumen des Würfels ist. Verifizieren Sie für ideale Bose- und Fermigase die Relationen
pV D
(
2
3
Dabei ist U die innere Energie.
U .nicht relativistische Kinematik/
1
U .ultra relativistische Kinematik/ :
3
3. Die Entropie pro Volumeneinheit des drei–dimensionalen idealen Bosegases im Volumen
V bei Temperatur T ist
s D lim
V !1
(
S 5k
V D 5k
g
2 3 5.z/ 2
k n ln.z/ T > T c
.1/ T < T c :
2 3 g 5
2
Dabei sind z D eˇ , g˛.z/ D P 1 z l
lD1
und D p
h
. Weiter bezeichnet n die
l˛
2mkT
mittlere Teilchendichte. Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme
c V . N V ; T / D T @s
ˇ
@T
ˇn
am kritischen Punkt T D T c stetig ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Bedingung, dass n bei der Berechnung von c V fest
ist, um @.ˇ/ ˇ
zu berechnen.
@T
ˇn
20

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 11
1. Das Debye’sche Modell für einen Festkörper aus N Gitteratomen geht davon aus, dass es
3N verschiedene Hauptschwingungen ! i D ck i .i D 1; : : : ; 3N / gibt, deren spektrale
Verteilung durch R 1
!2
0
z.!/d! D 1 mit z.!/ D 3 und z.!/ D 0 für ! !
! D
3 D bzw.
! < ! D gegeben ist. Daraus folgt
! D D k D D c
6 2 N 1
3
:
V
Berechnen Sie die spezifische Wärme des Debye’schen Festkörpers für die Grenzfälle
T D und T D . Berechnen Sie außerdem die mittlere Phononenzahl N ph aus
N ph D 3N
Hinweis: Für die Debye Funktion
Z 1
0
d!z.!/n.!/ :
gilt:
(
1
D.x/ D
D.x/ D 3 x 3 Z x
0
dt
t 3
e t 1
3
x C 1
8 20 x2 C : : : x 1
4
5x 3 C O.e x / x 1 :
2. Der Energiefluss der Sonne im erdnahen Weltraum für die mittlere Entfernung Erde–
Sonne von a D 1:5 10 8 km ist durch die Solarkonstante I 0 D 1:37kW=m 2 gegeben.
Berechnen Sie unter Voraussetzung der Planck’schen Strahlungformel
a) die Temperatur der Sonne
b) das Maximum der Strahlungsverteilung .
3. Berechnen Sie die mittlere Zahl von Photonen in einem Strahlungshohlraum mit dem
Volumen V bei gegebener Temperatur T .
21

4. Betrachten Sie ein dispersives Material, dessen Brechungsindex n von der Frequenz !
abhängt; d.h. die Wellenzahl ist durch k D n.!/!=c gegeben. Zeigen Sie, dass in diesem
Fall die Planck’sche Strahlungsformel durch den Faktor
modifiziert wird.
n 3 .!/
d ln Œn.!/!
d ln!
22

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
Blatt 12
1. In der Virialentwicklung
p
kT D X i
B i .T /
N
V
! i
für eine mikroskopische Zwei–Teilchen–Wechselwirkung u ij D u.jEr i
Virialkoeffizienten B i .T / über Cluster–Integrale der Form
Z
d 3 r 1 d 3 r 2 : : : f 12 f 23 : : :
Er j j/ werden die
berechnet. Dabei ist f ij D exp. u ij =kT / 1.
a) Bestimmen Sie (graphisch) alle Cluster–Integrale mit bis zu vier Teilchen.
b) Verifizieren Sie, dass zu B 4 .T / nur die doppelt–verbundenen (irreduziblen) Vier–
Teilchen Cluster–Integrale beitragen.
Literaturhinweis: L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, S 355ff.
2. Betrachten Sie ein Gas dessen Moleküle eine Zwei–Teichen–Wechselwirkung gemäß
dem Potential u.r/ D ˛=r n , .n > 0/ durchführen. Dabei ist r der Abstand zweier
Moleküle. Berechnen Sie den zweiten Virialkoeffizienten und diskutieren Sie den Joule–
Thomson Prozess.
3. Ein einfaches Modell zur Beschreibung des Phasenübergangs zwischen Ferro– und Paramagneten
einspricht einem Spin–Gitter mit nächster Nachbarwechselwirkung. Der
Hamiltonoperator lautet H D J P hiji i j ; (J > 0). Die Summe läuft über alle Paare
benachbarter Spins. Die Spins nehmen die Werte i D ˙1 an (i D 1; : : : ; N ). Betrachten
Sie einen Repräsentanten, x , der nur mit dem mittleren Feld M D h i i, das durch
die übrigen Spins (x ¤ i) erzeugt wird, wechselwirkt (mean field (MF) Näherung). Die
Zahl der nächsten Nachbarn eines Spins im Spin–Gitter sei n.
a) Begründen Sie, dass in MF–Näherung die Zustandssumme gegeben ist durch
0
Z MF D @ X
1N
exp ŒˇJM n x A
:
x D˙1
b) Leiten Sie aus M D h x i die Selbstkonsistenzbedingung M D tanh.ˇJM n/
für die Magnetisierung M ab. Geben Sie die Bedingung dafür an, dass es neben
M D 0 eine weitere Lösung gibt. Vergleichen Sie die zugehörigen freien Energien.
23

c) Die Koheränzlänge wird definiert über die Korrelationsfunktion
ji jj
h i j i / exp :
Zeigen Sie, dass ! 1 falls ˇ ! ˇc D 1=Jn. (Betrachten Sie j als nächsten
Nachbarn von i und bestimmen Sie die Korrelationsfunktion aus @ ln Z MF =@ˇ.)
d) In der Nähe des Phasenübergangs verhält sich die Magnetisierung wie M M 0 .1
ˇc=ˇ/ ı . Bestimmen Sie M 0 und den kritischen Exponenten ı aus der Selbstkonsistenzbedingung.
24

1. Klausur zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
1. Bestimmen Sie die Temperaturänderung, dT .z/=dz, für ein Teilvolumen V , das in der
Atmosphäre (ideales Gas) adiabatisch aufsteigt (konstantes Schwerefeld der Stärke g),
als Funktion der Höhe z. Bestimmen Sie dazu aus dem Kräftegleichgewicht die Druckänderung
dp.z/=dz.
(6 Punkte)
2. Die freie Enthalpie (thermodynamisches Potential) eines Gases sei
a
G.T; p/ D nRT ln.p/ C np b C f .T /
RT
mit beliebigen Konstanten a und b. Weiter ist f eine differenzierbare Funktion, die nur
von der Temperatur, T nicht aber vom Druck p abhängt.
a) Berechnen Sie die Entropie S.T; p/.
b) Wie lautet die Zustandsgleichung p D p.V; T /?
c) Berechnen Sie die Enthalpie H.T; p/.
(Hinweis: Das vollständige Differential lautet dG D
SdT C Vdp.)
(5 Punkte)
3. Gegeben sei die Zustandsgleichung für Druck, p, Volumen, V und Temperatur T in der
Form p D p.V; T / und die innere Energie U D U.V; T /. Zeigen Sie, dass die beiden
Gleichungen
@U
@p
T
D
T
@V
@T
p
p
@V
@p
T
und
@U
@V
T
D T 2 @
@T
p
T
V
äquivalent sind.
(4 Punkte)
4. Betrachten Sie ein Material, das die van–der–Waal’sche Zustandsgleichung
erfüllt.
p.V; T / D RT
V b
a
V 2
25

a) Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme c V nicht vom Volumen abhängt.
b) Verifizieren Sie, dass sich die innere Energie in der Form
U.V; T / D R c V .T /dT C f .V / schreiben lässt und bestimmen Sie f .V /.
c) Berechnen Sie die Differenz der Wärmekapazitäten c p c V .
(7 Punkte)
5. Der idealisierte Ottomotor wird thermodynamisch
durch nebenstehenden
Kreisprozess beschrieben. Dabei laufen
die Prozesse A ! B sowie C ! D
adiabatisch und D ! A sowie B ! C
isochor ab. Der Motor werde mit einem
idealen Gas betrieben.
P
D
A
B
C
V
a) Bestimmen Sie für jeden Teilschritt die zu– bzw. abgeführte Wärmemengen.
b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad (geleistete Arbeit dividiert durch zugeführte Wärme)
des idealisierten Ottomotors, O in Abhängigkeit von den Temperaturen an den
Punkten A; B; C und D.
c) Welche maximale und minimale Temperaturen werden von diesem System erreicht
(T max bzw. T min )?
d) Vergleichen Sie den Wirkungsgrad O mit dem eines Carnot-Prozesses, der zwischen
T min und T max betrieben wird.
(8 Punkte)
26

2. Klausur zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
1. Gegeben sei ein klassisches ideales Gas mit N Teilchen im Gleichgewicht bei der Temperatur
T , das sich in einem Behälter mit dem Volumen V (Grundfläche F, Höhe h) im
homogenen Gravitationsfeld g befindet.
a) Geben Sie die Verteilungsfunktion
N .Er 1 ; : : : Er N ; Ep 1 ; : : : Ep N / im Phasenraum
an.
b) Bestimmen Sie aus a) die Einteilchendichte
n.z/ als Funktion der Höhe z.
g
c) Verifizieren Sie, dass R 1
dzn.z/ D N . 0
z
T,V
(5 Punkte)
2. Betrachten Sie ein System aus zwei Teilchen, die jeweils in einem der drei Quantenzustände
mit den Energien e D 0, e D 2 > 0 und e D 3 > 0 sein können. Bestimmen
Sie die kanonische Zustandssumme für
a) unterscheidbare Teilchen
b) Bose–Teilchen
c) Fermi–Teilchen (ohne Spin)
(4 Punkte)
3. Gegeben sei das Zwei–Teilchen Potential
8
1 r R
ˆ< 3
r
u.r/ D u 0
1
r 0
R < r 2R
ˆ:
0 r > 2R :
Dabei ist r der Abstand der beiden Teilchen. Weiter sind u 0 und R vorgegebene Konstanten.
Bestimmen Sie die Konstante r 0 derart, dass das Potential bei r D 2R stetig
ist. Berechnen Sie den Virialkoeffizienten bis zur linearen Ordnung in u 0 . Geben Sie den
zugehörigen Joule–Thomson Koeffizienten
JT D 1 @V
T V
c p @T P
27

als Funktion der Temperatur T , der Wärmekapazität bei festgehaltenem Druck c p , der
Teilchzahl N sowie den Parametern u 0 , R an.
(6 Punkte)
4. Ein ein–dimensionales Spin–Gitter aus N Gitterpunkten mit periodischen Randbedingungen
(Gitterpunkt ’1’ Gitterpunkt ’N C 1’) wird durch die Zustandssumme
Z N .ˇ/ D X
1 D˙1
: : :
X
N D˙1
exp
mit konstantem J > 0 und ˇ D 1=kT beschrieben.
a) Berechnen Sie explizit Z 1 , Z 2 und Z 3 .
"
Jˇ
#
NX
i iC1
iD1
b) Begründen Sie, dass Z N D 2 N cosh N .Jˇ/ C sinh N .Jˇ/ .
c) Was ergibt sich für T ¤ 0 und N 1?
d) Berechnen Sie die spezifische Wärme für die Bedingungen aus c).
Hinweis: Für beliebiges reelles ˛ gilt: e˛ i j
D cosh.˛/ C i j sinh.˛/.
(9 Punkte)
5. Die Zustandsdichte von Fermionen als Funktion der Einteilchenenergie sei
(
! 0 für 0
!./ D
0 für < 0 ;
wobei ! 0 konstant ist. Die mittlere Gesamtzahl der Fermionen sei hN i.
a) Berechnen Sie das chemische Potential bei T D 0.
b) Geben Sie eine Bedingung dafür an, dass das System nicht entartet ist.
c) Geben Sie die Beziehung zwischen mittlerer Teilchenzahl und chemischen Potential
für den Fall starker Entartung an.
d) Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme proportional zur Temperatur ist, wenn das
System stark entartet ist.
Hinweis: Spalten Sie ggf. Integrale in Intervalle Œ0; und Œ; 1 auf und verwenden
Sie, dass 1 1=.1 C e x / D 1=.1 C e x /.
(6 Punkte)
28

Nachklausur zur
Theoretischen Physik IV - SS 05
1. Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator (Masse m, Frequenz
!). Berechnen Sie die Zahl aller Zustände, deren Energie E kleiner oder gleich der
vorgegebenen Energie E 0 ist,
a) klassisch (die Volumeneinheit im Phasenraum sei 2)
b) quantenmechanisch
Wie lauten die zugehörigen mikrokanonischen Verteilungsfunktionen für E D E 0 ?
(7 Punkte)
2. Ein Zylinder mit Radius R und Länge l beinhalte N wechselwirkungsfreie Teilchen und
rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! um seine Symmetrieachse. Die Hamiltonfunktion
im rotierenden System lautet H D H !L, wobei H die Hamiltonfunktion
im Ruhesystem und L die Projektion des Drehimpulses auf die Rotationsachse ist.
a) Berechnen Sie aus H die kanonische Zustandssumme klassisch.
b) Geben Sie die Teilchendichte als Funktion des Abstands von der Rotationsachse
an.
Hinweis: R 1
1 dp e p2 Cxp D p e x2 =4 .
(10 Punkte)
3. Die N zweiatomigen Moleküle eines Gases haben das leicht anharmonische Vibrationsspektrum
"
n D ! n C 1
ı n C 1 # 2
; ı 1 :
2 2
a) Zeigen Sie, dass der Beitrag der Vibration zur freien Energie durch (˛ D !=2kT )
1
1
F vib D kTN ln 1 C ı ˛
2sinh˛ 2 C 1
sinh 2˛
gegeben ist, wenn die kanonische Zustandssumme bis zur linearen Ordnung in ı
aufsummiert wird.
b) Geben Sie den Korrekturterm der linearen Ordnung in ı zur inneren Energie an und
bestimmen Sie dessen Anteil an der spezifischen Wärme. Betrachten Sie speziell
tiefe Temperaturen.
(10 Punkte)
29

z
Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 1
1. Sei z f .x; y/ partiell differenzierbar. Zeigen Sie, dass
1
@x @y
@x @y
D
und
@y @x
@y @z
z
z
x
@z
D 1
@x y
gilt. Dabei bezeichnet der Index diejenige Größe, die bei der betrachteten Differenziation
konstant bleibt.
2. Sei dZ D f .X; Y /dX Cg.X; Y /dY ein beliebiges Differenzial. Die Funktionen f und
g seien reell und stetig partiell differenzierbar.
a) Es sei C ein beliebiger geschlossener Weg in der X Y Ebene. Zeigen Sie, dass
aus H dZ D 0 folgt, dass das Differenzial vollständig ist.
C
b) Das Differenzial dZ sei vollständig. Berechnen Sie H dZ. C
c) Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen
@f .X; Y /
@Y
erfüllen, falls das Differenzial vollständig ist.
D @g.X; Y /
@X
3. Verifizieren Sie, dass die beiden Differenziale
a) .3x 2 y C 2y 2 /dx C .x 3 C 4xy/dy
b) e xCy3
.1 C x/ dx C 3xy 2 dy
vollständig sind. Geben Sie jeweils ein zugehöriges Potential an.
4. Es sei du D f 1 .x; y/dx C f 2 .x; y/dy ein unvollständiges Differenzial. D. h. es gibt
keine Funktion u.x; y/ mit @u D f @x 1.x; y/ und @u D f @y 2.x; y/. Der integrierende Faktor,
g.x; y/ führt auf ein vollständiges Differenzial dv D gdu.
a) Leiten Sie aus der Gleichung (2c) eine partielle Differenzialgleichung für g.x; y/
ab.
b) Es sei g.x; y/ D cx a y b , mit a; b; c 2 R, ein Ansatz für den integrierenden Faktor
für das unvollständige Differenzial du D ydx x 2 dy. Leiten Sie aus Teilaufgabe a)
Bedingungen für die Konstanten a und b ab und geben Sie das zugehörige Potenzial
v.x; y/ an.
30

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 2
1. Betrachten Sie ein ideales Gas mit der Zustandsgleichung in der Form
PV D nRT .
Berechnen Sie den isobaren Ausdehnungskoeffizienten ˛p D 1 @V
, den isochoren
Spannungskoeffizienten ˇV D 1 @P
und die isotherme Kompressibilität P @T V T D
V @T P
1 @V
. Schreiben Sie die jeweiligen Ergebnisse als Funktionen der Zustandsvariablen
P, V und T . Verifizieren Sie weiterhin, dass für ein beliebiges Gas die Relation
V @P T
˛P D P T ˇV gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Identitäten aus Blatt 1, Aufgabe 1.
2. Ein Gas genüge der van der Waals Zustandsgleichung
P C a v 2
.v b/ D RT :
Dabei sind a und b Materialkonstanten und v D V das Molvolumen. Bestimmen Sie die
n
temperaturabhängigen Virialkoeffizienten B.T / und C.T / in der Entwicklung
Pv D RT 1 C B.T / C C.T /
C : : : :
v v 2
Skizzieren Sie B.T / als Funktion der Tempertur T .
3. Betrachten Sie ein Gas mit der Zustandsgleichung P.v b/ D RT . Für die Materialkonstante
gelte 0 < b < v bei allen für die Prozessführung relevanten Volumina V .
a) Wie groß ist die Arbeit, die ein Mol Gas bei der isothermen Expansion vom Anfangsvolumen
v i zum Endvolumen v f leistet?
b) Ist die Arbeit, die ein ideales Gas unter den Bedingungen aus a) leistet größer oder
kleiner?
4. Betrachten Sie ein ideales Gas, das die beiden
in der Abbildung dargestellten Kreisprozesse
C 1 D .1231/ und C 2 D .4564/ durchläuft.
Dabei sind T a und T b die Temperaturen
entlang der entsprechenden Isothermen. Zeigen
Sie, dass H C 1
PdV D H C 2
PdV . Was folgt für
die verbrauchten Wärmemengen?
P
1
2
3 4
6
5
T b
Ta
V
31

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 3
1. Zeigen Sie, dass die über die Zustandsgleichung des idealen Gases (PV D nRg.#/)
definierte Temperaturskala g.#/ identisch mit der Kelvin–Temperatur T ist. Schreiben
Sie dazu den Wirkungsgrad einer mit einem idealen Gas betriebenen Carnot–Maschine
als Funktion von g.#/.
2. Die unabhängigen Variablen, die ein System beschreiben, seien das Volumen V und die
Temperatur T . Diesem System wird die Wärmemenge ıQ zugeführt, wobei sich die
Temperatur um ıT ändert, aber die Zustandsgröße X.V; T / unverändert bleibt. Zeigen
Sie, dass die spezifische Wärme durch
C X D
ıQ
ıT
X
D
@E
@T
V
C
@E
@V T
@V
C P
@T X
gegeben ist. Dabei sind E und P die innere Energie und der Druck. Verifizieren Sie
damit C P D C V C nR für ein ideales Gas.
3. Bestimmen Sie aus der Konsistenzbedingung
@E @P
D T
@V @T
T
V
P
a) die allgemeine Form der Zustandsgleichung P D f .V; T / für ein Material mit
@E
D 0
@V
b) die allgemeine Form der inneren Energie E D e.T /V eines Materials mit der
Zustandsgleichung P D 1 e.T / (d. h. e hängt nur von T ab.)
3
Dabei bezeichnen E, V , T und P, die innere Energie, das Volumen, die Temperatur und
den Druck.
T
4. Der idealisierte Ottomotor wird thermodynamisch
durch nebenstehenden
Kreisprozess beschrieben. Dabei laufen
die Prozesse A ! B sowie C ! D
adiabatisch und D ! A sowie B ! C
isochor ab. Der Motor werde mit einem
idealen Gas betrieben.
P
D
A
B
C
V
32

a) Bestimmen Sie für jeden Teilschritt die zu– bzw. abgeführten Wärmemengen.
b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad (geleistete Arbeit dividiert durch zugeführte Wärme)
des idealisierten Ottomotors, O in Abhängigkeit von den Temperaturen an den
Punkten A; B; C und D.
c) Welche maximale und minimale Temperaturen werden von diesem System erreicht
(T max bzw. T min )?
d) Vergleichen Sie den Wirkungsgrad O mit dem eines Carnot-Prozesses, der zwischen
T min und T max betrieben wird.
33

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 4
1. Betrachten Sie ein ideales Gas mit der Zustandsgleichung PV D nRT und der spezifischen
Wärme C V D 3 nR. Berechnen Sie
2
a) die Entropie S D S.T; V /,
b) die innere Energie E D E.S; V /,
c) die Enthalpie H D H.S; P/,
d) die freie Energie F D F.T; V /,
e) die freie Enthalpie G D G.T; P/.
Schreiben Sie dazu die Potenziale als Funktionen der zugehörigen Variablen.
2. Gehen Sie von den Differenzialen für die Enthalpie, dH D T dS C VdP, und der freien
Enthalpie, dG D SdT C VdP, aus. Zeigen Sie,
@S
a) D
@V
@P T @T P
@H
b) D T
@V C V
@P T @T P
c) D T
@C P
@P
T
@ 2 V
@T 2 P
Dabei ist C P die spezifische Wärme bei konstantem Druck. Berechnen Sie @2 S
@ 2 S
@T @P aus dS D 1 T .dH
VdP/, um die Relation in b) ohne a) herzuleiten.
@P@T und
3. Von einem Gas seien die thermodynamische Zustandsgleichung in der Form P D P.T; V /
und die spezifische Wärme bei konstantem Volumen (C V .T; V 0 /) als Funktion der Temperatur
(T ) bei einem fest vorgegebenen Volumen V 0 bekannt.
a) Zeigen Sie, dass damit die funktionale Abhängigkeit C V .T; V / eindeutig bestimmt
ist.
(Hinweis: Finden Sie eine zu 2c) analoge Beziehung für C V .)
b) Ist damit das thermodynamische System vollständig charakterisiert?
34

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 5
1. Bestimmen Sie die adiabatische Kompressibilität und die Schallgeschwindigkeit eines
idealen Gases:
S D
1
s @P
@V
; c S D
V @P S
@% S
Dabei ist % die Massendichte des Gases. Schätzen Sie c S für Luft ( c P =c V 1:4)
unter Normalbedingungen für Temperatur und Druck numerisch ab.
2. Betrachten Sie ein van–der–Waals Gas mit der Zustandsgleichung,
P C a v 2
.v b/ D RT
wobei v D V =n das molare Volumen ist. Verifizieren Sie folgende Resultate für die
entsprechenden thermodynamischen Größen
a) innere Energie: E D na
v C f 1.T /,
b) spezifische Wärme: C V D f 2 .T /,
c) Entropie: S D nR ln.v b/ C f 3 .T /,
d) chemisches Potenzial: D Pv RT ln.v b/
a
v C f 4.T /,
wobei die Funktionen f i .T / nur von der Temperatur abhängen. Geben Sie Relationen
für die Ableitungen df i.T /
an.
dT
3. Es seien c i D n i =.n 1 Cn 2 / für i D 1; 2 die Konzentrationen in einem zwei–komponentigen
Gasgemisch. Das chemische Potenzial der einen Komponente sei
1 D 1 .T; P/ C RT ln.c 1/ :
Zeigen Sie, dass das chemische Potenzial der zweiten Komponente dann durch
2 D 2 .T; P/ C RT ln.c 2/ :
gegeben ist. D.h. die Funktionen i
sind unabhängig von c i .
35

4. Betrachten Sie ein Gas aus Molekülen, die drei Energiezustände annehmen können als
eine Mischung von drei idealen Gasen (i D 0; 1; 2). Die zugehörige freie Enthalpie läßt
sich in der Form G D P 2
iD0 n i Œk i .T / RT ln.n=n i / schreiben. Dabei seien die Werte
von k i .T / vorgegeben. Leiten Sie Gleichgewichtsbedingungen für die Verhältnisse
n 1 =n 0 und n 2 =n 0 her.
Hinweis: Bestimmen Sie das Extremum von G unter den erlaubten Variationen der n i :
ın 0 C ın 1 C ın 2 D 0.
5. Der Druck eines Schlittschuhs auf dem Eis erzeugt eine Gefrierpunkterniedrigung. Reicht
dieser Effekt aus, um einen Wasserfilm zu erzeugen, auf dem der Schlittschuh gleitet?
Der Eisläufer hat die Masse 80 kg, und seine Schlittschuhe liegen jeweils auf einer Länge
10 cm und einer Breite 4 mm auf. Berechnen Sie damit die Gefrierpunkterniedrigung,
die sich aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung ergibt. Vernachlässigen Sie zur Vereinfachung
die Temperatur und Druckabhängigkeiten der Schmelzwärme sowie der molaren
Volumina von Wasser und Eis.
36

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 6
1. Bestimmen Sie den thermischen Expansionskoeffizienten
˛d D 1 @vd
v d @T
für ein Gas, das mit seiner flüssigen Phase koexistiert. Dabei ist v d .T; P/ das Molvolumen
des Gases, das in diesem Zusammenhang auch Dampf (Index d) genannt wird. Der
Dampf wird als ideales Gas behandelt. Das Molvolumen der Flüssigkeit kann gegenüber
dem des Gases vernachlässigt werden.
koex
2. Betrachten Sie ein Gas, das durch die Dieterici–Zustandsgleichung
˛
P.v ˇ/ exp D RT
vRT
beschrieben wird. Bestimmen Sie die kritischen Größen T C , P C und v C als Funktionen
der Konstanten ˛, ˇ und R. Schreiben Sie die Dieterici–Zustandsgleichung in den dimensionslosen
Variablen v D v=v C , P D P=P C und T D T =T C . Skizzieren Sie
einige Isothermen im P v Diagramm.
3. Ein ideales Spin–System besteht aus N unabhängigen Spin–1=2 Teilchen (z.B. Elektronen)
mit dem magnetischen Moment B . Die Spins stellen sich in einem homogenen
Magnetfeld der Stärke B ein. Die freie Energie sei aus der statistischen Mechanik bekannt:
F.T; B/ D N k B T ln 2cosh
BB
:
k B T
Berechnen Sie die Magnetisierung M und die Entropie S. Betrachten Sie die Grenzfälle
T ! 0 und T ! 1.
Anfangs sei die Temperatur des Systems gleich T a und das Feld gleich B a . Anschließend
wird das Feld im thermisch isolierten System langsam abgeschaltet; wegen der internen
Wechselwirkung der Spins bleibt faktisch ein schwaches Feld B b bestehen. Welche Temperatur
T b stellt sich dann ein? Skizzieren Sie die Entropie als Funktion der Temperatur
für zwei verschiedene Werte (B a und B b ) des Magnetfelds.
37

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 7
1. Die Funktion f .E/ D E N mit N D O.10 24 / soll um E D E 0 in eine Taylor–Reihe
entwickelt werden. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Term 1.–Ordnung
klein gegenüber dem Term 0.–Ordnung ist? Wie lautet die analoge Bedingung für die
Entwicklung von lnf .E/?
2. Gegeben sei die Verteilungsfunktion
für x 0.
P N .x/ D 1 N ! xN e x
a) Überprüfen Sie R 1
0 dxP N .x/ D 1.
b) Berechnen Sie hxi, hx 2 i und x. Zeigen Sie, dass die Verteilung im Grenzfall
N ! 1 scharf wird, d.h. lim N !1 x=hxi D 0.
c) Entwickeln Sie den Logarithmus der Verteilungsfunktion, lnP N .x/ um den Mittelwert,
hxi, d.h. in y D x hxi. Der relevante Bereich einer scharfen Verteilung (in
dem diese signifikant von Null verschieden ist) wird durch die Breite charakterisiert:
jx hxij x. Zeigen Sie, dass für N ! 1 im relevanten Bereich nur die
Beiträge der Ordnungen y 0 und y 2 in der Taylor–Reihe von Null verschieden sind.
Damit wird P N .x/ zu einer Normalverteilung.
d) Subsitutieren Sie im Vergleich mit einer Normalverteilung ( D p x 2 )
lnP N .y/ D 1 2 ln 2 2 y 2
die Ergebnisse aus b) und c), um die Stirlingsche Formel
2 2
N ! p N
2N
e
N
zu begründen.
3. Betrachten Sie die Binomialverteilung
P N .n/ D
N !
.N n/!n! pn q N n
im Grenzfall N ! 1 bei festem p und q D 1 p.
38

a) Entwickeln Sie den Logarithmus der Binomialverteilung lnP N .n/ um den Mittelwert
hni D Np bis zur quadratischen Ordnung in D n hni. Setzen Sie dazu
n D Np C und N n D N q C und verwenden Sie die Stirlingsche Formel
aus Aufgabe 2.
b) Untersuchen Sie den relevanten Bereich der Verteilung in (vgl. Aufgabe 2c)).
Warum verschindet für N ! 1 dort der lineare Term in der quadratische aber
nicht? Wie lautet demnach die Verteilungsfunktion in diesem Grenzfall (Normalverteilung)?
Wie ist diese Verteilungsfunktion normiert?
4. Betrachten Sie eine n–dimensionale Kugel mit dem Radius R. Das infinitesimale Volumenelement
lässt sich in Kugelkoordinaten schreiben als d n x
q
D dx 1 dx 2 : : : dx n D
d˝nr n 1 dr. Dabei ist d˝n das Raumwinkelelement und r D x 2 1 C : : : C x2 n der radiale
Abstand vom Zentrum.
a) Zeigen Sie für das Raumwinkelintegral
Z
d˝n D
nn=2
. n 2 C 1/ :
Für nicht–negative ganzzahlige Argumente ist
Argumente gilt die Integraldarstellung
.n C 1/ D n! und für beliebige
.x/ D
Z 1
0
e t t x 1 dt :
Hinweis: Berechnen Sie R 1
1 d n x e x2 1 x2 2 ::: x2 n in sphärischen und kartesischen
Koordinaten.
b) Berechnen Sie das Volumen der n–dimensionalen Kugel: V n D R rR d n x.
5. Verifizieren Sie für die Mittelwerte der Maxwell–Verteilung, dass
hvi D
r
8
k B T
m
und
hv 2 i D 3k BT
m :
Betrachten Sie Luft bei Zimmertemperatur und vergleichen Sie die Werte hvi und p hv 2 i
mit der Position des Maximums v max der Maxwell–Verteilung.
39

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 8
1. Die Energieeigenwerte eines harmonischen Oszillators der Kreisfrequenz ! lauten n D
n C 1 2
!. Betrachten Sie nun ein System aus N unabhängigen Oszillatoren. Der Mikrozustand
des Gesamtsystems ist dann durch den Satz von Quantenzahlen r D .n 1 ; n 2 ; : : : ; n N /
festgelegt.
a) Zeigen Sie, dass für die Anzahl der Mikrozustände ˚.E/ mit E r E bei vorgegebenem
E
NX
E N
n M D int
! 2
D0
gilt (hier bezeichnet “int” den ganzzahligen Anteil). Berechnen Sie ˚.E/ für N
1 und M 1. Verifizieren Sie für die mikrokanonische Zustandssumme, dass
˝.E/ D ˚.E/ ˚.E E/ ˚.E/ falls E !.
Hinweis: Überzeugen Sie sich zunächst, dass es zu einem festem m D P N
D0 n
W m D .N 1Cm/!
Mikrozustände gibt. Verwenden Sie weiter die Identi-
.N 1/!m!
und die Strilingsche Formel.
tät P M
mD0
.N 1Cm/!
.N 1/!m!
D
.N CM/!
N !M!
b Berechnen Sie die Entropie S.E/ und die kalorische Zustandsgleichung E D
E.T /.
c) Berechnen Sie die Wärmekapazität C.T / D dE.T /
dT .
2. Für ein System aus N identischen nichtwechselwirkenden Teilchen gilt (ggf. abgesehen
von einem Faktor 1=N !): Z D z N . Dabei ist z die kanonische Zustandssumme des
Teilsystems.
a) Wie lautet die freie Energie und die kalorische Zustandsgleichung für das Gesamtsystem?
b) Das Gesamtsystem besteht aus N unabhängigen Spin– 1 Teilchen mit dem magnetischen
Moment B . Wird ein homogenes Magnetfeld der Stärke B eingeschaltet,
2
ändert sich die Einteilchenenergie um ˙ B B, je nach Spinorientierung. Berechnen
Sie den magnetfeldabhängigen Teil der freien Energie des Gesamtsystems.
d) Das Gesamtsystem bestehe aus N unabhängigen quantenmechanischen harmonischen
Oszillatoren mit den Energieniveaus n D ! n C 1 2
. Summieren Sie zunächst
die Zustandsumme eines Oszillators als geometrische Reihe auf. Berechnen
Sie daraus die freie Energie und die kalorische Zustandsgleichung für das Gesamtsystem.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 1b).
40

3. Die kanonische Zustandssumme eines einatomigen idealen Gases mit N Teilchen im
Volumen V ist
s
Z.T; V; N / D 1 V N
2
mit D
2
N ! 3N mk B T :
a) Berechnen Sie die freie Energie mit Hilfe der Stirlingschen Formel.
b) Betrachen Sie das System als zusammengesetzt aus zwei gleichen Teilsystemen
mit den Teilchenzahlen N=2 und Volumina V =2. Berechnen Sie die freie Energie
dieses zusammengesetzten Systems.
c) Wiederholen Sie die Rechnungen aus a) und b) für die (falsche) Zustandssumme
Z .T; V; N / D V N
(Gibbs–Paradoxon).
3N
41

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 9
1. Ein beliebiger Makrozustand wird durch die Wahrscheinlichkeiten fP r g der möglichen
Mikrozustände beschrieben und hat die Entropie S.P r / D k B
Pr P r ln.P r /. Zeigen
Sie, dass diese Definition für die mikrokanonische Gesamtheit mit S D k B ln˝ übereinstimmt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten des kanonischen Makrozustands aus
der Forderung
S.P r /
k B
1
X
r
P r
X
2 P r E r ! maximal :
Dabei sind 1 und 2 Lagrange–Multiplikatoren, die die Nebenbedingungen
X
X
P r D 1 und P r E r D E
r
erzwingen. Der Lagrange–Multiplikator
1 geht in die Normierung ein. Bestimmen Sie
den Lagrange–Multiplikator 2 aus
@S D 1 .
@E V;N T
2. Stellen Sie, ausgehend von der kanonischen Zustandssumme für das einatomige ideale
Gas Z.T; V; N / D .V = 3 / N mit D 2= p 2mk B T , die großkanonische Zustandssumme
Y.T; V; / auf. Leiten Sie daraus die kalorische und die thermische Zustandsgleichungen
ab.
r
r
3. Die Energien der Vibrationszustände eines zweiatomigen Moleküls enthalten anharmonische
Korrekturen, die durch die Konstante ı 1 parameterisiert werden:
"
n D ! n C 1
ı n C 1 # 2
:
2 2
Berechnen Sie den Vibrationsanteil der kanonischen Zustandssumme bis zur linearen
Ordnung in ı und geben Sie die entsprechende Wärmekapazität an. Betrachten Sie die
Spezialfälle k B T ! und k B T !.
Hinweis: Bringen Sie die gesuchten Beiträge der Zustandsumme in die Form
"
X
1 C ıx n C 1 # 2 X
e x.nC 2/ 1 D 1 C ıx @2
e x.nC 2/
1
2
@x 2 n
n
mit x D ˇ!, um die letzte Summe als geometrische Reihe zu behandeln.
42

4. Summen über ganzzahlige Variable () können mittels der Eulerschen Summenformel
nX
f ./ D
D1
Z n
1
dxf .x/ C 1 2 Œf .1/ C f .n/ C X mD1
B
h
i
2m
f .2m 1/ .n/ f .2m 1/ .1/
.2m/!
in Integrationen überführt werden. Dabei bezeichnet f .m/ die m–te Ableitung der Funktion
f .x/ und B 2m sind die bekannten Bernullizahlen
B 2 D 1 6 ; B 4 D 1
30 ; B 6 D 1 42 ; : : : :
a) Verwenden Sie die Eulersche Summenformel für lnN ! D P N
nD1
lnn, um zu zeigen,
dass für große N
N ! D c p N N
N
e
gilt. Dabei ist c eine von N unabhängige Konstante.
(Der Wert c D p 2 in der Stirlingschen Näherung ergibt sich in der Eulerschen
Summenformel aus den Beiträgen von f .m/ .1/, vgl. Königsberg, Analysis I, S.
227.)
b) Für ein zweiatomiges Molekül ist der Rotationsanteil für die kanonische Zustandssumme
durch
1X
z rot D .2` C 1/e 2ˇ
2I `.`C1/
`D0
gegeben. Dabei ist ˇ D 1=k B T und I das Trägheitsmoment des Moleküls (Hantel).
Überzeugen Sie sich, dass die Eulersche Summenformel eine Hochtemperaturentwicklung
für z rot ermöglicht und zeigen Sie, dass
z rot D k BT
2 =2I C 1 3 C 2 =2I
15k B T C : : : :
Berechnen Sie die zugehörige spezifische Wärme.
43

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 10
1. Betrachten Sie ein ideales Gas, das aus N Molekülen mit konstanten elektrischen Dipolmomenten
j Edj besteht. Die Dipole mit der potentiellen Energie Ed EE D dEcos
orientieren sich im homogenen elektrischen Feld EE entsprechend der kanonischen Verteilung.
Berechnen Sie die freie Energie F.T; E; N / mit E D j EE j. Ignorieren Sie dabei
die Translationsbewegung der Moleküle. Zeigen Sie damit, dass die Polarisierung durch
P D Nd
coth
Ed
k B T
kB T
Ed
gegeben ist. Geben Sie weiterhin die dielektrische Konstante des Gases
im Grenzfall Ed k B T an.
D 1 C 4P
V
2. Ein realistischer Ansatz für die Wechselwirkung zwischen zwei Atomen ist das Lennard–
Jones Potenzial
12
6
W.r/ D 4W 0 :
r r
Der attraktive 1=r 6 Beitrag entspricht der induzierten Dipol–Dipol Wechselwirkung und
der 1=r 12 Anteil ist eine phänomenologische Parametersierung der starken Repulsion bei
kleinen Abständen. Für 4 He sind W 0 D 10:2k B K und D 3:61 10 10 m realistische
Werte.
Skizzieren Sie das Potenzial und geben Sie die Extremalwerte an. Berechnen Sie den
Viralkoeffizienten B.T / unter der Näherung, dass ˇW 1 im attraktiven Bereich und
exp. ˇW / D 0 für r . Bestimmen Sie die Konstanten a und b in der van der Waals
Zustandsgleichung.
3. Drei Teilchen befinden sich in zwei Niveaus (Energieeigenwerte 0 D 0 und 1 D >
0). Berechnen Sie die Zustandssumme für die Fälle, dass
a) die Teilchen unterscheidbar sind
b) es sich um Bosonen mit Spin S D 0 handelt
c) es sich um Fermionen mit Spin S D 1 2 handelt
d) es sich um ”unrealistische Fermionen” mit Spin S D 1 handelt.
44

4. Betrachten Sie ein ideales Quantengas in einem Würfel der Seitenlänge L. Die Randbedingung,
dass die Wellenfunktionen am Rand verschwinden, liefert die diskreten Impulse
p i .L/ der Einteilchenzustände. Bestimmen Sie daraus die Ableitung @p i
wobei V D L3
@V
das Volumen des Würfels ist. Verifizieren Sie für ideale Bose- und Fermigase die Relationen
(
2
E .nicht relativistische Kinematik/
PV D
3
1
E .ultra relativistische Kinematik/ :
3
Dabei ist E die innere Energie und P der Druck.
45

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 11
1. Betrachten Sie ein hochrelativistisches ideales Fermigas mit den Einteilchenenergien
D cp. Bestimmen Sie für diesen Fall den Fermiimpuls und die Fermienergie. Welche
Energie und welchen Druck hat das Gas für T D 0?
2. Gewisse Halbleiter besitzen bei T D 0 ein vollständig
mit Elektronen gefülltes Band (Valenzband)
und ein leeres Leitungsband. Zwischen
diesen Bändern besteht eine Energielücke . Für
T > 0 werden Elektronen aus dem Valenzband
gelöst und gelangen in das Leitungsband.
n (ε)
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
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1111111111111
0000000000000
1111111111111
Valenz−
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
band
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
00000000000001
11111111111110
01
01
01
01
Die Dispersionsrelationen mit einer effektiven Elektronenmasse m
"
T=0
"
F F+∆
Leitungs−
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111 band
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
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111111111
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111111111
01
01
01
01
Ep 2
D F .Valenzband/ und D
2m F C C Ep 2
.Leitungsband/
2m
seien gegeben. Berechnen Sie die Teilchenzahl für T D 0 und T > 0. Zeigen Sie,
dass der Vergleich das chemische Potenzial zu D F C bestimmt. Berechnen Sie
2
weiterhin die Anzahl der Elektronen im Leitungsband für k B T .
Hinweis: Die Teilchenzahl ist konstant und in der Differenz der Ausdrücke für T D 0
und T > 0 kann die obere Grenze des Impulsintegrals für das Valenzband
unendlich gesetzt werden. Wieso?
3. Zeigen Sie, dass es in einem idealen Bosegas in zwei Raumdimensionen keine Bosekondensation
gibt. Betrachten Sie dazu die mittlere Teilchenzahl N als Funktion des chemischen
Potenzials und diskutieren Sie, dass (im Gegensatz zu drei Raumdimensionen)
! 0 auch T ! 0 erfordert.
4. Die verallgemeinterte Riemannsche –Funktion ist über die unendliche Reihe
1X y n
g .y/ D
n
nD1
für jyj 1 und halbzahlige D 3 ; 2; 5 ; 3; : : : definiert.
2 2
a) Zeigen Sie, dass
g .y/ D
1 Z 1
x 1
dx
./ 0 e x =y 1
indem Sie den Nenner des Integranden als geometrische Reihe schreiben. Die –
Funktion wurde bereits in Aufgabe 2 von Blatt 7 definiert.
46
"

) Die Riemannsche –Funktion ergibt sich als D g .1/; also 3
2
2
1:645, 6 5 2
Sie, dass 1
2
1:341, 3 1:202, 3 1:127 und 4 D 4
2
90
sowie 1 divergieren und überprüfen Sie 4 numerisch.
2:612, 2 D
1:082. Zeigen
47

Übungen zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
Blatt 12
1. Berechnen Sie das Maximum der Planckschen Strahlungsverteilung
u./ D
8
.2c/ 3 3
eˇ 1 :
Die resultierende transzendente Gleichung können Sie graphisch oder numerisch mittels
Iteration lösen.
2. Der Energiefluss der Sonnenstrahlung im erdnahen Weltraum ist durch die Solarkonstante
I 0 D 1:37kW=m 2 gegeben. Berechnen Sie mit der Planckschen Strahlungformel
die Temperatur an der Sonnenoberfäche (Sonnenradius: Rˇ 7 10 5 km, Entfernung
Erde–Sonne: a 1:5 10 8 km).
3. Betrachten Sie N nicht miteinander wechselwirkende Spin–J Teilchen, die sich im
homogenen Magnetfeld EB befinden. Die Einteilchenenergien sind
m D g B Bm mit m D J; J C 1; : : : ; J 1; J :
Dabei sind g der gyromagnetische Faktor, B das Bohrsche Magneton und B D j EBj.
Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme (geometrische Reihe), die freie Energie
F.T; B/ und die Magntisierung M.T; B/. Diskutieren Sie die Grenzfälle ˛ D ˇg B B !
0 (d.h. B ! 0 oder T ! 1) und ˛ ! 1 (B ! 1 oder T ! 0).
4. Ein ein–dimensionales Spin–Gitter aus N Gitterpunkten mit periodischen Randbedingungen
(Gitterpunkt ’1’ Gitterpunkt ’N C 1’) wird durch die Zustandssumme
Z N .ˇ/ D X
"
#
X
NX
: : : exp Jˇ i iC1
1 D˙1 N D˙1
iD1
mit konstantem J > 0 und ˇ D 1=k B T beschrieben.
a) Berechnen Sie explizit Z 1 , Z 2 und Z 3 .
b) Begründen Sie, dass Z N D 2 N cosh N .Jˇ/ C sinh N .Jˇ/ .
c) Was ergibt sich für T ¤ 0 und N 1?
d) Berechnen Sie die spezifische Wärme für die Bedingungen aus c).
Hinweis: Für beliebiges reelles ˛ gilt: e˛ i j
D cosh.˛/ C i j sinh.˛/.
48

1. Klausur zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
1. Ein ideales Gas werde von .P 1 ; V 1 ; T 1 / nach .P 2 ; V 2 ; T 2 / geführt. Die Zustandsänderung
sei derart, dass Druck– und Volumenänderung die Relation dP D a dV mit einer Konstanten
a erfüllen. Berechnen Sie P.V /, V .T / und die Wärmekapazität C a
P V
D
Was ergibt sich in den Grenzfällen a D 0 und a ! 1?
d—Q
dT
a .
(6 Punkte)
2. Für ein Gas seien der isobare Ausdehnungskoeffizient ˛P und die isotherme Kompressibilität
T bekannt:
˛P D 1 @V
D 1 1 C b2
V @T P T V T 2
T D 1 @V
D 1 1 C a2
:
V @P P V T 2
T
Welche Beziehung müssen die Konstanten a und b erfüllen, damit eine Zustandsgleichung
der Form V .T; P/ existiert? Geben Sie V .T; P/ für diesen Fall an.
Hinweis: Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, zunächst die partielle Differenzialgleichung,
die T enthält, mittels Separation der Variablen zu integrieren.
(6 Punkte)
3. Ein ideales Gas durchlaufe den in der
Abbildung skizzierten Kreisprozess im
T S Diagramm. Geben Sie den Wirkungsgrad
einer so betriebenen Wärmekraftmaschine
als Funktion der Temperaturen
T 1 und T 2 an.
T
T
2
T
1
S1 S 2 S
(3 Punkte)
4. Ein Gas, dessen spezifische Wärme bei konstantem Volumen (C V ) unabhängig von der
Temperatur sei, genüge der van der Waals Zustandsgleichung .P Ca=v 2 /.v b/ D RT .
Dabei ist v D V =n das molare Volumen. Zeigen Sie,
a) die spezifische Wärme, C V , ist eine Konstante,
b) die innere Energie lässt sich als E D C V T n 2 a=V C const: schreiben,
49

c) bei adiabatischen Zustandsänderungen bleibt .P C a=v 2 /.v b/ mit D 1 C
nR=C V erhalten.
(5 Punkte)
5. Für die Dampfdruckkurve gilt zunächst fl .P; T / D g .P; T /. In der flüssigen Phase
(Wasser) sei nun ein Salz mit der Konzentration c 1 gelöst. Die Gleichgewichtsbedingung
lautet dann
fl .P P; T C T / D g .P; T C T / ;
wobei P durch das van’t Hoffsche Gesetz gegeben ist. Entwickeln Sie diese Bedingung
bis zur linearen Ordnung in P und T und berechnen Sie die Siedepunktserhöhung
T . Warum führt eine Salzlösung beim Gefrieren zu einer Gefrierpunktserniedrigung?
(5 Punkte)
50

2. Klausur zur
Theoretischen Physik IV - SS 06
1. Wie lauten die Energiemittelwerte hE r i und hEr 2 i in der kanonischen Gesamtheit? Zeigen
Sie, dass für die Standardabweichung der inneren Energie die Relation
.E/ 2 D h.E r
hE r i/ 2 i D k B T 2 C V
unabhängig von der Wechselwirkung gilt. Dabei sind T die absolute Temperatur und C V
die Wärmekapazität bei festem Volumen.
(6 Punkte)
2. Ein Kettenmolekül bestehe aus N Elementen. Jedes dieser Elemente kann mit der Energie
angregt werden, was zu einer Verlängerung der Kette um a führt.
a) Die Anzahl der Kettenglieder in einem angeregten Zustand sei n mit 0 n
N . Wieviele Mikrozustände gibt es zum gleichen n? Wie lauten die zugehörigen
Energien E n und Längen L n ?
b) Durch äußere Kräfte entsteht im Kettenmolekül die Spannung X und die Energien
der Mikrozustände lauten dann E n .X/ D E n L n X . Bestimmen Sie die Zustandssumme
Z.T; X; N /.
Hinweis: Bringen Sie die Summanden auf eine binomische Form.
c) Wie groß ist die mittlere Verlängerung L D hL n i bei vorgegebener Spannung X .
Diskutieren Sie die Grenzfälle T ! 0 und T ! 1.
(6 Punkte)
3. Betrachten Sie ein ideales System, dessen Einteilchenzustände zur Energie j j –fach
entartet sind. Der Mikrozustand des gesamten Systems kann durch die Besetzungszahlen
n j charakterisiert werden. Begründen Sie, dass die Anzahl der möglichen Mikrozustände
zu einem festen Satz fn j g je nach Teilchenstatistik durch
˝.fn j g/ D Y j
˝.fn j g/ D Y j
.n j C j 1/!
n j !. j 1/!
j !
n j !. j n j /!
.Bose Einstein Statistik/ ;
.Fermi Dirac Statistik/ :
gegeben ist. Geben Sie die wahrscheinlichste Konfiguration unter den Nebenbedingungen
an, dass die mittlere Gesamtenergie E und die mittlere Teilchenzahl N vorgegeben
sind. Zeigen Sie, dass die Besetzungszahlen für die wahrscheinlichste Konfiguration in
der Form
j
hn j i D
eˇ. j /
˙ 1
51

geschrieben werden können. Geben Sie die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten
ˇ und an.
Hinweis: Führen Sie geeignete Lagrange–Multiplikatoren ein und bestimmen Sie das
Maximum von ln ˝ mit Hilfe der Stirlingschen Formel.
(7 Punkte)
4. Betrachten Sie optische Phononen mit der Zustandsdichte z./ D ı. E /. Dabei ist E
fest vorgegeben. Berechnen Sie die innere Energie E und die spezifische Wärme c V .T /
für k B T E und k B T E . Skizzieren Sie c V .T /.
(6 Punkte)
52

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 1
1. Gegeben sei die Funktion f .x; y/ D x 2 y 3 mit x.t/ D sin t, y.t/ D 1 t 2 und t 2
2
R. Damit wird die Funktion F.t/ D f .x.t/; y.t// definiert. Vergleichen Sie dF.t/ mit
@f
@x
dx
C @f
dt @y
dy
dt .
2. Betrachten Sie die partiell differenzierbare Funktion z D f .x; y/. Zeigen Sie, daß
@x
D
@y
z
1 @y
@x
z
und
@x
@y
z
@y @z
D 1 :
@z
x
@x
y
gilt. Dabei bezeichnet der Index diejenige Größe, die bei der betrachteten Differentiation
konstant bleibt.
3. Sei dZ D f .X; Y /dX Cg.X; Y /dY ein beliebiges Differential. Die Funktionen f und
g seien reell und stetig partiell differenzierbar.
a) Es sei C ein beliebiger geschlossener Weg in der X Y Ebene. Zeigen Sie, dass
aus H dZ D 0 folgt, dass das Differential vollständig ist.
C
b) Das Differential dZ sei vollständig. Berechnen Sie H dZ. C
c) Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen
@f .X; Y /
@Y
erfüllen, falls das Differential vollständig ist.
4. Gegeben seien die beiden Differentiale
i) .3x 2 y C 3y 2 /dx C .x 3 C 6xy/dy und
ii) e xCy2 Œ.1 C x/ dx C 2xydy .
D @g.X; Y /
@X
Zeigen Sie, dass die beiden Differentiale vollständig sind. Bestimmen Sie jeweils das
zugehörige Potential.
5. Es sei du D f 1 .x; y/dx C f 2 .x; y/dy ein unvollständiges Differential, d. h. es gibt
keine Funktion u.x; y/ mit @u D f @x 1.x; y/ und @u D f @y 2.x; y/. Der integrierende Faktor,
g.x; y/ führt auf ein vollständiges Differential dv D gdu.
a) Leiten Sie aus der Gleichung aus Teilaufgabe 2c eine partielle Differentialgleichung
für g.x; y/ ab.
53
dt

) Es sei g.x; y/ D cx a y b , mit a; b; c 2 R, ein Ansatz für den integrierenden Faktor
für das unvollständige Differential du D ydx xdy. Leiten Sie aus Teilaufgabe
5a eine Beziehung zwischen a und b her.
54

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Aus
df D @f @f
dx C
@x @y dy
folgt
df
dt
D @f dx
@x dt
C @f dy
@y dt
D 2xy 3 cos t C 3x 2 y 2 t D 2 sin t
1
2 t 2 3
cos t C 3 sin 2 t
1
2 t 2 2
t
D 1 8 sin 2t t 6 C 3 4 sin2 t t 5 ;
darin wurde 2 sin cos D sin 2 verwendet. Einsetzen von x.t/ und y.t/ in f .x; y/ ergibt
F.t/ D sin 2 t
1
2 t 2 3
D 1 8 sin2 t t 6 ;
damit folgt nach Kettenregel
dF
dt
D 2 8 sin t cos t t 6 C 6 8 sin2 t t 5 D 1 8 sin 2t t 6 C 3 4 sin2 t t 5 :
Aufgabe 2
Es gilt
dz D @f
@x
@f @z
dx C
@y dy D @x
y
dx C
@z
@y
x
dy D f x dx C f y dy :
Mit dz D 0 folgt
@x
D
f y
@y
somit
@x
@y
z
z
D
f x
1 @y
@x
z
und
@y
D
@x
z
f x
f y
;
55

Schließlich mit
@y @z
D
@z @y
x
1
x
D 1 f y
und
@z
D f x
@x y
ergibt sich
@x @y
@y @z
z
x
@z
D
@x y
f y 1
f x D 1
f x f y
Alternativ: Mit x D x.y; z/ und y D y.x; z/ folgt
dx D @x
@y
dy D @x
@y
dy C
@x
@z dz ;
dy C
@x
@z dz ;
daraus berechnet man für z D const: dz D 0,
dx
dy
dy
dx
D . @x /
@y z
D . @y / @x z
)
@x
D
@y z
1 @y
@x z
:
Es gilt x D x.y; z/, y D y.x; z/ und z D z.x; y/, damit kann eine neue Funktion g.x; y; z/
gebildet werden, für die g.x; y; z/ D 0 gilt. Das totale Differential dieser Funktion lautet
@g @g @g
dx C dy C dz D 0 :
@x @y @z
y;z
x;z
x;y
Für x D const: dx D 0 ergibt sich daraus,
@g @y @g @y
D ) D
@y @z @z @z
x;z
x
x;y
x
@g @g
@z x;y @y x;z
:
Analog für y D const: dy D 0,
@g @z @g
D )
@z @x @x
x;y
y
y;z
@z
D
@x y
@g @g
@x y;z @z x;y
und für z D const: dz D 0,
@g @x @g
D
@x @y @y
y;z
z
x;z
)
@x
D
@y
z
@g @g
@y
x;z
@x
y;z
:
56

Multiplikation der drei Gleichungen führt auf
" @g
@x @y @z
@g
D
@y z @z x @x y @y x;z @z
"
@g @g
@x @y
y;z
x;y
x;z
@g
@x
@g
@x
y;z
y;z
#
#
1
Aufgabe 3
Ein Ausdruck der Form A.x; y/dx C B.x; y/dy mit beliebigen Funktionen A.x; y/ und
B.x; y/ gilt
Definition: vollständiges Differential
A.x; y/dx C B.x; y/dy
ist vollständiges Differential
!
@A
D
@y
x
a) Der geschlossene Weg C werde in zwei Teilwege C 1 und C 2 zerlegt.
@B
@x
y
:
Y
Y 2
C 1
2
C 2
Y 1
1
X 1 X 2
X
Es gilt I.C/ D H dZ D 0, damit folgt
Z
0 D I.C/ D I.C 1 / I.C 2 / D dZ
C 1
Z
C 2
dZ )
Z Z
dZ D dZ :
C 1 C 2
Das Integral hängt nur von den Enpunkten .X 1 ; Y 1 / und .X 2 ; Y 2 / ab, d.h. es existiert ein
Potential Z.X; Y / mit
Z .X2 ;Y 2 /
.X 1 ;Y 1 /
@Z.X; Y /
@X
dZ D Z.X 2 ; Y 2 / Z.X 1 ; Y 1 / ;
D f .X; Y / ;
@Z.X; Y /
@Y
D g.X; Y / :
57

) Das Differential dZ sei vollständig. Das Integral kann in der Form I D R C dEr EV
mit EV D f Ee X C gEe Y geschrieben werden. Für das Wegelement dEr gilt dann dEr D
dX Ee X C dY Ee Y .
Z 2 Z 2 I Z @g @f
0 D I.C 1 / I.C 2 / D dEr EV dEr EV D dEr EV D dA
;
1;C 1 1;C 2
@X @Y
dabei wurde im letzten Schritt der Stokessche Satz
I Z
dEr EV D d EA rot EV
A
verwendet. Aus der Gleichung liest man sofort
@f
@Y @g
@X
für H dZ D 0 ab, dabei ist zu beachten, dass die Fläche A beliebig ist. Das Differential
dZ ist somit vollständig.
c) Die Funktion Z.X; Y / ist zweimal differenzierbar, d.h.
A
@ 2 Z.X; Y /
@X@Y
mit
D @2 Z.X; Y /
@Y @X ;
dZ D f .X; Y /dX C g.X; Y /dY
folgt
Aufgabe 4
@f .X; Y /
@Y
D @g.X; Y /
@X
:
i) Mit A.x; y/dx C B.x; y/dy und @ y A D @ x B folgt
A.x; y/ D 3x 2 y C 3y 2 ) @ y A.x; y/ D 3x 2 C 6y ;
B.x; y/ D x 3 C 6xy ) @ x B.x; y/ D 3x 2 C 6y :
Das Differential ist somit vollständig. Ist A.x; y/ die Kraftkomponente in x-Richtung
und B.x; y/ die Kraftrichtung in y-Richtung, dann gilt für das Potential U.x; y/,
Z
U.x; y/ D dx A.x; y/ C G.y/
Z
D dx 3x 2 y C 3y 2 C G.y/ D x 3 y C 3xy 2 C G.y/ :
58

Mit @U.x; y/=@y D
B.x; y/ folgt
@U.x; y/
@y
D x 3 6xy C dG.y/
dy
D B.x; y/
D x 3 6xy ;
d.h. dG.y/=dy D 0 und somit G.y/ D const: O. B. d. A. kann die Konstante null
gesetzt werden. Das Potential lautet somit
U.x; y/ D .x 3 y C 3xy 2 / :
ii) Es gilt
A.x; y/ D e xCy2 .1 C x/ ) @ y A.x; y/ D 2ye xCy2 ;
B.x; y/ D 2xye xCy2 ) @ x B.x; y/ D 2xye xCy2 C 2ye xCy2 D 2ye xCy2 .1 C x/ ;
das Differential ist damit vollständig. Aus
Z
Z
U.x; y/ D dy B.x; y/CH.x/ D
dy 2xye xCy2 CH.x/ D xe xCy2 CH.x/ ;
folgt mit
@U.x; y/
@x
D e xCy2 xe xCy2 C dH.x/
dx
D e xCy2 .1 C x/ C dH.x/
dx
D A.x; y/ D e xCy2 .1 C x/ ;
Aufgabe 5
somit dH.x/=dx D 0, d.h. H.x/ D const: Das zugehörige Potential ist
U.x; y/ D xe xCy2 :
a) Aus Teilaufgabe 5c folgt, dass für die Vollständigkeit des Integrals @ y f 1 .x; y/ D @ x f 2 .x; y/
gelten muss. Mit dem integrierenden Faktor g.x; y/ folgt
0 D @
@y f 1.x; y/ g.x; y/
@
@x f 2.x; y/ g.x; y/
D f 1 @ y g C g @ y f 1 f 2 @ x g g @ x f 2
D f 1 @ y g f 2 @ x g C g @ y f 1 @ y f 2
:
59

) Für den integrierenden Faktor g.x; y/ folgt
@ x g.x; y/ D @
@x cxa y b D cax a 1 y b ;
@ y g.x; y/ D @
@y cxa y b D cbx a y b 1 :
Für das Differential du D ydx xdy ist f 1 D y und f 2 D x, somit
@ y f 1 D 1 und@ x f 2 D 1 :
Eingesetzt ergibt
0 D ycbx a y b 1 C xcax a 1 y b C g.1 C 1/ D cbx a y b C cax a y b D c Œ.a C b/ C 2 x a y b ;
) b D .2 C a/ :
60

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 2
1. Betrachten Sie eine Funktion f .x; y/ die von zwei reellen Variablen x; y 2 R abhängig
ist und die Eigenschaft
f .x; y/ D f .x; z/ f .z; y/
besitzt.
a) Zeigen Sie, dass die Differentiation nach z
1 @f .x; z/
f .x; z/ @z
D
1 @f .z; y/
f .z; y/ @z
ergibt. Was schließen Sie daraus für die funktionale Abhängigkeit der Ausdrücke?
b) Integrieren Sie mit dieser Abhängigkeit die partielle Differentialgleichung aus Teilaufgabe
1a, um zu zeigen Sie, dass
f .x; y/ D '.y/
'.x/
gilt. Dabei ist ' eine (unbekannte) Funktion von nur einer Variablen.
2. Ein Modell zur Beschreibung für reale Gase ist das van der Waalssche Gas. Die Zustandsgleichung
in diesem Modell ist gegeben durch
p C a v 2
.v b/ D R# ;
mit a als dem Kohäsionsdruck, b als dem Kovolumen und v D V als dem Molvolumen.
n
Die Parameter a und b sind Materialkonstanten. Die Temperatur T des idealen Gasthermometers
ist definiert vermöge
T WD 1 R lim
p!0 .pv/ :
Zeigen Sie, dass # T gilt.
3. Ein Gas werde von .p 1 ; V 1 ; T 1 / nach .p 2 ; V 2 ; T 2 / geführt. Die Zustandsänderung sei
derart, dass Druck- und Volumenänderung die Relation
dp
p D
a dV
V
61

mit einer positiven Konstanten a erfüllen. Berechnen Sie die von dem Gas geleistete
Arbeit
W D
Z 2
1
dV p :
4. Ein System werde beschrieben durch die beiden unabhängigen Variaben Volumen V
und Temperatur T . Diesem System wird die Wärmemenge ıQ zugeführt, wobei sich die
Temperatur um ıT ändert, aber die Zustandsgröße X.V; T / unverändert bleibt.
a) Zeigen Sie mit dem ersten Hauptsatz, dass die spezifische Wärme durch
ıQ @E @E @V
C X D D C C p
ıT @T @V @T
X
V
gegeben ist. Dabei sind E und p innere Energie und Druck.
b) Verifizieren Sie mit diesem Ergebnis C p D C V C nR für ein ideales Gas.
5. Ein ideales Gas durchlaufe folgenden Kreisprozess:
T
X
.p 2 ; V 4 /
?
y
isotherm
.p 1 ; V 1 /
isobar
.p 2 ; V 3 /
x
?
?isotherm
isobar
! .p 1 ; V 2 /
mit p 1 < p 2 und V 4 < V 1 < V 3 < V 2 .
a) Skizzieren Sie das zugehörige V -p-Diagramm.
b) Berechnen Sie die Arbeit, die in diesem Kreisprozess geleistet wird.
62

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Die Funktion f .x; y/ D f .x; z/ f .z; y/ ist nicht explizit von z abhängig, die Differentiation
nach z liefert deshalb
0 D
@f .x; z/
@z
@f .z; y/
f .z; y/C f .z; y/ )
@z
1 @f .x; z/
f .x; z/ @z
D
1 @f .z; y/
:
f .z; y/ @z
Diese Gleichung kann nur erfüllt sein für eine Funktion die nur von z abhängig ist.
b) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a setzt man
1 @f .x; z/
f .x; z/ @z
D d.z/
dz
D .z/ 0
) ln f .x; z/ D .z/ C g.x/ ) f .x; z/ D e .z/ e g.x/ D '.z/ G.x/
Mit f .z; y/ D G.z/ '.y/ erhält man
1 @f .z; y/
f .z; y/ @z
D
) G.z/ D e .z/ D 1
'.z/ :
1
G.z/'.y/ G.z/0 '.y/ D
G.z/0
G.z/ D .z/0
Mit f .x; z/ D '.z/ folgt somit
'.x/
f .x; y/ D '.z/
'.x/ '.y/
'.z/ D '.y/
'.x/ :
Aufgabe 2
Van der Waalssche Zustandgleichung
p C a v 2
.v b/ D pv pb C a v
ab
v 2 D R# ;
Aus der linken Seite der van der Waalsschen Zustandsgleichung erhält man,
pv pb C a
ab
v v D pv b
1 C a ab
2 v v v : 2
Damit ergibt sich
pv 1
b
D R#
v
a
v C ab
v ) pv D R# a
2
1
63
C ab
v v 2
b
v
:

Es gilt b v und somit .1 C b=v/ 1 1 C b=v C .b=v/ 2 ,
pv D R# a
C ab
v v 2
D R#
b
1
v
a
D R# 1
R#v C ab
1 C b
R#v 2 v C b2
v C : : :
2
D R# 1 C 1
a
b C 1
ab
v R# v 2 ✓ ✓
✓R# C ab
b2 ✓ ✓
✓R#
D R#
1 C B.#/ C C.#/ C : : :
v v 2
a
v C ab
1 C b
v 2 v C b2
v C : : : 2
C : : :
Nimmt der Druck ab, so nähert sich das verhalten aller Gase dem eines idealen Gases an [2].
Die Koeffizienten B.#/ und C.#/ beschreiben somit die Abweichung des Verhaltens eines
realen Gases von dem eines idealen. Für verschwindenden Druck gilt die für alle Gasarten
geltende Gesetzmäßigkeit
T D lim.pv/ D RT ;
p!0
d.h.
pv D R# 1 C B.#/
v
C C.#/
v 2 C : : :
„ ƒ‚ …
D0 für p!0
p!0
D R# ;
und folglich # T .
Aufgabe 3
Aus dp=p D
Z p
dp 0
p 0
p 0
D
Z V 0
adV =V folgt
dV 0
) ln p ln p
V 0
V 0 0 D a ln V ln V 0
p V a
) ln D ln
p 0 V 0
) p a a V V0
D ) p D p 0 :
p 0 V 0 V
Für den Prozess ist dS D 0, somit gilt für die Arbeit dW D pdV ,
Z
Z V2
W D dV p D p 1 dV V a Z V2
1
V 1
V D p dV
1V a 1
V 1
V a
V
D p 1 V a
1 a V2
V
1
p 1 V a
a 1
2
V a 1
1
1
; a ¤ 1
a
1 a
V 1
D
64

Für den Spezialfall a D 1 gilt
W aD1
D
Aufgabe 4
p 1 V 1
Z V2
V 1
) W D p a
1 V1
V 2
a 1 V 2
dV
V D p 1V 1 ln
V2
V 1
V 1
:
a) Erster Hauptsatz: d Q D dE C pdV und E D E.T; V /, d.h.
dE D .@ T E/ V dT C .@ V E/ T dV ;
eingesetzt in d Q,
d Q D .@ T E/ V dT C .@ V E/ T dV C pdV D .@ T E/ V dT C .@ V E/ T C p dV ;
daraus liest man sofort
ıQ @E @E
D C
ıT
X
@T
V
@V
T
ab.
@V
C p
@T
X
b) Für ein ideales Gas gilt pV D nRT und .@E=@V / T D 0. Mit X DW p folgt
ıQ @E @V
C p D D C p
ıT
p
@T
V
@T
p
@E @
D C
@T
V
@T pV ) C p D C V C nR :
p
Aufgabe 5
a) V -p-Diagramm:
p
p 2
p 1
V 4
V 3
V 1 V 2
V
65

) Für ein ideales Gas gilt
pV D nRT ; (2.1)
dE D C V dt ; (2.2)
dW D p dV : (2.3)
.p1 ; V 1 ; T 1 /
isobar
! .p 1; V 2 ; T 2 /: Für die Arbeit W erhält man für diesen Prozess
W 1 D p 1
Z V2
V 1
dV D p 1 .V 2 V 1 / :
isotherm
.p1 ; V 2 ; T 2 / ! .p 2 ; V 3 ; T 2 /: Für den isothermen Prozess folgt aus dem Ersten
Hauptsatz
d Q D C V dT C pdV isotherm
D pdV D W 2 ;
Mit (2.1) ist die Arbeit
W 2 D
Z V3
dV nRT 2
V 2
V
D nRT 2 ln
V3
:
V 2
.p2 ; V 3 ; T 2 /
isobar
! .p 2; V 4 ; T 1 /:
W 3 D p 2
Z V4
.p2 ; V 4 ; T 1 /
W 4 D
Z V1
V 3
dV D p 2 .V 4 V 3 / :
isotherm
! .p 1 ; V 1 ; T 1 /:
dV nRT 1
V 4
V
D nRT 1 ln
V1
:
V 4
Insgesamt wird damit die Arbeit
I
W ges D dW D W 1 C W 2 C W 3 C W 4
V3 V1
) W D p 1 .V 2 V 1 / C p 2 .V 4 V 3 / C nR T 2 ln C T 1 ln
V 2 V 4
geleistet.
66

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 3
1. Die innere Energie E des idealen Gases ist eine Funktion der Entropie S und des Volumens
V . Gehen Sie von
T V
S S 0 D C V ln C nR ln
T 0 V 0
und E D C V T aus um E.S; V / zu bestimmen. Verifizieren Sie durch geeignete partielle
Ableitungen, dass
dE D T dS
pdV:
gilt.
2. Eine Carnot-Maschine werde mit einem idealen Gas als Arbeitsmedium
betrieben. Die Zustandsgleichungen
pV D n und E D n c ;
mit c D const:, definieren eine empirische Temperatur . Bestimmen
Sie den Wirkungsgrad der Carnot-Maschine als Funktion
der Temperatur . Verifizieren Sie dadurch, dass proportional
zur absoluten Temperatur T ist.
Sadi Nicolas Léonard CAR-
NOT, französischer Physiker,
1796 – 1832
3. Verwenden Sie die Maxwell-Relationen für die freie Energie, um zu zeigen, dass
@CV
@V
T
aus der thermischen Zustandsgleichung p D p.V; T / berechnet werden kann.
4. Für ein Gas geringer Dichte gelte folgende Virialentwicklung
p.V; T / D nRT 1 C n
V V B.T / :
Die Wärmekapazität kann entsprechend um diejenige des idealen Gases entwickelt werden:
3 n
C V D nR
2 V F.T / :
67

a) Bestimmen Sie die Beziehung, welche zwischen B.T / und F.T / gelten muss, damit
die Entwicklungen thermodynamisch konsistent sind.
b) Berechnen Sie die explizite Darstellung der Entropie als Funktion der Temperatur
T und des Volumens V , d.h. S.T; V /.
c) Zeigen Sie, dass für die Wärmekapazität bei konstantem Druck p
C p D 3 2 nR
gilt.
n2 R
V
d
dT
h
T 2 dB.T / V
C
dT T
i 2
T 2 dB.T /
V 2 dT
p C n2 R
h
i
p C n2 RT
B.T /
V
68

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Es gilt
S S 0 D C V ln T C V ln T 0 C nR ln V nR ln V 0 ) dS D C V
T dT C nR V dV ;
einsetzen von pV D nRT führt auf
dS D C V
T dT C p T dV ) T dS D C V dT C p dV :
Mit dE D C V dT erhält man schließlich
T dS D dE C p dV ) dE D T dS p dV :
Aufgabe 2
p
W 1
W 2
a
Q zu
T a
T b
S a
S b
W 4
Q ab
W 3
b
V
Das Gas wird quasistatisch expandiert von a nach b,
1 .Ta ; S a /
isotherm
! .Ta ; S b / ,
2 .Ta ; S b /
adiabatisch
! .T b ; S b / .
Von b zurück nach a wird das Gas quasistatisch komprimiert,
3 .Tb ; S b /
4 .Tb ; S a /
isotherm
! .Tb ; S a / ,
adiabatisch
! .T a ; S a / . 69

Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik
dE D d Q pdV ; d Q D dS
T
und der Zustandsgleichung für das ideale Gas
pV D nR ; dE D C V dT ;
berechnet man die einzelnen Arbeitswege der Maschine:
1 .a ; S a /
Q 1 D
Z V 0
a
V a
isotherm
! .a ; S b /: Mit dE D 0 folgt
dV p D nR a
Z V 0
a
V a
dV
V
isotherm
3 .b ; S b / ! .b ; S a /: analog zu 1,
V
0
b
Q 3 D nR b ln W 3
V b
adiabatisch
V
0
D nR a
a ln W 1
V a
2 .a ; S b / ! . b ; S b /: Für die adiabatische Zustandsänderung gilt dS D 0, d.h.
d Q D 0. Aus dem 1. Hauptsatz und der Zustandsgleichung für das ideale Gas folgt
dE D C V d D pdV D nR dV V :
Somit ergibt sich
Z
C
b
V d
nR a
D C
V
nR ln b
D
a
Für die Arbeit erhält man
D
Z Vb
ln
Va
0 Vb
dV
V
V
0
D ln
V 0
a
a
: (3.1)
V b
dW 2 D pdV d QD0
D dE D C V d
somit
W 2 D
Z b
a
d D C V . b a / (3.2)
70

adiabatisch
4 .b ; S a / ! . a ; S a /: Analog zu 2
C V
nR ln a V
0
(3.1)
b
D ln H) V a
0
D V a
b V a V b V 0
und
b
(3.3)
W 4 D
Z a
C V d D C V . a b / D C V . b a / (3.2)
D W 2
b
Die gesamte Arbeit W ges ist damit
!
W ges D W 1 C W 2 C W 3 C W 4 D W 1 C W 3
V
0
a
V
0
b
D nR a ln C nR b ln
V a V
b
V
0
a V
0
b (3.3)
D nR a ln C b ln D nR. a
V a V b
V
0
a
b / ln
V a
Für den Wirkungsgrad erhält man
D
erzeugteArbeit
aufgewendeteWärme D W Q 1
D nR. a
nR a ln. V 0 a
b
D a
D 1
a
b / ln. V 0 a
V a
/
V a
/
a
b
:
Vergleich mit dem Wirkungsgrad für für eine ideale Wärmekraftmaschine, [1]
ideal D T 1 T 2
T 1
ergibt T .
Aufgabe 3
Das Differential
dF D S dT p dV
ist vollständig, damit gilt
@S @p
D
@V @T
: (3.4)
T
V
71

Mit der Definition der spezifischen Wärme, [1]
@S
C z WD T ;
@T
erhält man
@S
C V D T
@T
Aufgabe 4
z
V
)
@CV
@V
T
@ @S
D T
@V @T V T
(3.4) @ @p
D T
@T @T V
@CV
) D T
@V
a) Mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3 folgt, dass
@CV @ 2 p
D T
@V
T
@T 2 V
T
V
@ @S
D T
@T @V T V
@ 2 p
@T 2 V
erfüllt sein muss. Für die linke Seite erhält man
@CV
`:S: D D @ 3 n
nR
@V
T
@V 2 V
ˇˇˇˇT
F.T /
D nR n
V F.T / D n2 R
2 V F.T / ;
2
und für die rechte Seite
@ 2 p
r.S. D T D T
@T
V
@2 nRT
1 C n 2 @T 2 V V
ˇˇˇˇV
B.T /
D nRT
@ 1
V @T V C n
B.T / C T dB.T /
V
dT
D n2 RT
V 2
somit folgt
n 2 R
V 2
mit
B.T / 0 C B.T / 0 C TB.T / 00 D n2 R
V 2 2TB.T / 0 C T 2 B.T / 00 ;
F.T / D
n2 R
V 2 2TB.T / 0 C T 2 B.T / 00 ) F.T / D 2TB.T / 0 C T 2 B.T / 00 ;
d
dT .T 2 B.T // D 2TB.T / 0 C T 2 B.T / 00 schließlich,
F.T / D d
dT T 2 B.T / 0 :
72

) S.T; V / kann aus der spezifischen Wärme C V bestimmt werden,
@S
T D C V D 3
@T
V
2 nR
n2 R d
T 2 dB.T / 0
V dT dT
@S
) D 3
@T
V
2 nRT n 2 R 1
2T dB.T /
V T dT C T 2 d
2 B.T /
dT 2
D 3
2 nRT n 2 R
2 dB.T / C T d
2 B.T /
V T dT 2
D 3
2 nRT n 2 R dB.T /
C dB.T / C T d
2 B.T /
V T „ T ƒ‚ dT 2
…
D 3 2 nRT
Integration über dT ergibt
S.T; V / D 3 n
nR ln T
2
D 3 n
nR ln T
2
n 2 R dB.T /
C d
V T dT
2 R
V
2 R
V
D d
dT .T dB.T /
dT /
T dB.T /
dT
B.T / C T dB.T /
C f .V /
dT
d
dT T B.T / C f .V /
Die unbekannte Funktion f .V / wird über die Relation
@S (3.4) @p
D
@V @T
V
bestimmt,
@S
D n2 R d
@V
V
V 2 dT T B.T / C
@p
D D nR @T V C n2 R
V 2
daraus liest man
df .V /
dV
D nR V
V
V
df .V /
dV
) f .V / D nR ln V
d
dT T B.T / ;
ab. Ingesamt lautet die die Entropie S.T; V / damit
:
S.T; V / D 3 n
nR ln T C nR ln V
2
2 R
V
d
dT T B.T / :
73

c) Mit der Definition der spezifischen Wärme folgt
@S
@S
C z WD T ) C V D T : (3.5)
@T
@T
Aus S D S.V; T / erhält man
@S @S
dS D dV C
@V @T
T
z
V
dT (3.5)
D
(3.4)
D
V
@S
@V
@p
@T
T
V
dV C C V
T dT
dV C C V
T dT ;
somit
@S @p @V
T D T
C C V : (3.6)
@T
p
@T
V
@T
p
Mit den Relationen aus Blatt 1 Aufgabe 2 folgt mit x D V , y D T und z D p,
@V @T @p
@V @T 1 @p 1
D 1 ) D
;
@T @p @V
@T @p @V
p
und mit
@p
@T
V
D
schließlich
@V
D
@T
p
V
1 @T
@p
V
T
p
@p @p 1
: (3.7)
@T V @V T
Die Gleichung (3.6) lautet somit
@S @p @V
T D T
@T
p
@T
V
@T
(3.7) @p 2 @p
D T
@T V @V
Mit
@p
D nR @
@T V V @T
@p
@V T
D nR V
C C V
p
1
T
T C n V TB.T / ˇˇˇˇV
1 C n V
1
V C n
D nRT @ @
1
D nRT
V 2
B.T / C T dB.T /
dT
V
ˇˇˇˇT
B.T / 2
2n
V B.T / D
3
V
C C V : (3.8)
74
nRT
V 2
D nR V C n2 R
V 2
2n 2 RT
V 3 B.T /
T
d
dT TB.T / ;

und C V aus der Aufgabenstellung folgt
3
C p D nR
2
D 3 2 nR
n
V F.T /
n2 R
T ΠnR V
C n2 R d
V 2 dT
nRT
V 2
V F.T / T 2 ΠnR C n2 R
V V 2
T Œ
nRT
V 2
.TB.T //2
2n 2 RT
V 3 B.T /
d
dT
.TB.T //2
:
2n 2 RT
V 3 B.T /
Für den Zähler erhält man mit p=T D nR=V C n 2 R=V 2 B.T /,
T 2 nR
V C n2 R
V 2
2
d
p
dT TB.T / D T 2 T
p
D T 2 n 2 R
T V 2 ✟B.T ✟✟ /
D p C n2 R
V T 2 d
2 dT B.T / ;
n 2 R
V 2
✟B.T ✟✟ / T dB.T /
dT
B.T / C n2 2
R d
V 2 dT TB.T /
2
und für den Nenner,
nRT 2n 2 RT
T p n 2 R 2n 2
T
B.T / D T
V 2 V 3 V T V B.T / RT
B.T /
2 V 3
T p n 2 R 2n 2
D T
V T V B.T / RT
B.T /
2 V 3
p
D T
V C n2 RT 2n 2 RT
B.T / B.T /
V 3 V 3
p n 2 RT
D T
B.T / D
T
p C n2 RT
B.T / :
V V 3 V V 2
Die Wärmekapazität C p ist damit
C p D 3 2 nR
n2 R
V
i 2
h
V p C n2 R
T 2 dB.T /
F.T / C V 2 dT
h
i ;
T p C n2 RT
B.T /
V 2
und mit F.T / aus Teilaufgabe a schließlich
C p D 3 2 nR
n2 R
V
d
dT
h
T 2 dB.T / V
C
dT T
i 2
T 2 dB.T /
V 2 dT
p C n2 R
h
p C n2 RT
B.T /
V
i :
75

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 4
1. Ein ideales Gas, beschrieben durch die Zustandsgleichung pV D nRT unterliege einer
adiabatischen Zustandsänderung, d.h. d Q D 0.
a) Berechnen Sie den adiabatischen Kompressionskoeffizienten
ad D
1 @V
:
V @p
für das ideale Gas.
ad
b) Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit
@p
c 2 D
@
ad
von der Temperatur T . Geben Sie sodann die Schallgeschwindigkeit in Luft bei
T D 273 K an.
2. Die natürlichen Variablen der Enthalpie H sind die Entropie S und der Druck p, d.h.
H D H.S; p/. Verifizieren Sie aus der Differentialgleichung dH D T dS CV dp, dass
wenn die Entropie ein Potential ist,
@H
@p
folgt.
T
D T 2 @.V =T /
@T
p
:
3. Betrachten Sie im Folgenden ein ideales Gas und berechnen Sie die thermodynamischen
Potentiale,
a) die freie Energie F.T; V; N /,
b) die Enthalpie H.S; p; N /,
c) die freie Enthalpie G.T; p; N / und
d) das großkanonische Potential ˚.T; V; /.
Beachten Sie dabei, dass die Potentiale als Funktionen der zugehörigen natürlichen Variablen
zu schreiben sind.
76

4. Bestätigen Sie, dass aus der thermischen Zustandsgleichung p D p.T; V /
@E
@p
T
berechnet werden kann. Betrachten Sie dazu speziell ein Gas, das durch die van der
Waalssche Zustandsgleichung beschrieben wird. Bestimmen Sie die Bereiche, in welchem
.@E=@p/ T positiv bzw. negativ ist.
5. Zeigen Sie, dass für die Differenz der Wärmekapazitäten
@p @V
C p C V D T
@T @p
V
p
gilt. Berechnen Sie diese Differenz für das van der Waalssche Gas.
77

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Für ein ideales Gas ist die innere Energie unabhängig von V ,
@E
@E
dE D dT ; D 0 :
@T
@V
V
dE eingesetzt in den 1. Hauptsatz ergibt
@E
d Q D dT C pdV D C V dT C pdV :
@T V
„ ƒ‚ …
D C V
T
Für eine adiabatische Zustandsänderung d Q D 0 folgt daraus
dT
D p D nR T dT
dV C V C V V
) D
nR dV
T C V V
ad
Zwischen den Wärmekapazitäten C p und C V gilt die Beziehung C p
dT
D C
V C p dV dV
D .1 /
T
V
V
ad
C V
ad
ad
ad
ad
:
C V D nR, damit
) d ln T ad D .1 /d ln V ad D d ln V 1 ad
) d ln T V 1 D 0 ) T V 1 D const 0 :
Mit der allgemeinen Zustandsgleichung für ideale Gase folgt
T V D const: (Adiabatengleichung) (4.1)
a) Aus der Adiabatengleichung (4.1) folgt das Differential
@V
0 D dpV C pV 1 dV ) D V @p p : (4.2)
Der adiabatische Kompressionskoeffizient ist somit
ad D
1 V
@V
D 1 @p ad V
ad
V
p ) ad D 1
p :
b) Mit der Massendichte D mN=V und mN D const:, folgt
@
d D dV D
n
@V V dV D 2 V dV ) d D dV V
(4.3)
78

Aus
@p
dp D dV (4.2) @p V
D
@V @V
@p
) D V @p (4.2)
D
@
ad
@V
ad
Mit pV D nRT und n D mN
M
p
D RT
M
folgt
@p
) D RT
@
ad
M
d
V
p @ 2
V
T p
D
@T
V
p
2 :
) c.T / D
r
RT
M :
Für M.Luft/ 30g=mol, T D 273 K und D 1; 4 erhält man
v
u
J
c D t
8; 314 273 K
1; 4
K mol
325 m
30 10 3 kg
s :
mol
Aufgabe 2
Aus dem Differential dH D T dS C p dV folgt
dS D 1 @S
T dH V dp ) D 1 @H
@T p T @T p
) @2 S
@p@T @p D @ 1 @H
D 1 @ 2 H
T @T
p T
T @p@T : (4.4)
Desweiteren berechnet man aus dem Differential
@S
D 1 @H V
@p T T @p T T
@ 2 S
@T @p D 1
@H @ 2 H @.V =T /
T 2 @p @T @p @T
0 (4.4)
D 1 @H
T 2 @p
C 1
T T
@.V =T /
T
@T
p
)
@H
@p
p
T
@.V =T /
D T 2 @T
p
Aufgabe 3
Die Differentiale der thermodynamischen Potentiale sind gegeben durch
dE D T dS p dV C dN ; (4.5)
dF D S dT p dV C dN ; (4.6)
dH D T dS C V dp C dN ; (4.7)
dG D S dT C V dp C dN : : (4.8)
79

Die thermodynamischen Potentiale sind
E (Energie) ; (4.9)
F D E T S (Freie Energie) ; (4.10)
H D E C p V (Enthalpie) ; (4.11)
G D E T S C p V D F C p V (Freie Enthalpie) ; (4.12)
˚ D E T S N D F N (großkanonisches Potential) (4.13)
Für das ideale Gas gilt
pV D N k B T ; (4.14)
und für das einatomige, ideale Gas ist die innere Energie
E D E.T; N / D 3 2 N k BT (4.15)
und die Wärmekapazität
C V D 3 2 N k B und c V D 3 2 k B : (4.16)
Zunächst berechne man das chemische Potential eines einatomigen, idealen Gases. Es gilt
[1]
D E TS
N N C pV N
D 3 Z T
2 k BT T dT 0 c V .T 0 /
C k B ln V
N C const: C k B T
T 0
D 5 Z 3 T
2 k BT T
2 k dT 0
B C k
T 0 B ln V
N C const:
D 5 3
2 k BT T
2 k B ln T C k B ln V
N C const:
D 5 3
2 k BT k B T
2 ln T C ln N V C const:
k B
D 5 3
2 k BT C k B T
2 ln T C ln
p
T 0 k B T C const:
k B
D 5
5 T p
2 k BT C k B T
2 ln C ln C
0.T 0 ; p 0 /
.T; p/ (4.17)
T 0 p 0 k B T 0
Die innere Energie des idealen Gases ist E D E.T; N /, d.h.
@E @E
dE D dT C dN (4.18)
@T @N
N
T
80

und für dV D 0 und für konstante Teilchenzahl dN D 0,
@E @S
D T D C V : (4.19)
@T @T
V;N
V
Aus dem Differential dE folgt für konstante Teilchenzahl,
dS D 1 T dE C p T dV
T dN
(4.18)
D
1 @E
dT C 1 @E
T @T T @N
(4.15)
D
(4.18) C V
V;N
dT
T C N k B
dV
V
C 3
2 k B
T
dN C p T dV
dN :
T
T dN
Integration ergibt
T V 3
S S 0 D C V ln C N k B ln C
T 0 V 0 2 k B
(4.16)
3 T V
H) S S 0 D k B
2 ln C N ln C
T 0 V 0
Umformung von (4.20) ergibt
ln 3=2 N T V 3
S S 0 D k B C ln
C
T 0 V 0 2
3=2 N T V 3
D k B
ln
C
T 0 V 0 2 k B T
T 3=2
V 3
)
exp
.N N 0 /
T 0 V 0 2 k B T
T 2N=3
V0 2.S S0 / 3
) D
exp
T 0 V
3k B 2
.N N 0 /
T
3
.N N 0 /
2 k B T
k B T
.N N 0 /
.N N 0 /
S
D exp
k B
S0
.N N 0 /
k B T
: (4.20)
(4.21)
und für für konstante Teilchenzahl, dN D 0,
T
D
T 0
V0
V
2N=3 2.S S0 /
exp
3k B
(4.22)
81

Aus dem Differential (4.18) berechnet man
dE (4.15)
D 3 2 N k B dT C 3 2 k BT dN
) E E 0 D 3 2 N k B.T T 0 / C 3 2 k BT .N N 0 /
) E E 0 D 3 2 k B
N.T T0 / C T .N N 0 / : (4.23)
und für konstante Teilchenzahl dN D 0,
E E 0 D 3 2 k BN.T T 0 / : (4.24)
Aus (4.23) folgt
E
E 0 D 3 2 k B
T
N T 0 1 C T .N N 0 /
T 0
) E E 0 D 3
2 k V0
B N T 0
V
C T .N N 0 /
2N=3
exp
2.S S0 /
3k B
3
2
.N N 0 /
k B T
1
(4.25)
und für eine konstante Teilchenzahl, dN D 0,
E
E 0 D 3 2N=3
2 N k V0 2.S S0 /
BT 0 exp
V
3k B
1 E.S; V; N / (4.26)
a) Für die freie Energie gilt nach (4.10), F D E T S, mit (4.20) und (4.25),
F D 3 2 k
B N.T T0 / C T .N N 0 /
3 T V 3
T
k B
2 ln C N ln C
T 0 V 0 2
.N N 0 / C S 0
k B T
(4.27)
und für dN D 0,
F D 3
3 T V
2 N k B.T T 0 / T
k B
2 ln C N ln C S 0 F.T; V; N / :
T 0 V 0
(4.28)
82

) Aus (4.11) bestimmt man
H D E C p V D 3 2 k B
N.T T0 / C T .N N 0 / C N k B .T T 0 / C H 0
) H H 0 D 5 2 k BN.T T 0 / C 3 2 k BT .N N 0 / : (4.29)
Aus der Gasgleichung (4.14) folgt
pV
p 0 V 0
D N k B T
N 0 k B T 0
) V V 0
D p 0
p T T 0
N N 0
; (4.30)
eingesetz in (4.20) ergibt
p0
T
T 0
N
N 0
3 T
S S 0 D k B
2 ln C N ln C N ln C N ln
T 0 p
3
.N N 0 /
2 k B T
3 T N
p0 N
N 3
D k B N ln C ln C ln
2 T 0 p N 0 2
.3C2N /=2 N N T p0 N 3
D k B
ln
T 0 p N 0 2
) T 2N=.3C2N / pN0
2 .S S0 / 3
D
exp
T 0 p 0 N
3 C 2N k B 2
und für N D N 0 D const:,
2N=.3C2N /
T p 2.S S0 /
D
exp
:
T 0 p 0 .3 C 2N /k B
Damit lautet die Gleichung (4.29)
H H 0 D 5 T
2 k BN T 0 1 C 3 T 0 2 k BT .N N 0 /
.N N 0 /
k B T
.N N 0 /
k B T
.N N 0 / ;
k B T
2N=.3C2N /
D 5
2 k pN0
BN T 0
p 0 N
2 .S S0 / 3
exp
3 C 2N k B 2
C 3 2 k BT .N N 0 / ;
.N N 0 /
k B T
1
und für eine konstante Teilchenzahl,
H H 0 D 5 p 2N=.3C2N / 2.S
2 k S0 /
BN T 0 exp
p 0 .3 C 2N /k B
1 H.S; p; N / :
83

c) Für ein homogenes System gilt die Relation
G D E T S C p V D N (Duhem-Gibbs-Relation) :
Damit ist
G
G 0 D N
(4.17)
D N
5
2 k BT C k B T
5 T p
2 ln C ln C
0.T 0 ; p 0 /
G.T; p; N /
T 0 p 0 k B T 0
d) Für das großkanonische Potential berechnet man aus (4.13)
˚
˚ D F N
(4.27)
D 3 2 k
B N.T T0 / C T .N N 0 /
3 T V 3
T
k B
2 ln C N ln C
T 0 V 0 2
˚0
˚.T; V; / :
.N N 0 / C S 0
k B T
N
Aufgabe 4
Aus S D S.T; p/ folgt
@S @S
dS D dT C
@T @p
p
daraus ergibt sich
@S
T dS D T
@T
Aus dG D
@S
D
@p
p
D C p dT C T
T
T
dp ;
@S
dT C T
@p
T
@S
dp :
@p
T
S dT C V dp folgt
@V
;
@T
eingesetzt,
@S
T dS D C p dT C T
@p
@V
D C p dT T
@T
p
T
p
dp :
dp
dp
1. HS
D dE C p dV : (4.31)
84

Für E D E.T; p/ und V D V .T; p/ erhält man
@E @E
dE D dT C dp ;
@T p @p T
@V @V
dV D dT C dp ;
@T @p
p
damit folgt
@V
T dS D C p dT T
@T
@E @V
D C p
@p T @p
Vergleich mit (4.31) ergibt
@V @V
D T
@T @T
p
p
p
T
dp
T
dp C
@V
p
@p
T
@E @V
C p dT :
@T p @T p
(4.32)
ab. Für das van der Waals Gas gilt die Zustandsgleichung
p D
Beachtet man
@p
dp D
@V
a
v 2 C RT
v b : (4.33)
p
T
dV C
@p
@T
V
dT ;
so folgt für .@V =@T / p ,
@p 2a RT @V
D 0 D
@T v 3 .v b/ 2 @T p
1
@V R 2a RT
D
@T v b v 3 .v b/ 2
D
1 T
und
@p 2a
D 1 D
@p v 3
@V 2a
D
@p v 3
T
p C a v 2 2a
v 3
C
R
v b
RT
.v b/ 2 1
(4.34)
RT @V
.v b/ 2 @p
T
1
RT
: (4.35)
.v b/ 2
85

Einsetzen von (4.34) und (4.35) in (4.32) ergibt
@E
@p T
D
p C a v 2
2a
p
v 3
RT
.v b/ 2 1
)
@E
@p T
D a v 2 2a
v 3
RT
.v b/ 2 1
:
(4.36)
.@E=@p/ T < 0, d.h.
p C a v > 2a .v b/
2 v3
RT 2.v b/ RT
>
v b v v b
0 < .v b/ 2 RT
2p .v
p
RT b
b/ C
2p ;
die Lösung dieser quadratischen Gleichung ergibt die Nullstellen,
s RT
.v b/ 1 > RT
4p C 4p
s RT
.v b/ 2 < RT
4p 4p
2
2
RT b
2p ;
RT b
2p :
Aufgabe 5
Sind T und V unabhängige Zustandsvariablen, dann folgt aus S.T; V / und E.T; V /,
@S @S
dS D dT C dV 1.HS
D 1 @T
V
@V
T
T dE C p T dV
@E @E
dE D dT C dV ;
@T @V
V
einsetzen ergibt
dS D 1 @E
T @T
V
dT C 1 T
T
@E
@V
T
C p dV :
dS ist ein totales Differential, somit sind die Integrabiltitätsbedingungen erfüllt,
1 @ @E
D 1 @E
C p
T @V @T
V T
T 2 @V
T
C 1
@ @E @p
C
T @T @V T V @T V
86

dE bildet ebenfalls ein vollständiges Differential, d.h. die partiellen Ableitungen sind vertauschbar
und man erhält
@E @p
D T p : (4.37)
@V @T
T
V
Für die Differenz der spezfischen Wärmen gilt
@E @V (4.37) @p
C p C V D C p D T
@V @T @T
T
p
V
@V
@T p
Mit den Ergebnis, (4.34),
@V
D 1
p C a 2a
@T
p
T v 2 v 2
RT 1
.v b/ 2
und
@p
@T
V
damit
(4.28)
D
R
v b D 1 p C a
;
T v 2
C p C V D 1
p C a 2 2a
T 2 v 2 v 2
RT
.v b/ 2 1
:
87

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 5
1. Aus kalorischen Experimenten sei die Wärmekapazität C V D C V .T; V 0 / bei festem
Volumen V 0 für alle Temperaturen T bekannt. Außerdem sei die thermische Zustandsgleichung
p D p.T; V / vorgegeben.
a) Zeigen Sie, daß damit die innere Energie bis auf eine additive Konstante eindeutig
festgelegt ist.
b) Berechnen Sie die innere Energie und die Entropie eines van der Waals Gases.
ŒHinweis: Mit C V .T; V 0 / ist auch R T
T 0
dT 0 C V .T 0 ; V 0 / bekannt.
2. Die Luftdruckänderung aufgrund der Schwerkraft ergibt sich aus dp D %.z/gdz, wobei
z die Höhe über der Erdbode ist und %.z/ die entsprechende Dichte der Luft ist.
Betrachten Sie die Luft als ein ideales Gas und bestimmen Sie den Druck als Funktion
der Höhe z unter den Vorraussetzungen
a) die Temperatur ist von z unabhängig,
b) der Austausch von Luftmassen verläuft adiabatisch.
3. Schreiben Sie das Massenwirkungsgesetz in der Form
Y
Œc i i
D K.p; T /
i
wobei c i die Konzentration und i die stöchimetrischen Koeffizienten sind. Weiter ist p
der Gesamtdruck.
a) Zeigen Sie,
ln K.p; T / D
1
RT
X
i g i .p; T / :
i
Dabei ist g i .p; T / die molare freie Enthalpie des i-ten Stoffes; geschrieben als
Funktion des Gesamtdrucks.
b) Berechnen Sie
@ ln K
und
@p
T
@ ln K
@T
p
und drücken Sie die Ergebnisse mit Hilfe der Änderung des Molvolumens v D
P
i iv i und der Molenthalpie h D P i ih i . Welche physikalische Bedeutung
hat h?
88

c) Verifizieren Sie, daß
C.T / D K.p; T / p P i i
unabhängig vom Druck ist.
4. Überzeugen Sie sich mit Hilfe der Aufgabe 2, Blatt 4, daß die Entropie s und die Enthalpie
h pro Mol des idealen Gases
T p
s i D s i;0 C c p;i ln R ln und
T 0 p 0
h i D h i;0 C c p;i .T T 0 /
sind. Hier ist c p;i die spezifische Wärme bei konstantem Druck und s i;0 , h i;0 , T 0 und p 0
sind (Integrations-) Konstanten. Bestimmen Sie mit diesem Resultat die Temperaturabhängigkeit
von C.T / aus Aufgabe 3.
5. In einem Gefäß seien Wasser und eine Salzlösung durch eine semipermeable Membrane
getrennt. In beide Flüssigkeiten tauche jeweils ein Rohr ein. Bestimmen Sie die Teilchendichte
des Salzes, wenn der Höhenunterschied der beiden Flüssigkeiten h D 2 cm
beträgt.
89

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Aus dem 1. Hauptsatz dE D T dS p dV folgt
@E @S
D T p ; (5.1)
@V
T
@V
T
@E @S
D T : (5.2)
@T @T
V
V
Mit dem Differential der freien Energie
@S
dF D S dT p dV )
@V
eingesetzt in (5.1) ergibt
@E @p
D T
@V @T
T
Aus der Wärmekapazität C V folgt
C V D
somit
@CV
@V
@E
@T V
T
D @
@T
D
@p
@T
V
(5.2) @S
D T
@T V
@p
T
@T
Damit berechnet man
V
T
D
@p
@T V
; (5.3)
p : (5.4)
V
@ 2 p
C T
)
p
V
@T 2 V
@CV
@V
@p
@T
V
T
D @2 E
@V @T D @2 E
@T @V ; (5.5)
@ 2 p
D T
@T
V
2
: (5.6)
C V .T; V / D C V .T; V 0 / C T
Z V
V 0
dV 0 @ 2 p
@T 2 V
: (5.7)
Nur bekannte Größen, d.h. C.V; T / ist eindeutig bestimmt.
a) Aus (5.5) folgt
@S
D C V .T; V /
@T T
V
:
90

.@S=@T / V und .@S=@V / T sind eindeutig bestimmt, d.h. S D S.T; V / kann berechnet
werden,
) E D E.S; V / :
Ebenso .@E=@T / V D C V .T; V / und .@E=@V / T D T .@p=@T / V p,
) E D E.T; V / ;
alle Potentiale können bestimmt werden.
b) Aus dem ersten Hauptsatz folgt
dS D 1 T dE C p dV ) @S
@T
V
) @2 S
@V @V D 1 T
@S
)
@V
T
) @2 S
@T @V D 1
(5.8) @E
H)
@V
Vermittelst der van der Waalsschen Zustandgleichung
p D RT
v b
erhält man
@E
D T 2 @ R
@V @T v b
T
D 1 @E
T @T
V
@ 2 E
und (5.8)
@V @T
D 1 @E
C p T @V
T
T
@E
C 1
@ 2 E @.p=T /
T 2 @V
T
T @V @T C @T
V
@.p=T /
D T 2 : (5.9)
@T
T
a
v 2 ; v D V n ; (5.10)
a
D T 2
v 2 T
Integration über das Volumen V ergibt
E.T; V / D
V
a
v 2 T D a v D n2 a
2 V : (5.11)
2
n2 a
V C f 1.T / : (5.12)
Damit folgt für die Wärmekapazität
(5.5) @E (5.12)
C V D D df 1.T /
D f 2 .T / : (5.13)
@T dT
V
91

Die Entropie kann aus der Gleichung (5.3) berechnet werden.
@S @p
D D @ RT a
D
R
@V @T @T v b v b : (5.14)
T
V
v 2 V
Integration über das Volumen ergibt mit dV D ndv,
S.T; V / D nR ln.v b/ C f 3 .T / : (5.15)
Für die Funktion f 3 .T / gilt
(5.5)
C V D T
@S
@T
V
(5.15)
D T df 3.T /
D f 2 .T / (5.16)
dT
Die innere Energie und die Entropie des van der Waals Gas sind
E.T; V / (5.12)
D
(5.13)
n 2 a
V C f 1.T / ; S.T; V / (5.15)
D nR ln.v b/ C f 3.T / :
(5.16)
Aufgabe 2
a) Für konstante Temperatur und konstante Teilchenzahl pro Volumen folgt aus der allgemeinen
Gasgleichung
p
% D p 0
% 0
mit p 0 als dem Druck und % 0 der Luftdichte auf Meeresspiegelniveau. Damit folgt
dp D %.z/gdz D p.z/ % 0
p 0
g dz ) dp p D % 0
p 0
g dz ;
daraus ergibt sich
p.z/ D p 0 exp
g z :
p 0
%0
b) Es gilt für einen adiabatischen Luftmassenaustausch
pV D const: ) pV D p 0 V
0
) p p 0
D
V0
Mit % D N=V und konstanter Teilchenzahl pro Volumen folgt
V
p
p 0
D
%0
%
)
p 1=
D %
0
p 1=
p 0 % ) % D % 0 :
p 0
92

Die Luftdruckänderung dp=dz ist somit
dp
dz D %.z/g D p
p 0
1=
g :
Trennung der Variablen und Integration ergibt
p
1
1
1
1
) p D
p
p 0
D % 0 gp 1=
0
z ) p 1 1 p 1 1
0
D
p 1
0
) p D p 0
1
1
1
% 0 gp 1= 1
0
z
% 0 g
p 0
1
z
:
1
1
% 0 gp 1=
0
z
Aufgabe 3
Für eine isotherme, isobare chemische Reaktion ist die Gleichgewichtsbedingung
ıG D 0 ; G D E TS C pV D H TS : (5.17)
Die Molzahlen der beteiligten Reaktionspartner werden mit n i und die in der Reaktion (rechts
positiv, links negativ) auftretenden zugehörigen mit i . Die Molenergie sind reine Funktionen
der Temperatur T , d.h.
E D X i
n i e i .T / ; (5.18)
und für die Enthaplie H,
H D X i
n i h i .T / ; (5.19)
mit h i .T / als der sog. Molenthapie. In der Entropie S tritt die Summe über die Molenthalpien
s i .T; p/ und zusätzlich ein Mischungsterm, vgl. Sommerfeld, auf
S D X
n i s i .T; p/ C R ln n
: (5.20)
n i
i
Vermittelst der Gleichunge (5.17), (5.19) und (5.20) berechnet man
G D X
n i h i .T / T s i .T; p/ RT ln n
X
n i g i .T; p/
n i
i
i
RT ln n
; (5.21)
n i
93

mit g i .T; p/ als der freien Enthalpie pro Mol der einzelnen Kompoenten. Für einen isobaren,
isothermen Prozess folgt
ıG D X
ın i g i .T; p/ RT ln n
RT X n i ı
ln n
n i n i
i
i
D X
ın i g i .T; p/ RT ln n
: (5.22)
n i
i
Das letzte Glied in der vorletzten Zeile verschwindet wegen n D P i n i. Für die Änderung der
Molzahlen in einer gemischten Reaktion gilt
ın 1 W ın 2 W : : : D 1 W 2 W : : : ; (5.23)
damit folgt aus der Gleichgewichtsbedingung ıG D 0 mit (5.23)
X
i
ı i
g i .T; p/ RT ln n n i
0 : (5.24)
a) Umformung der Gleichung (5.24) ergibt
RT X i
i ln n n i
D X i
i g i .T; p/ ;
mit der molaren Konzentration c i D n i
n
X
i ln c i D X
i
i
lnŒc i i
D
1
RT
Mit der Eigenschaft des Logarithmus
Y
ln a i D X ln a i
i
i
ergibt sich
X
i g i .T; p/ :
i
folgt
X
lnŒc i i
i
Y
D ln
i
Œc i i
D ln K D
1
RT
X
i g i .T; p/
i
.Massenwirkungsgesetz/:
(5.25)
b) Wegen
c i D n i
n D p i
p
(5.26)
94

kann man (5.25) auf die Partialdrücke p i umschreiben, mit
Y
Œc i i
D Y i
Q
pi
i
D Œp i i
p p P ;
i i
i
i
erhält man
Y
Œp i i
D p P i i
K.p; T / K p : (5.27)
i
Für die freie Enthalpie pro Mol gilt
@gi
dg i D s i dT C v i dp )
@p
damit berechnet man
@.ln K/
@p
T
(5.25)
D
1
RT
X
i
@gi
i
@p T
T
D v i ; (5.28)
(5.28)
D
1
RT
X
i v i :
Vermittelst der allgemeinen Gasgleichung pv i D RT berechnet man weiter
@.ln K/
@p
D 1 X ✟ ✟ P
RT
✟RT
✟ i
p D i i
p
@ ln p P i i
: (5.29)
@p
T
Desweiteren ist
@ ln K
@T
p
D @
@T
i
1
RT
D 1 X
RT 2
i
X
i g i
i
i
i g i
1
RT
X
i
@gi
i
@T
p
(5.28)
D 1 X
(5.17)
RT 2 i g i C T s i D 1 X
RT 2 i h i : (5.30)
v D P i iv i ist die bei einem einmaligen Reaktionsumsatz auftretende Volumenänderung,
P
@.ln K/ (5.29) i
D
iv i
D
v
@p
RT RT : (5.31)
T
Die freiwerdende Wärmemenge (endotherme Reaktion) oder zuzuführende (endotherme
Reaktionen) Wärmemenge q p ist gleich der Enthalpieänderung h D P i ih i da die
Reaktion isobar abläuft.
@ ln K
@T
p
(5.30)
D
P
i ih i
RT 2
D h
RT 2 D
i
i
q p
RT 2 : (5.32)
95

c) Integration von (5.29) ergibt
K D C.T /p P i i
: (5.33)
Der Vergleich von (5.33) mit (5.27) ergibt
K p D C.T / :
Somit ist
C.T / D K.p; T / p P i i
unabhängig vom Druck.
Aufgabe 4
Mit s, e und v als der Entropie, der inneren Energie und dem Volumen pro Mol lautet der 1.
Hauptsatz
T ds D de C p dv ) ds D de
T C p T
dv : (5.34)
Die innere Energie ist nur abhängig von der Temperatur T ,
@e
@e
de D dV C dT D c V dT ; (5.35)
@V T @T V
„ ƒ‚ …
D 0
eingesetzt ergibt
ds D c V
T dT C p T dv :
Aus der idealen Gasgleichung
pv D RT (5.36)
folgt
d.pv/ D dp v C p dv D R dT : (5.37)
Die Entropie ist somit
ds (5.37)
D c V
T dT C 1 T
(5.36)
D c p
dT
T
R dT
v dp D 1
c V C R dT
T
v
T dp
R dp p : (5.38)
96

Integration von Gleichung (5.36) ergibt
s i s i;0 D c p;i ln T T 0
R ln p p 0
: (5.39)
Das Differential der Enthalpie pro Mol ist
dh D T ds C v dp (5.34)
D de C p dv C R dT p dv
(5.37)
(5.35)
D c V dT C ✟
✟ ✟ p dv C R dT
Integration von Gleichung (5.40) ergibt
✟p ✟✟ dv D .c V C R/ dT c p dT : (5.40)
h i h i;0 D c p;i .T T 0 / : (5.41)
Aus der Gleichung (5.25) aus Aufgabe 3 folgt
ln K D
(5.39)
D
(5.41)
D X i
1
RT
1
RT
X
i
i g i .T; p/ (5.17)
D
1
RT
X
i hi .T /
i
T s i .T; p/
X
i
h i;0 C c p;i .T T 0 / T
s i;0 C c p;i ln T R ln p
T 0 p 0
i
i
hi;0 c p;i T 0
RT
c p;i
R C s i;0
R C c p;i
R ln T T 0
ln p p 0
D X i
D X i
DW q p0
‚ …„ ƒ
i .h i;0 c p;i T 0 /
RT
C i
s i;0 c p;i
R
„ ƒ‚ …
DW i
i c qp0
T p;i =R
RT C i i C ln C ln
T 0
T
i c p;i =R p
i
C ln C ln
T 0 p 0
i
p
;
p 0
daraus folgt
K.p; T / D
P
p
i P i c p;i
i i R
T
p 0 T 0
X
exp
i
i i
q p0
: (5.42)
RT
97

Mit der Relation aus Teilaufgabe 3c folgt
C.T / D p P i i
K.p; T /
P
D p P i i
p
i P i c p;i
i i R
T
p 0 T 0
P
P i c p;i
i
) C.T / D p
i
T
i R
0
T 0
X
exp
i
X
exp
i
i i
i i
q p0
RT
q p0
RT
:
Aufgabe 5
van’t Hoffsches Gesetz,
p osm D c NaCl RT D ! .% NaCl C % LM / g h ;
„ ƒ‚ …
GewichtNaClCLM
mit c Salz als der Salzkonzentration im Lösungsmittel. Ist M die molare Masse des Salzes, dann
ist
% Salz D m NaCl
V
daraus folgt
D n M NaCl
V
D c NaCl M NaCl ;
c NaCl RT D .c NaCl M NaCl C % LM /gh ) c NaCl .RT
) c NaCl D
.RT
% LM
mit % LM D 1000kg=m 3 ,
R D 8; 3
ergibt
M NaCl gh/ gh ) c NaCl D
J
mol K und M NaCl D 58; 5 g
mol
M NaCl gh/ D % LM gh
% LM
. RT
gh
M NaCl /
c NaCl D
.
8;3273
9;81210 2
1000 kg
m 3
58; 5 10 3 / kg
mol
) c NaCl D 8; 66 10 8 mol
cm 3
98

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 6
1. Bestimmen Sie die kritischen Koordinaten .p c ; T c ; v c / für
a) für ein van der Waals Gas und
b) für ein Gas, welches durch die Dieterici–Zustandsgleichung
a
p.v b/ exp D RT
vRT
beschrieben wird.
c) Schreiben Sie die Zustandsgleichungen unter Zuhilfenahme der Definitionen
Np D p p c
;
NT D T T c
und Nv D v v c
stoffunabhängig.
2. Betrachten Sie eine Substanz mit zwei gasförmigen Phasen A und B, welche den Zustandsgleichungen
p v A D R A T und p v B D R B T
genügen. R A und R B sind phasenspezifische Konstanten und v ist das Volumen eines
Mols. Für die spezifischen Wärmen bei konstantem Druck gilt c p;A .T / D c p;B .T / D
c p .T /. Berechnen Sie die Koexistenzkurve p B .T /, bei der die beiden Phasen im Gleichgewicht
sind. Berechnen Sie die Übergangswärme q aus der Differenz der Entropien in
den beiden Phasen und verifizieren Sie, daß q temperaturunabhängig ist.
3. Durch Druckänderung verschiebt sich die Temperatur T S bei der eine Flüssigkeit siedet.
Eine solche Druckänderung kann durch eine (Salz)Lösung (Konzentration c) hervorgerufen
werden.
a) Bestimmen Sie die Änderung des chemischen Potentials auf Grund der Zugabe des
zu lösenden Stoffes.
b) Das Lösungsmittel kann in zwei Phasen (gasförmig/flüssig) auftreten, wobei der
Stoff nur in der flüssigen Phase gelöst werden kann. Bestimmen Sie die Änderung
von T S bis zur linearen Ordnung in c.
c) Berechen Sie, bei welcher Salzkonzentration Wasser auf der Zugspitze bei 100 ı C
siedet.
99

ŒHinweis: Vergeichen Sie die Temperaturänderung aus Teilaufgabe b) mit der entlang der
Dampfdruckkurve
4. Betrachten Sie ein System, indem keine chemischen Reaktionen stattfinden. Das System
bestehe aus Phasen und K Komponenten. In allen Phasen seien Temperatur T und
Druck p gleich. Für die freie Enthalpie G gilt
G D
X
G˛ ; G˛ D G˛.p; T; n i;˛/ ; .i D 1; : : : ; K/
˛D1
mit G˛ als der freien Enthalpie der einzelnen Phasen. Zeigen Sie, daß das System
f D 2 C K
Freiheitsgrade besitzt.
ŒHinweis: Berücksichtigen Sie bei der Variation .ıG D 0/, daß die Gesamtmolzahl der
einzelnen Komponenten erhalten ist . P˛ nj;˛ D const:/ mittels Langrange–Multiplikatoren.
100

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Zustandsgleichung des van der Waalsschen Gases
p C a v 2
.v b/ D RT ) p D RT
.v b/
a
v 2 : (6.1)
Man berechne Sattelpunkt der Funktion p.v/ für T D const:, d.h.
@p
@v
T
@ 2 p
D
@v 2 T
D 0 :
Für die erste Ableitung folgt aus (6.1)
@p
RT
D 0 D
@v .v b/ C 2a
2 v 3
T
und für die zweite Ableitung
) 2a
v 3 D
RT
.v b/ 2 ; (6.2)
@ 2 p
@v 2 T
D
2RT 6a
.v b/ 3 v 4
(6.2)
H) 3 v ✟RT
✟
✘✘ ✘ ✘
) 3 v 2a
v 3 D
.v b/ D 2 ✟RT
✟
2 .v b/✁3
RT
.v b/ 3
) 2v D 3v 3b ) v c D 3b : (6.3)
Die kritische Temperatur T c wird aus (6.2) berechnet,
2a
.3b/ 3 D
RT c
.3b b/ ) RT 2 c D 2a
27b 3 4b2 ) RT c D 8
a
27
Aus (6.3) und (6.4) berechnet man die den kritischen Druck aus (6.1)
b : (6.4)
p c D
8 a
27 b
2b
a
9b D 4
2 27
a
b 2
3a
27b ) p 2 c D 1
27
a
(6.5)
b 2
b) Zustandsgleichung des Dieterici-Gases
p.v
b/e a
vRT D RT ) p D
RT
v b e a
vRT : (6.6)
101

Die erste Ableitung ist
@p RT a ✟ ✟
RT
D
@v
T
.v b/ 2e vRT C
.v b/ a
v 2 ✟RT ✟e
a
vRT
RT
D
.v b/ C a
a
e
2 v 2 vRT (6.7)
.v b/
(6.6) RT
D
.v b/ C a .v b/
2 v 2 .v b/ RT
p
a 1
D
p : (6.8)
v 2 RT v b
Aus (6.8) berechnet man die zweite Ableitung
@ 2 p 2a
D
v 3 RT C 1
a
p C
.v b/ 2 v 2 RT
@v 2 T
D
1
.v b/ 2 2a
v 3 RT
p 0
1 @p
v b @v
T
„ ƒ‚ …
) 2a
v 3 RT D 1
.v b/ 2
(6.7)
H) 2✚a
✟
v✁3 ✟ RT D ✚a
v 2 .v b/✟RT
✟
) 2.v b/ D v ) v c D 2b : (6.9)
Vermittelst (6.7) berechnet man die kritische Temperatur T c ,
a
v 2 ✘✘✘✘
.v b/ D RT
.v ) a b/✁2 v D RT
2 .v b/
(6.9)
H) a
4b D 2
RT c
2b b
) RT c D a
4b : (6.10)
Einsetzen von (6.9) und (6.10) in (6.6) ergibt für den kritischen Druck
a
4b
p c D
2b b exp a
) p c D a
2b
4b e 2 : (6.11)
2
a
4b
c) Für das van der Waalssche Gas erhält für (6.3), (6.4) und (6.5),
8
1 ✚a
NT
Np
27b D
27
✁b
✁a 2 Nv 3✓b ✓b
) Np 3 D 8 NT
3 .3Nv 1/
✚a
Nv 2 9 b 2
1
Nv ) Np C 3 .3Nv 1/ D 8 NT : (6.12)
2 Nv 2
D 0
102

Mit (6.9), (6.10) und (6.11) berechnet man für das Dieterici-Gas (6.6)
Np ✚a
✁4 b 2 e 2 D
) Np D
NT ✁ a
✁4✁b ✚a 2
2✓b Nv ✓b exp ✁2✓b Nv NT ✁ a
✁4✁b
NT
.2Nv 1/ e2 2
Nv NT : (6.13)
2.0
1.5
Np
1.0
0.5
Drei Isothermen für das van der Waals Gas, (6.12),
für T D 1; 05T c (obere Kurve), T D T c (mittlere
Kurve) und T D 0; 9T c (untere Kurve).
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
2.0
Nv
1.5
Np
1.0
0.5
Drei Isothermen für das Dieterici Gas, (6.13), für
T D 1; 2T c (obere Kurve), T D T c (mittlere
Kurve) und T D 0; 8T c (untere Kurve).
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Aufgabe 2
Aus den Zustandsgleichungen
Nv
p v i D R i T ; i D fA; Bg (6.14)
folgt mit der Maxwellrelation aus dG D
@si @vi (6.14)
D D
R i
@p @T p
T
p
S dT C V dp,
103
(6.15)

Integration ergibt die Entropie
s i .T; p/ D R i
p
p 0
C f i .T / : (6.16)
Für konstanten Druck sind sind die spezifischen Wärmen gleich,
@si
c p;i D T D Tf i .T / 0 c p ;
@T
p
Die Ableitungen der beiden Funktionen f i .T / 0 sind gleich. Der 3. Hauptsatz, s i
T ! 0 impliziert f A .0/ D f B .0/, damit sind die beiden Funktionen gleich,
! 0 für
f A .T / D f B .T / f .T / :
Die Entropien (6.16) legen die Übergangsenthalpie fest,
q D T .s A s B / D T R A ln p koex
C R B ln p
koex
p 0 p
0
pkoex
D T .R A R B / ln : (6.17)
p 0
Die Übergangsenthalpie wird im Phasengleichgewicht gemessen, d.h. für den Druck p D p koex
der Koexistenskurve. Für die Koexistenzkurve p koex gilt
dp koex
dT D q
T .v A v B / D p
koex
T
ln pkoex
p 0
.Clausius Clapeyron Gleichung/ :
(6.18)
Integration durch Trennung der Variablen ergibt
pkoex
Z
1
dp koex
p koex ln D dT
p 0 T
pkoex T0
) ln ln D ln
p 0 T
pkoex
) ln D T 0
) p koex
D exp
p 0 T p 0
T0
T
) p koex D p 0 exp
T0
T
: (6.19)
Einsetzen von (6.19) in (6.17) ergibt schließlich
q D .R A R B / T 0 : (6.20)
für die Übergangsenthalpie. Die Übergangsenthalpie ist längs der Koexistenzkurve konstant.
104

Aufgabe 3
a) Die Lösung habe die Konzentration c. Für den Druck des gelösten Stoffes gelte das van’t
Hoffsche Gesetz
p osm D n c k B T : (6.21)
Aus der Duhem-Gibbs-Relation d D s dT C v dp folgt mit v D V =N D 1=n,
@
D v D 1 @p n : (6.22)
T
Für das chemische Potential D .T; p; / gilt
@ @ dT D0 @
d D dT C dp H) D
@T p @p T
@p T
p : (6.23)
Das chemische Potenial c .T; p/ des Lösungsmittels ist für p p und c 1,
@
c .T; p/ D .T; p p/ .T; p/ p (6.21)
D
@p
.T; p/ n c
(6.22) n k BT
T
D .T; p/ ck B T (6.24)
Für das reine Lösungmittel erfolgt der Übergang liquid$gasförmig an der Stelle .p; T S /
des Phasendiagrams,
liq .T S ; p/ D g .T S ; p/ .c D 0/ : (6.25)
Ist in der flüssigen Phase ein Stoff der Konzentration c gelöst, dann ist das chemische
Potential liq durch c;liq aus (6.24) zu ersetzen. Bei gleichem äußeren Druck p wird liq
bei einer anderen Temperatur T S C T S gleich g sein,
c;liq .T S C T S ; p/ D g .T S C T S ; p/ .c ¤ 0/ : (6.26)
Durch (6.25) ist ein Zusammenhang zwischen der Konzentration c und der Änderung
T S der Übergangstemperatur gegeben.
b) In der gasförmigen Phase sei die Konzentration des Stoffes c g , in der flüssigen Phase c liq .
Nach Teilaufgabe a, (6.26), folgt aus die Übergangstemperatur aus
cliq ;liq.T S C T S ; p/ D cg ;g.T S C T S ; p/ : (6.27)
105

Vermittelst der Duhem-Gibbs-Relation d D
s dT C v dp folgt
cliq ;liq.T S C T S ; p/ (6.24)
liq .T S C T S / c liq k B .T S C T S /
liq .T S ; p/ s liq T S c liq k B T S ;
cg ;g.T S C T S ; p/ (6.24)
g .T S C T S / c g k B .T S C T S /
g .T S ; p/ s g T S c g k B T S
Der Term ck B T S ist quadratisch in den kleine Größen c und T S und kann deshalb
vernachlässig werden. Mit (6.25) und (6.26) ergibt sich
s liq T S C c liq k B T S D s g T S C c g k B T S
) .s g s liq /T S D .c liq c g /k B T S ) T S
T S
D .c liq c g /
k B
.s g s liq / :
Mit der Umwandlungsenthalpie q D T S .s g
s liq / folgt schließlich
T S
D .c liq c g / k BT S
T S q
: (6.28)
c) Der äußere Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab, dadurch kommt es zu einer
Siedepunktserniedrigung T .1/
S
. Eine Salzkonzentration erhöht dagegen den Siedepunkt
um T .2/
S
. Damit das Wasser bei 100ı C siedet, müssen sich die beiden Effekte gerade
kompensieren. Nimmt man eine konstante Steigung der Dampfdruckkurve an, so gilt für
die Steigung
p
p 0 C p
fest flüssig gasförmig
p 0
T
T S
106

dp D
dT D
p
T .1/
S
) T .1/
S
D p
dp D =dT : (6.29)
In der Gasphase ist die Salzkonzentration null, d.h. mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 3b
erhält man
T .2/
S
D c liq
R T 2 S
q
: (6.30)
Die Änderung der Siedetemperatur ist damit
T S D T .1/
S
C T
.2/
S
(6.29)
D
(6.30)
p
dp D =dT C c liq
R T 2 S
q
!
D 0 : (6.31)
Der Wasserdampf verhalte sich für v g v liq wie ein ideales Gas, damit
p v g D R T S ) v g D R T S
p : (6.32)
Die Änderung dp D =dT wird aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung, (6.18), bestimmt,
dp D
dT D
q
q (6.32)
D
T S .v g v liq T v g
q p
R T 2 S
Aus (6.31) berechnet man nun für die Salzkonzentration
!
p
dp D =dT D p
p R T 2 S
q
: (6.33)
p
c liq D
dp D =dT q (6.33)
p
R T 2 p ✟✟✟ R T 2 S ✓
S
✓ q
q D
p
✟R ✟✟ T 2 p : (6.34)
S
Die Druckänderung p=p wird aus der barometrischen Höhenformel,
0
p.z/ D p 0 exp g z
p 0
berechnet. Es gilt
p D p.z/ p 0 ) p
p 0
D exp
0
g z
p 0
1 (6.35)
Der Formelsammlung entnimmt für die Dichte der Luft % 0 D 1; 293 kg/m 3 bei einer
Temperatur von 273 K und einem Luftdruck 1013 mbar. Daraus berechnet man für eine
Höhe von z D 3 10 3 m
% 0
p 0
g z D
kg
1; 293
m 3
1013 10 2 Pa 9; 81 m s 3 2 103 m 3 D 0; 376 ;
die Konzentration berechnet sich damit zu
0
c liq exp g z 1 D e 0;376 C 1 D 0; 31 ) c liq 0; 31 :
p 0
107

Aufgabe 4
Für vorgegebener Temperatur und Druck ist das Gleichgewicht durch G D N D minimal
bestimmt. Variation ergibt für die freie Enthalpie
.ıG/ T;p D
KX
jD1 ˛D1
X
@G˛
@n j;˛
p;T;n i;ˇ
ın j;˛ D
KX
jD1 ˛D1
Aus P˛ nj;˛ D const: folgt, dass die Molzahlen die Nebenbedingung
X
ın j;˛ D 0
˛D1
X
j;˛ ın j;˛ : (6.36)
erfüllen müssen. Multiplikation dieser Gleichung mit den Lagrange-Multiplikatioren
Addition mit (6.36) ergibt
j und
KX X
jD1 ˛D1
j;˛ j
ınj;˛ D 0 :
Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn alle Klammern einzeln verschwinden
j;˛ j D 0 ; ˛ D 1; 2; : : : ; ;
d.h. im Gleichgewicht sind die chemischen Potentiale einer Stoffkomponente in allen Phasen
gleich. Bedingungen für das Phasengleichgewicht
(6.37)
1;1 D 1;2 D : : : D 1;
2;1
:
D 2;2 D : : :
:
D 2;
K;1 D K;2 D : : : D K;
Im System seien p, T und die Zusammensetzung jeder einzelnen Phase vorgeben. Sin in jeder
Phase ˛ die K Molenbrüche x 1;˛; x 2;˛; : : : ; x K;˛ abzüglich der Bedingung P K
jD1 x j;˛ D 1.
Insgesamt 2 C .K 1/ Variablen, zu deren Bestimmung die K. 1/ unabhängige Gleichungen
(6.37) zur Verfügung stehen. Das Sytem hat damit
f D 2 C .K 1/ K. 1/ D 2 C ✟ ✟ K ✟ ✟ K C K
) f D 2 C K .GibbschePhasenregel/ (6.38)
Freiheitsgrade.
108

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 7
1. Betrachten Sie eine Phasenumwandlung 2. Art in der Landau Theorie. Die “freie Energie”
hat die Form
F.T; V; / D F 0 C B 2 C D 4 ;
mit als dem Ordnungsparameter und den temperatur- und volumenabhängigen Koeffizienten
B.T; V / und D.T c ; V /. Für den Koeffizienten B gilt aus Stabiltitätsgründen
weiterhin
B D b.V / .T T c / :
In der Umgebung der kritischen Temperatur T c sind die Zustandsgrößen Potenzfunktionen
von jT T c j jtj. Die entsprechenden Exponenten sind die sog. kritischen
Exponenten. Die Gleichgewichts- und Stabilitätsbedingungen sind
@F
@ 2 F
D ˚ D 0 und > 0 :
@
@ 2
In der nachfolgenden Tabelle sind die physikalischen Größen mit ihren kritischen Exponenten
aufgeführt:
Physikalische kritischer Temperatur-
Größe Exponent bereich
Ordnungsparameter ˇ T < T c
Suszeptibiltität
0 T < T c
D .@=@˚/ T T > T c
˛0
T < T
Wärmekapazitäten C , c
C˚
˛ T > T c
Berechnen Sie die Potenzgesetze für den Ordnungsparameter, die Suszeptibilität und die
Wärmekapazitäten und bestimmen Sie die Zahlenwerte der kritischen Exponenten in der
Landau-Theorie.
2. Betrachten Sie folgende Funktion von zwei Variablen
F .t; / D t 2 C t 3 :
a) Bestimmen Sie für die Extremalfunktion
@F
E .t/ aus D 0 :
@
t
109

) Bestimmen Sie die Konstanten a und b derart, daß F .t; / D F . a t; b / ist.
c) Verifizieren Sie, daß dann E .t/ t b=a gilt.
d) Überzeugen Sie sich weiterhin, daß die Extremalbedingung an F . a t; b / auf
b D E . a t/ führt.
3. Betrachten Sie die Binomialverteilung
P N .n/ D
N !
.N n/!n! pn q N n
im Grenzfall N ! 1 bei festem p und q D 1 p.
a) Entwickeln Sie den Logarithmus der Binomialverteilung lnP N .n/ um den Mittelwert
hni D Np bis zur quadratischen Ordnung in D n hni. Setzen Sie dazu
n D Np C und N n D N q und verwenden Sie die Stirlingsche Formel
N ! p 2N
N
e
N
:
b) Der relevante Bereich einer scharfen Verteilung (in dem diese signifikant von Null
verschieden ist) wird durch die Breite charakterisiert: jn hnij n. Untersuchen
Sie diesen Bereich der Verteilung in . Warum verschindet für N ! 1 dort der
lineare Term in der quadratische aber nicht? Wie lautet demnach die Verteilungsfunktion
in diesem Grenzfall (Normalverteilung)? Wie ist diese Verteilungsfunktion
normiert?
4. Betrachten Sie eine n–dimensionale Kugel mit dem Radius R. Das infinitesimale Volumenelement
lässt sich in Kugelkoordinaten schreiben als d n x
q
D dx 1 dx 2 : : : dx n D
d˝nr n 1 dr. Dabei ist d˝n das Raumwinkelelement und r D x 2 1 C : : : C x2 n der radiale
Abstand vom Zentrum.
a) Zeigen Sie für das Raumwinkelintegral
Z
d˝n D
nn=2
. n C 1/ :
2
Für nicht–negative ganzzahlige Argumente ist
Argumente gilt die Integraldarstellung
.x/ D
Z 1
0
dt e t t x 1 :
.n C 1/ D n! und für beliebige
ŒHinweis: Berechnen Sie R 1
1 d n x e x2 1 x2 2 ::: x2 n in sphärischen und kartesischen
Koordinaten.
110

) Berechnen Sie das Volumen der n-dimensionalen Kugel:
Z
V n D d n x :
rR
111

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
i) Ordnungsparameter
Aus der Forderung .@F=@/ T D ˚ D 0 folgt
@F
@
T
D 2B C 4D 3 D 2.B C 2D 2 / D 0 ) D
(
0q
B
2D
: (7.1)
Aus der Stabilitätsbedingung .@ 2 F=@ 2 / T > 0 folgert man
@ 2 F
@ 2 T
D 2B C 12D 2 > 0 )
(
2B > 0 für D 0
q
4B > 0 für D
B
2D
: (7.2)
Mit
B D b.T T c / )
(
B > 0
B < 0
für T > T c
für T < T c
folgt mit (7.2) für den Ordnungsparameter das Potenzgesetz
(q
b
D
.T 2D c T / . t/ˇ für T < T c
(7.3)
0 für T > T c
mit
ˇ D 1 2 :
ii) Suszeptibilität
D
1
@˚
@
T
D
mit (7.3) erhält man
T < T c W
D
1
@ 2 F
@ 2 T
2B
(7.2)
D
1
2B C 12D 2 ;
T > T c W D 1
2B D 1
2b.T T c / ; 112
12✚D B 1
D 1
2✚D 4B D 1
4b.T T c / ;

somit folgt für die Suszeptibilität
D
(
1
D 1
. t/ 0
4B 4b.T T c
für T < T
/ c
1
D 1
t ;
2B 2b.T T c
für T > T
/ c
daraus liest man
0 D D 1
ab.
iii) Wärmekapazitäten
Mit der Wärmekapazität
c D d Q
dT D T dS
dT
und S D S.T; /,
@S
dS D dT C
@T
folgt
c D T
@S
C
@T
@S
@ T
@S
@
T
d ;
d
:
dT
Daraus folgen die Wärmekapazitäten
@S
C D T ; (7.4)
@T
@S @S @ @S
C˚ D T C
D T : (7.5)
@T
@
T
@T
˚
@T
˚
Nach (7.3) ist D 0 für T > T c , d.h. aus (7.4) und (7.5) folgt
@S0
C D C˚ D T :
@T
Vermittelst der Maxwell-Relation S D
.@F=@T / erhält man
C D C˚ D
@ 2 F 0
T C
@T
2 0
. t/ ˛0
; (7.6)
113

somit ist ˛0 D 0. Für T < T c gilt mit der Maxwell-Relation für S
(7.5) @S @ @F
@ @F0
C˚ D T D T
D T
@T ˚ @T @T ˚ @T @T ˚
@S0 @ @B
D T T
@T @T @T
2 ˚
(7.6) @ 2 B @B @
D C 0 T 2 T 2 ;
@T
@T
˚
@T 2
mit B D b.T T c / folgt
@
C D C 0 2bT
@T
˚
@ @B
2
T
@T @T
: (7.7)
Aus ˚ D 2B.T; V / C 4D.T c ; V / 3 folgt für ˚ D const:
@˚ @B
@
@
@T D 0 D 2 C 2B C 12D 2
@T
˚
@T
˚
@T
˚
@
)
B C 6D
2 @B @ b
D ) D
@T
@T @T B C 6D : 2
˚
Mit 2 D
@
D
@T B
˚
B
2D für T < T c folgt
b
3B D b
2B :
Eingesetzt in die Wärmekapazität C˚ ergibt
C˚ D C 0
✁2bT b
✁2B D C 0
b 2 2 T
B
˚
D C 0 C b2 BT
2BD
D C 0 C T b2
2D t ˛ ; (7.8)
daraus liest man ˛ D 0 ab. Zusammengefaßt:
Physikalische kritischer Potenz- Zahlen- Temperatur-
Größe Exponent gesetz wert bereich
Ordnungsparameter ˇ . t/ˇ 1=2 T < T c
˚
˚
Suszeptibiltität
Wärmekapazitäten
0 . t/ 0 1 T < T c
t 1 T > T c
˛0
C C˚ . t/ ˛0
0 T < T c
˛
˛
C C˚ t 0 T > T c
114

Aufgabe 2
a) Aus F .t; / D t 2 C t 3 folgt
@F
@ t
b) Es gelte
D 0 D 2t E C t 3 ) E D t 2 2 : (7.9)
F . a t; b / D a t 2b C 3a t 3 b D aC2b t 2 C 3aCb t 3
D F .t; / ; (7.10)
daraus folgt das Gleichungssystem
a C 2b = 1
^ 3a C b = 1
Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt ergibt
a C 2.1 3a/ D a C 2 6a D 5a C 2 D 1 ) a D 1 5 ;
und damit
1 C 10b D 5 ) b D 2 5 :
c) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b folgt
b
a D 2 ✁5 ✁5
1 D 2 ;
und dem aus Teilaufgabe a
E
(7.9)
t 2 D t b=a :
d) Mit (7.10) aus Teilaufgabe b folgt
@F . a t; b
D 0 D 2 a 2b t C 3a b t 3
@
t
) 2 a 2b t D 3a b t 3
) 2 b D 2a t 2 D . a t/ 2
) b D 1 2 .a t/ 2 :
115

Aufgabe 3
a) Mit den Logarithmen-Gesetzen folgt
N !
ln P N .n/ D ln
.N n/!n! pn q N n
D ln N ! ln.N n/! ln n! C n ln p C .N n/ ln q : (7.11)
Vermittelst der Stirlingschen Formel
N ! p N N
2N ) ln N ! 1 ln.2N / C N ln N N (7.12)
e
2
berechnet man
ln n! 1 ln.2n/ C n ln n n ; (7.13)
2
ln.N n/! 1 lnŒ2.N n/ C .N n/ ln.N n/ .N n/ : (7.14)
2
Einsetzen der Gleichungen (7.12), (7.13) und (7.14) in (7.11) ergibt
ln P N .n/ D 1 ln.2N / C N ln N
2 ✚✚
1
2
D 1
2 ln
N
1
2 lnŒ2.N n/ .N n/ ln.N n/ C .✚ ✚N ✚n/
ln.2n/ n ln n C✚n C n ln p C .N n/ ln q
N
C N ln N .N n/ ln.N n/
2.N n/n
n ln n C n ln p C .N n/ ln q : (7.15)
Mit n D Np C und N n D N q folgt weiter
ln P N .n/ D 1
2 ln N
C N ln N .N q / ln.N q /
2.N q/.Np C /
.Np C / ln.Np C / C .Np C / ln p C .N q / ln q
1
2 ln N
D 1
2.N q /.Np C / 2 ln 2N q.1
D 1
2 ln 1
2Npq
N
/Np.1 C / N q Np
1
2 ln 1 C
N q
1
2 ln 1 C
Np
116

D 1
2 ln 1 1
2Npq 2 ln 1
1
N q 2 ln 1 C
C N ln N
Np
.N q / ln.N q / ln q/ .Np C / ln.Np C / ln p
ln.N q / ln q/
D ln N q
1
ln.Np C /
N q
ln q
D ln N C ✚ ✚ ln q C ln 1
N q
D ln N C ln 1 ;
N q
ln p D ln N C ✟ ✟ ln p C ln 1 C
Np
D ln N C ln 1 C
Np
✚ln ✚ q
✟ln ✟ p
D 1
2 ln 1 1
2Npq 2 ln
1
N q
.N q / ln N C ln 1
N q
.Np C / ln N C ln 1 C
Np
D 1
2 ln 1 1
2Npq 2 ln
1
N q
C ln N N .N q / .Np C /
.N q / ln 1 .Np C / ln
N q
1
2 ln 1 C
C N ln N
Np
1
2 ln 1 C
Np
1 C
Np
ln.1 C x/ x
ln.1 x/ x
x 2
2 C O.x3 / ;
x 2
2 C O.x3 / :
117

D 1
2 ln 1 1
2Npq 2 Np
1
.N q /
N q 2
N q
1
2 Np
2
2
C ln N N .N q / .Np C /
„ ƒ‚ …
0 ;O. 1 /!0
1 2
N q 2 Np
1
.Np C /
Np 2
2
Np
D 1 2 2
2 ln 1 1 1 1
2Npq 2 Np 2 Np N q 2 Np
2 2
1
1
.N q /
.Np C /
N q 2 N q
Np 2 Np
D 1
2 ln 1 1 1 1 1
C
2Npq N 2 2 1
p q 4 N 2 q C 1
1
2 4 N 2 p 2
2 2
1
1
.N q /
.Np C /
N q 2 N q
Np 2 Np
.N q /
2
N q
D ✚ C 1 2 N q
1
2 1
2 N q
2
N q
1
2
1 2
2 N q
1 3
2
1
Np
.Np C /
Np
2
✚ C 1 N 2 q 2 2 Np
D 1
2 ln 1 1 1 1
2Npq N 2
p q
1
C 2 1
4 N 2 p C 1 1 1 1
2 4 N 2 p 2 2 N q
2
1 2
2 Np
3
Np C 1 2 N 2 p 2
1 1
:
2 Np
Die Entwicklung des Logarithmus der Binomialverteilung lautet damit
ln P N .n/ 1
2 ln 1
C 1 1 1
2Npq N 2 q p
1
C 2 1
4 N 2 p C 1
1 1 1 1 1
: (7.16)
2 4 N 2 p 2 2 N q 2 Np
118

) Für große N gilt hi p N , damit erhält man aus (7.16)
ln P N .n/ N !1
! 1 2 ln
1
2Npq
C
0
✁ ✁✕
✁N
1
2
1
q
1
p
1
C 2 1 ✒0
4
N 2 p C 1 1 ✒0 1 1 1
2
4
N 2 p 2 2 N q 2
D 1
2 ln 1
2 1
2Npq 2 N q C 1
Np
1
Np
C O.1= p N /
1
N q C 1
Np D p C q
Npq ;
mit
n D Np C
N n D N q C
) ✚n C N ✚n D N.p C q/ C 2 ) p C q D 1
folgt
1
N q C 1
Np 1
Npq :
N
D 1
2 ln 1
2
1
2Npq 2 Npq 1
2 ln 1
2 n 2
2
2 n 2 ;
dabei wurde hn 2 i D Npq verwendet. Daraus folgt für die Binomialverteilung
1 2
P N .n/ D exp ln p
2 n
2 2 n 2
1
D p exp 2
2 n
2 2 n 2
) P N .n/ D
1 .n hni/
2
p exp 2 n
2 2 n 2
Substitution y WD n hni und
Z 1
p
dx e a2 x
2
D ; .a > 0/
0
a
ergibt für die Normierung
Z
1 1
y 2 1
p dy exp D p
2 n
2
0 2 n 2 ✘✘ ✘ ✘ ✘ p ✘ ✘ ✘ ✘
2 n ✘✘ 2 1 :
2 n
2
: (7.17)
119

Aufgabe 4
a) Mit
Z 1
dx e a2 x 2 D
1
erhält man
Z 1
d n x exp˚
1
p
nX
iD1
a
x 2 i
)
Z 1
1
D n=2 :
dx e x2 D p
Für d n x D d˝nr n 1 dr berechnet man vermittelst der Substitution r D p t ! dr D
dt=.2 p t/
Z 1 Z
Z Z 1
dr r n 1 d˝n e r dt
2
D d˝n
0
0 2 p t t .n 1/=2 e t
Z Z
1 1
D d˝n dt t n 2 1 e t
2 0
„ ƒ‚ …
)
Aus
Z
.x/ D
folgt
D 1 2
n
2
Z
D
.n=2/
d˝n n=2
d˝n D 2n=2
. n 2 / : (7.18)
Z 1
0
.x C 1/ D
p:I:
D
D x
dt e t t x 1
Z 1
dt e t t x D
1
e t t x C
0
0
Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
d
dt
dt e t
dt e t x t x 1
dt e t t x 1 D x .x/ ;
die Gleichung (7.18) kann damit umgeformt werden,
Z
d˝n D 2n=2 2n n=2
. n D
/ n . n / D nn=2
n
. n / D n n=2
. n :
C 1/
2 2 2 2 2
(7.19)
120
t x

) Für das Volumen einer n-dimensionalen Kugel erhält man mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe
a,
Z
V n D
drr n 1 d˝n D
Z R
0
r
n
D
n
dr r n 1 Z
R
0
d˝n
) V n D n=2 R n
. n 2
1/ :
n n=2 Rn
. n D
C 1/
2 ✚n ✚n n=2
. n C 1/ 2
121

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 8
1. Betrachten Sie ein abgeschlossenes, quantenmechanisches System, das aus einem Ensemble
unterschiedlicher Zustände aufgebaut ist. Ein bestimmter Zustand j i i ist mit
der Wahrscheinlichkeit p i realisiert, wobei gilt
X
p i D 1 :
i
Der Mittelwert einer Observablen A ist hAi D P i p ih i jAj i i und
% D X i
p i j i ih i j :
ist die Dichtematrix des Systems.
a) Zeigen Sie, dass für den Mittelwert hAi D Tr.%A/ gilt. Bestätigen Sie sodann,
% 2 ¤ %.
b) Verifizieren Sie, dass die Entropie
S WD k B Tr. ln / ; ln % D X i
ln p i jiihij ;
eines abgeschlossenen quantenmechanischen Systems zeitlich konstant ist.
2. Betrachten Sie einen ein-dimensionalen harmonischen Oszillator beschrieben durch
H D p2
2m C 1 2 m!2 q 2 :
Die Eigenfunktionen n .q/ für die Eigenwerte
E n D n C 1
!
2
sind gegeben durch
n.q/ D
1
m!
4
H n ./
p
2n n! e 1 2 2 ;
D
r m!
q :
mit H n ./ als den hermiteschen Polynomen,
H n ./ D . 1/ n e 2 d
d
n
e 2 D e2
p
Z 1
1
du . 2iu/ n e u2 C2iu :
122

Berechnen Sie die Matrixelemente der Dichtematrix % D expf ˇHg, ˇ D k B T , des
ein-dimensionalen harmonischen Oszillators im Ortsraum. Nutzen Sie die Integraldarstellung
der hermiteschen Polynome und die Integralformel
Z 1
1
Z 1
1
nX nX
dx 1 : : : dx n exp a jk x j x k C i
1 2
j k
D .2/ n
2 1 X
p exp A
1
jk
det.A/ 2
b jb k :
Diskutieren Sie den Grenzfall
!
k B T D ˇ! 1 :
nX
b k x k
3. Berechnen Sie hq 2 i und hp 2 i aus der Dichtematrix in der Ortsdarstellung für den eindimensionalen
harmonischen Oszillator, verwenden Sie dazu Ihre Ergebnisse aus Aufgabe
2.
k
123

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Die Spur ist definiert, vermöge
Tr X D X n
hnjXjni ;
mit fjnijg als ein beliebiges vollständiges Orthonormalsystem. Es gilt damit
Tr.%A/ D X X
p i hnj i ih i jAjni
n
D X n
i
X
i
p i h i jA jnihnj
„ƒ‚…
D 1
ii D X i
p i h i jAj i i D hAi ;
und
% 2 D X i
X
p i p j j i ih i j j ih j j ¤ % :
j
b) Mit der Schrödinger-Gleichung
i @ jii D Hjii ;
@t i
@ hnj D hnjH
@t
folgt
@
@t ln % D X i
D
i
@
@t
ln p i jiihij D X i
X
ln p i H; jiihij :
i
i H;
ln p i jiihij
Die zeitliche Änderung der Entropie lautet somit
@
@t S.t/ D k B Tr P% ln % C % @
@t ln %
D k B Tr P% ln % k B Tr
% @
@t ln % :
124

Für den ersten Term folgt mit der von Neumann-Gleichung
k B i Tr ln % ; H
D
D
D
ik B
Tr ln % %H
ln %H%
ik B
Tr H ln % %
H% ln %
ik B
Tr H ln %; % 0
Im vorletzten Schritt wurde die zyklische Invarianz der Spur verwendet, Tr.ABC/ D
Tr.CAB/. Der zweite Term ist
k B Tr
% @
@t ln %
D k B i X X X
p i ln p j hnjiihiˇˇH;
jjihjj ˇˇni
D ik B
D ik B
D ik B
D ik B
D ik B
n
i
j
X
p i ln p j hiˇˇH;
jjihjj ˇˇnihnj ii
„ƒ‚…
n;i;j
D 1
X
p i ln p j hiˇˇH;
jjihjj ˇˇii
i;j
X
p i ln p j hiˇˇ Hjjihjj
i;j
X
p i ln p j
i;j
hijHjji hjjii
„ƒ‚…
D ı ij
jjihjjH ˇˇii
hijjihjjHjii
X
p i ln p i hijHjii hijHjii 0 ;
j
damit gilt für die zeitliche Ableitung der Entropie in einem geschlossenen quantenmechanischen
System
@
@t S.t/ 0 :
Aufgabe 2
Für die Dichtematrix gilt
% D Z 1 e ˇH D Z 1 X E 0 e ˇE0 E 0 E 0 D Z 1 X E 0 e ˇE0 jE 0 ihE 0 j ;
125

mit E 0 D jE 0 i. Vernachlässigt man den Normierungsfaktor Z 1 , so folgt
hq 0 je ˇH jq 00 i D
1X
e ˇE n n .q 0 / n .q 00 /
nD0
r m!
D
e 02 C 002
. 2iu/n p
2n n!
r m!
D
Z
e 1 2 .02 C 002 /
e u2 C2iu . p 2iv/n
2n n!
Z Z
du dv
e .02 C 002 /=2
Z
du
dv
e v2 C2iv
1X
nD0
1X
nD0
e ˇE n
e ˇE n ✚ ✚2 n . 2uv/ n
✚✚2 n n!
expf u 2 v 2 C 2iu C 2ivg
r m! e .02 C 002 /=2
Z Z 1X . 2uv/ n
D
du dv
n!
nD0
e .nC 1 2 /ˇ!
expf u 2 v 2 C 2iu C 2ivg ; (8.1)
Summation über n ergibt für den Integranden
e 1 2 ˇ! expf .u 2 C v 2 / C 2i.u C v/
2uve ˇ! g
D e 1 2 ˇ! exp 1
2 2u2 C 2v 2 C 4uve ˇ! C i 2u C 2v ; (8.2)
daraus liest man die Matrix für die Integralformel
1 e ˇ!
A D 2
e ˇ! 1
ab. Für die Matrix A erhält man
det.A/ D 4 1 e 2ˇ! ; A 1 D
1
2.1 expf 2ˇ!g/
1 e ˇ!
e ˇ! 1
(8.3)
(8.4)
Die Lösung des Integrals lautet damit n D 2, (8.4), b 1 D 0 und b 2 D 00 ,
2
1
2 p 1 expf 2ˇ!g/ exp 2 .02 2 0 00 e ˇ! C 002
/
e 1 2 ˇ!
2.1 expf 2ˇ!g/
02
2 0 00 e ˇ! C 002
D p exp
e 1 2 ˇ! :
1 expf 2ˇ!g/ 1 expf 2ˇ!g
126

Für (8.1) erhält man schließlich
r m!
hq 0 je ˇH jq 00 e 1 2 ˇ!
i D p
1 e
2ˇ!
1
exp
2 02 C 002 02 2 0 00 e ˇ! C 002
1 e 2ˇ!
:
Einige hyperbolische Umformungen, mit x D ˇ!,
e 1 2 x
p D 1
p
1 e
2x e
x
e D 1
p ;
x 2 sinh x
1
2 02 C 002 02 2 0 00 e x C 002
1 e 2x
D 1 2 02 C 002 1
D 1
2 02 C 002 1 e 2x 2
1 e 2x
2
C 20 00 e x
1 e 2x 1 e 2x
C 20 00
e x e x
D 1
2 02 C 002 .1 C e 2x /
C 0 00
1 e 2x sinh x
D 1 2 02 C 002 coth x C 0 00
sinh x
r
m! 1
D
2 sinh.ˇ!/ exp 2 02 C 002
coth.ˇ!/ C 0 00
sinh.ˇ!/
Mit D p m!=q erhält man für den Exponenten
1 m!
2 q02 C q 002 coth x C m! q 0 q 00
sinh x D m!
2
q 02 C q 002 coth x
2q 0 q 00
:
sinh x
Desweiteren gilt,
q 0 q 002 C q 0 C q 002 D 2 q 02 C q 002 ;
q 0 q 00 2
q 0 C q 00 2
D 4q 0 q 00 ;
127

der Exponent kann damit weiter umgeformt werden,
m!
2 q 02 C q 002
4q 0 q 00
coth x
4
sinh x
D m!
q 0 q 002 coth x C q 0 C q 002 coth x C .q0 q 00 / 2 .q 0 C q 00 / 2
4
sinh x
D m!
q 0 C q 00 2 cosh x 1
C q 0 q 00 2 cosh x C 1
;
4
sinh x
sinh x
vermittelst
tanh x 2 D
sinh x
1 C cosh x D cosh x 1
sinh x
erhält man für den Expoenten
D m!
q 0 C q 00 2 cosh x 1
C q 0 q 00 2 cosh x C 1
4
sinh x
sinh x
D m!
q 0 C q 002 tanh x 4
2 C q0 q 002 coth x
:2
2
r
hq 0 je ˇH jq 00 m!
i D
2 sinh.ˇ!/
m!
exp q 0 C q 00 2 ˇ! tanh
4
2
C q 0
q 00
2 ˇ! coth :
2
128

Für ˇ! 1 folgt sinh ˇ! ˇ!, tanh 1 2ˇ! 1 2ˇ! und coth 1 2ˇ! . 1 2ˇ!/ 1 ,
r
hq 0 je ˇH jq 00 m!
i D
2 sinh.ˇ!/
m!
exp q 0 C q 002 tanh ˇ!
4
2
r m!
Für m=. 2ˇ/ ! 1 gilt
lim
a!1
C q 0
2ˇ!
m!
exp q 0 C q 00 2 ˇ!
4
2
r m ˇm!
2
D
2 2ˇ exp q 0 C q 00 2
8
ˇm!
2
D exp q 0 C q 00
2
8
s
1 m 1
2 2ˇ exp m
2 ˇ 2 q0 q 00
2
:
r a
2 e 1 2 a.x y/ D ı.x y/ ;
C q 0 q 00
2 2
ˇ!
q 002 coth ˇ!
2
m
2ˇ 2 q0 q 00 2
somit
ˇm!
hq 0 je ˇH jq 00 2
i ! exp
8
q 0 C q 00 2
ı.q 0 q 00 / :
129

Aufgabe 3
Für den den Mittelwert gilt
hAi D
und damit
Tr.A expf ˇHg/
Tr expf ˇHg/
hq 2 i D Z 1 Tr.e ˇH q 2 / D Z 1 Z
D Z 1 Tr.A expf ˇHg/
dq q 2 hqje ˇH jqi ; (8.5)
Z
hp 2 i D Z 1 dq 0 i @ 2
hq 0 je ˇH jq 00 i ; (8.6)
@q 0 q 0 Dq
Z
00
Z D Tr e ˇH D dq hqje ˇH jqi : (8.7)
Für Z berechnet man mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1 und q D q 0 D q 00 ,
Z 1 r
m!
m!
Z D
1 2 sinh.ˇ!/ exp q2 tanh ˇ!
2
r
Z
m! 1
m! ˇ!
D
exp tanh q 2
2 sinh.ˇ!/ 1 2
r
s
✘m!
D
✘ p ✓
✚
2✚✓ sinh.ˇ!/ ✘m! ✘ tanh. 2ˇ!/ 1
s
s
1
D
2 sinh.ˇ!/ tanh. 2ˇ!/ D 1
1
D
D
1
p
2Œcosh.ˇ!/
1
D
2 sinh.ˇ!/ cosh.ˇ!/ 1
sinh.ˇ!/
1
2 sinh. 2ˇ!/ D 1
1 expf 2ˇ!g 1 expf 1
2ˇ!g
e
1
2 ˇ!
: (8.8)
1 e ˇ!
Aus
Z 1
Z 1
p
dx x 2 e a2 x 2 dx e a2 x
2
D
1
1 2a a p D 1
(8.9)
3 2a 2
folgt für (8.1)
hq 2 i D
somit ist
2m! tanh. 1 2ˇ!/ D 1
2m! coth 2 ˇ! ; :
1
2 m!2 hq 2 i D ! 4
cosh ˇ!
2
D 1 2 hHi ; hHi D ! 2
130
coth ˇ!
2
: (8.10)

Berechnung der Ableitungen
d d
exp˚ A B.x C y/ 2 C C.x y/ 2
dx dx
D d
2A B.x C y/ C C.x y/ exp˚ A B.x C y/ 2 C C.x y/ 2
dx
D 4A 2 ŒB.x C y/ C C.x y/ 2 2A.B C C/
exp˚ A B.x C y/ 2 C C.x
y/ 2ˇˇˇˇxDy
D 16A 2 B 2 x 2 2A.B C C/ exp˚ 4ABx 2 ;
d.h.unter Berücksichtigung des Faktor . i/ 2 sind die Integrale
2 .4AB/ 2 Z 1
1
dx x 2 e .4AB/x2 C 2 2 A.B C C/
zu lösen.
Mit
4AB D ✁4 m!
✁4
tanh ˇ!
2
D m!
tanh ˇ!
2
D a 2
erhält man unter Berücksichtung von (8.6) und (8.9)
hp 2 i D
d.h.
2 a ✁42
2 a 2 C 22 A.B C C/
D ✁ 2 m!
2✓
D m!
2
1
2m hp2 i D ! 4
tanh ˇ!
2
coth ˇ!
2
;
ˇ!
coth
2
C ✁2 ✁ 2 m!
✁42✓
tanh ˇ!
2
Z 1
1
dx e .4AB/x2
C coth ˇ!
2
(8.10)
D 1 2 hHi ; hp2 i D mhHi :
131

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 9
1. In einem Volumen V bewegen sich N unabhängige Gasmoleküle. Betrachten Sie im
Folgenden ein Teilvolumen v.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit w N .n/, n Moleküle in v zu finden.
b) Bestimmen Sie die mittlere Teilchenzahl hni im Teilvolumen v.
c) Berechnen Sie die relative Schwankung
p
h.n hni/2 i
:
hni
Diskutieren Sie die Spezialfälle v D V , v D V =2 und v D 10 10 V .
d) Geben Sie eine einfache Näherung für N hni an. Verwenden Sie, dass für große
x die Stirlingsche Formel x! D p 2xx x =e x C : : : gilt.
2. Betrachten Sie ein System von N freien Teilchen der Masse m mit der nicht-relativistischen
Energie-Impuls-Beziehung
E f Ep i g D 1
2m
NX
iD1
Ep 2
i :
Berechnen Sie die Zahl der Zustände
˝.E 0 ; V; N / D
V N Z
d 3 Ep
h 3N 1 : : : d 3 Ep N :
N !
E.f Ep i g/E 0
Beachten Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 4 von Blatt 7.
3. Betrachten Sie N ununterscheidbare harmonische Oszillatoren der Masse M und der
Frequenz !, die nicht miteinander wechselwirken. Zeigen Sie, dass die Zahl der Zustände,
deren Energie kleiner als E 0 ist, durch
˝.E 0 ; !; N / D
gegeben ist.
1
N ! .3N C 1/
3N E0
!
132

4. Zeigen Sie, dass die Ortsdarstellung der Dichtematrix expf ˇHg für den Hamiltonoperator
H.p; q/ durch
hq 0 je ˇH jq 00 @
i D exp ˇH
i @q 0; q0 ı.q 0 q 00 /
gegeben ist, mit
@
H
i @q ; 0 q0
als der Ortsraumdarstellung von H und ı.q 0 q 00 / als der Dirac-Delta-Funktion. Werten
Sie Ihr Ergebnis für ein freies Teilchen H D Ep 2 =2m aus und berechnen Sie die
Dichtematrix in der Ortsraumdarstellung.
133

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Es liegt eine Binominalverteilung
N
w N .n/ D p n q N n ; (9.1)
n
mit p D v=V und q D 1
p vor.
a) Wahrscheinlichkeit n Moleküle in v zu finden ist durch Gleichung (9.1) gegeben. Normierung:
NX
w N .n/ D
nD0
NX
N
p n q N n D .p C q/ N D .p C 1 p/ N D 1 N 1 :
n
nD0
b) Für den Mittelwert hni gilt
hni D
NX
nw N .n/ ; (9.2)
nD0
damit folgt
hni D
NX
nD0
D p@ p
N
n p n q N
n
N
X
nD0
n D
NX
nD0
np n q N
n D
NX
N
p@ p p n q N
n
nD0
N
n
p n q N n D p@ p .p C q/ N D pN.p C q/ N 1
n
D pN.p C 1 p/ N 1 D pN D N v V
) hni D N v
V
: (9.3)
c) Es gilt
˝.n hni/
2˛ D ˝n 2 2nhni C hni 2˛ D hn 2 i 2hni 2 C hni 2
D hn 2 i hni 2 ;
134

Für hn 2 i berechnet man mit n 2 p n D .p@ p /.p@ p p n /,
hn 2 i D
NX
n 2 w N .n/ D p@ p
nD0
D .p@ p / 2
N
X
nD0
N
X
nD0
N
n
p n q N
D p@ p
pN.p C q/
N
1
N
p@ p p n q N
n
n D p@ p p@ p .p C q/ N
D p N.p C q/ N 1 C pN.N 1/.p C q/ N 2
D pN C p 2 N.N 1/ : (9.4)
Die relative Schwankung ist damit
n
p
hn2 i hni 2
hni
p
pN C p2 N.N 1/ p
D
2 N 2
pN
q
pN C ✟ p 2 ✟N ✟2
p 2 N ✟ p 2 ✟N ✟2
D
D
pN
p s
hn2 i hni 2 1 p
)
D
hni pN :
p
pN.1 p/
pN
Mit p D v V folgt
s
1 V
N v
8
v
ˆ<
0 v D V
1
D v D
q
V N 2
ˆ: v D 10 10 V
10 10
N
d) Für N hni ist v V , d.h. nur n V ist relevant. Für die Binomialverteilung (9.1)
gilt mit p D v=V und q D 1 p D 1 v=V
N
w N .n/ D p n q N
n
n D
n
N ! v
1
n!.N n/! V
N n
v
:
V
135

Vermittelst der Sterlingschen Formel und hni
N
w N .n/ D 1 p
2N N
N
e N n
p
n! 2.N n/.N n/
N n e N
D 1 n!
1
D hnin
n!
1
2
n N
n
1
N
e n 1
1
n
2
1
N
n
N
D v V
hni
N
aus Teilaufgabe b folgt
n
1
n N
e n hnin
n n N
1
N
N n
1
hni N
N
hni N
N
hni
N
n
N
n
n
Näherungen für x D n=N 1,
.1 x/ 1 2 1 C O.x/ ; ln.1 x/ x C O.x 2 /
und für die letzten beiden Terme,
n N N n
n hni
ln 1 1
N N
D .n N / ln.1 x/ C .N n/ ln.1 Nx/
.n N /x .N n/ Nx D .n N / n N
somit
exp
.n N / n
hni
.N n/
N N
n n
D exp
N
1 N
expfn
hnig
1
n
N
.N n/
hni
N ;
hni
N
hnin
n!
e n e n hni D hnin
n!
e hni .Poisson Verteilung/
Aufgabe 2
Die totale Energie des Systems ist
E tot D 1
2m
NX
iD1
Ep 2
i
;
NX
iD1
Ep 2
i
2mE ; (9.5)
136

somit lautet das zu lösende Integral mit d n x D d˝nr n 1 dr,
Z
Z
d 3 Ep 1 : : : d 3 Ep N D
Z
d˝3N
p
2mE0
dp p 3N 1
E tot E 0
Z
D
0
d˝3N
p
3N
D .2mE 0/ 3N=2
3N
3N
Z
p 2mE 0
0
d˝3N :
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4 von Blatt 7,
d˝n D
nn=2
. n 2 C 1/ ;
folgt schließlich
˝.E 0 ; V; N / D
V N
h 3N N !
.2mE 0 / 3N=2
3N
) ˝.E 0 ; V; N / D V N
h 3N N !
3N 3N=2
. 3N 2 C 1/
.2mE 0 / 3N=2
. 3N 2 C 1/ :
Aufgabe 3
Mit der Hamiltonfunktion für den harmonischen Oszillator
H D
NX Ep
i
2
2m C m!2 Eq
i
2
2
iD1
D m!2
2
NX
iD1
Ep 2
i
! 2 m 2 C Eq 2
i :
Die totale Energie lautet
E tot D m!2
2
nX
iD1
Ep
i
2
! 2 m C Eq 2
2 i
D m!2
2
nX
.Et 2
i
C Eq 2
i
/ ; Et Ep
m! ;
iD1
somit
E 2 D
NX
iD1
.Et 2
i C Eq 2
i / < 2E 0
m! 2 : 137

Die mikrokanonische Zustandssumme ist damit
˝.E 0 / D 1 Z
d 3 Eq
N !h 3N
1 : : : d 3 Eq N d 3 Ep 1 : : : d 3 Ep N
D 1
N !h 3N
D .m!/3N
N !h 3N
E tot

und der Schrödingergleichung erhält man
exp ˇH ih @
@q 0; q0 ' l .q 0 / D e ˇE l
' l .q 0 / :
Die Dichtematrix kann (formal) geschrieben werden als
hq 0 je ˇH jq 00 i D e ˇH.q0 / X l
' l .q 0 /' l .q00 /
D e ˇH.q0/ ı.q 0 q 00 / ;
mit
ı.q 0
q 00 / D X l
' l .q 0 /' l .q00 / ;
wenn f' l g ein vollständiger orthonormierter Satz von Basisfunktionen ist. Die Entwicklung
einer beliebiger Funktion f .q/ nach den Basisfunktionen ist
f .q/ D
1X
c l ' l .q/ :
lD0
Multiplikation mit ' m .q/ und Integration über q ergibt
Z
dq ' m f .q/ D X Z
c l dq ' m .q/' l.q/ D X c l ı lm D c m ;
l
l
damit folgt
f .x/ D
Z
D
1X
Z
lD0
dq 0 ' l .q0 /f .q 0 /' l .q/
dq 0 1
X
lD0
Z
' l .q0 /' l .q/ f .q 0 / D
dq 0 ı.q q 0 /f .q 0 / :
Die Relation gilt für beliebige f .q/, die f' l g ergeben damit
1X
' l .q00 /' l .q 0 / D ı.q 0 q 00 / .Vollständigkeitsrelation/ :
lD0
Für ein freies Teilchen hat die ı-Funktion die Darstellung
ı.Eq 0
1 3 Z 1
Eq 00 / D
dk 2 E e i k.Eq E 0 Eq 00/ ;
1
139

mit der Lösung für ein freies Teilchen
E k D 2
k
2m E 2
folgt
3 Z 1 1
hEq 0 je ˇp2 =.2m/ jEq 00 i D
dke 2 E ˇ2
2m k E 2 e i k.Eq E 0 Eq 00 /
1
1 3 Z 1
D
dk 2 E ˇ
2
exp k
1 2m E 2 C ik.Eq E 0 Eq 00 /
Umformung des Exponenten ergibt
ˇ 2
k
2m E 2 C ik.Eq E 0 Eq 00 /
Ek 2
D
D
D
D
ˇ2
2m
ˇ2 Ek 2
2m
2 im
.Eq 0
ˇ 2
ˇ2
2m
Ek
ˇ2
2m Ex 2
2im
ˇ 2 E k.Eq
0
2im
ˇ 2 E k.Eq
0
Eq 00 / 2
im
ˇ 2 .Eq 0 Eq 00 /
„ ƒ‚ …
D Ex
Eq 00 /
Eq 00 / C
2
m
2ˇ 2 .Eq 0 Eq 00 / 2
im
ˇ 2 2
.Eq 0 Eq 00 / 2
m
2ˇ 2.Eq 0 Eq 00 / 2
1 3
D exp
2
3 1
D exp
2
m
2ˇ 2.Eq 0 Eq 00 / 2 Z 1
1
m
2ˇ 2.Eq 0
und damit
3=2
m
hEq 0 je ˇp2 =.2m/ jEq 00 i/ D
exp
2ˇ 2
für ein freies Teilchen.
m
2ˇ 2.Eq 0
140
d Ex e ˇ2
2m Ex 2
Eq 00 / 2 2m
ˇ 2 3=2
;
Eq 00 / 2

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 10
1. Ein Zylinder, Radius R und Länge `, ist mit einem idealen Gas gefüllt. Der Zylinder
rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! um seine Längsachse (z-Achse). Die
Hamiltonfunktion, welche die Bewegung im rotierenden Koordinatensystem beschreibt
ist
H D H !L ;
mit H als der Hamiltonfunktion für das ruhende Bezugssystem und EL als dem Drehimpuls.
Gravitationseffekte seien vernachlässigbar gering. Berechnen Sie den Mittelwert
h%i der Dichte des idealen Gases, wenn sich das Gas bei der Temperatur T im thermischen
Gleichgewicht befindet.
2. Betrachten Sie ein System, dass durch die Variablen x i , i D 1; : : : n, beschrieben wird.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen p i .x i / der Variablen x i seien voneinander unabhängig.
a) Zeigen Sie, dass die Entropie des Systems durch
nX
Z
S D k B
gegeben ist.
iD1
dx i p i .x i / ln p i .x i /
Betrachten Sie nun die x i als die drei kartesischen Geschwindigkeitskomponenten v i eines
idealen Gasteilchens. Das Gas befinde sich im Gleichgewichtszustand mit der Temperatur
T . Nehmen Sie an, dass die kinetische Energie jeder Komponente 1 2 k BT ist.
b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass im Zustand maximaler Entropie
p i .V i / D
m
2k B T
1
2
exp
mv
2
i
;
2k B T
mit m als der Masse eines Gasteilchens, gilt.
c) Die Wahrscheinlichkeit, das ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen Ev und
EvCd Ev besitzt ist P.Ev/d 3 Ev, wobei Ev jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann.
Berechnen Sie explitzit P.Ev/.
141

3. In einem Atomstrahlofen befindet sich ein Gas der Temperatur T . Durch eine nahezu
punktförmige Öffnung entweicht ein Gasstrahl ins Vakuum. Die Geschwindigkeit der
Teilchen im Ofen unterliegt einer Maxwell-Verteilung. Im Abstand a wird durch eine
ebenfalls nahezu punktförmige Öffnung der vertikale Anteil ausgeblendet. Im Abstand
` a wird der Strahl auf einem Schirm aufgefangen.
Blende
Schirm
Ofen
x
a
`
z
a) Zeigen Sie, dass die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit die Blende horizontal
mit der Geschwindigkeit v x verlassen durch
dN
dt
D PN n
m
2k B T
3
2
v
3
x exp
mv
2
x
dv x
2k B T
gegeben ist. Dabei ist n die Dichte der Teilchen im Ofen.
b) Berechnen Sie die Intensitätsverteilung
I.z/ D d PN
dz
auf dem Schirm unter Berücksichtigung der Schwerkraft, die nur zwischen Schirm
und Blende wirken soll.
142

4. In einem sehr langen aufrecht stehenden Kreiszylinder mit Grundfläche
A befindet sich ein ideales Gas der Temperatur T . Das Gas
besteht aus N Teilchen der Masse m. Auf die Teilchen wirke nur die
Schwerkraft parallel zur Zylinderachse. Die Teilchen unterliegen einer
Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeit
ein Teilchen bei .Eq i ; Eq i C d Eq i / zu finden ist P q dq 1 : : : dq n , mit
P q D C expf V =k B T g, die Normierungskonstante und V das Potential
ist, in welchem sich das Gas befindet.
Berechnen Sie den Druck p.z/ in Abhängigkeit von der Höhe z.
z
A
Eg
143

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Das Gas ist im thermischen Gleichgewicht bezüglich des rotierenden Koordinatensystems. Die
interne Struktur des Gases kann vernachlässigt werden. Ein Gasmolekül hat die Koordinaten
.x i jy i jz i / bzgl. des rotierenden Bezugssystems. Der Zylinder rotiert um die z-Achse, damit ist
die Komponente des Drehimpulses in z-Richtung
" 0 1 0 1
x p
#
x
. EL/ z D .Er Ep/ z D @ yA @ p y
A D .xp y yp x /Ee z :
z p z
z
Im ruhenden Zylinder hat ein ein beliebiges Teilchen i die Hamiltonfunktion
H i D Ep2 i
2m C .x i; y i ; z i / ;
mit dem (Rand-)Potential
.x i ; y i ; z i / D .r ? ; i ; z i / D
Im Zylinder gilt damit
(
0 8 r ? < R ; 0 z i ` ;
1 sonst.
H D
NX
iD1
Ep 2 i
2m !.x ip yi y i p xi / : (10.1)
Der Mittelwert der Dichte ist
h%i D 1 Z
Z
d˝ %e ˇH ; Z D
Z
d e ˇH :
Zunächst berechne man Z,
Z
Z D d e ˇH
D
NY
iD1
Z `
0
exp
Z 2 Z R Z 1
dz i d' i dr ?i r ?i dp xi dp yi dp zi
1
0
p
2
xi
C pyi 2 ˇ
C p2 zi
2m
0
!.x i p yi y i p xi / :
144

Für die Integration über die Impulse erhält man
Z 1
1
damit
dp xi dp yi dp zi exp
D dp xi exp
D
D
Z 1
1
Z 1
1
Z 1
1
Z 1
1
p
2
xi
C pyi 2 ˇ
C
p2 zi
!.x i p yi y i p xi /
2m
ˇ
2m p2 xi C 2m!y
ip xi
ˇ
2m!x i p yi
dp yi exp
2m p2 yi
ˇ
dp zi exp
2m p2 zi
ˇ
dp xi exp
2m p2 xi C 2m!y ip xi C .m!y i / 2
Z 1
dp yi exp
1
s
2m
s
2m
ˇ
Z 1
1
2m
D
ˇ
ˇ
Z 1
1
.m!y i / 2
ˇ
2m p2 yi
2m!x i p yi C .m!x i / 2 .m!x i / 2
ˇ
dp xi exp
2m p 2
ˇm! 2 yi
2
xi C m!y i exp
2
ˇ
2m p 2
ˇm! 2 xi
2
yi m!x i exp
2
2m
dp yi exp
3
2
exp
ˇm! 2 .x 2 i
C y 2 i /
2
D
ˇ
3
2
exp
ˇm! 2 r?i
2
;
2
NY
Z ` Z 2 Z R
3
2m
2
ˇm! 2 r 2
?i
Z D dz i d' i dr ?i r ?i exp
0 0 0
ˇ
2
iD1
3 Z 2m
2 ` Z 2 Z R
ˇm! 2 r 2 N
?
D
dz d' dr ? r ? exp
ˇ 0 0 0
2
3
2m
2
1
ˇm! 2 R 2 N
D 2`
exp
1
:
ˇ ˇm! 2 2
Aus dem m D R dV % erhält die Dichte für ein Teilchen
% D mı.x x i /ı.y y i /ı.z z i / D m ı.r ? r ?i /
r ?i
ı.' ' i /ı.z z i / ;
145

damit lautet das Integral
Z
d % exp ˇH
D
NY
Z ` Z 2 Z R
dz i d' i
jD1
0
NX
iD1
0
0
3
2m
2
dr ?i r ?i exp
ˇ
ı.r ? r ?i /
r ?i
ı.' ' i /ı.z z i / :
ˇm! 2 r?i
2
2
Integral über das Volumen bei N Teilchen, vereinfacht:
NY
Z
j
dV j f j
N
X
i
Z
mı i D m
Z
dV 1 f 1
Z Z Z
D m dV 1 f 1 ı 1 dV 2 f 2 dV N f N C : : :
Z Z Z
C dV 1 f 1 dV 2 f 2 dV N f N ı N
Z
D N m
Z
dV f ı
dV f
N 1
;
dV N f N ı 1 C C ı N /
und somit
3N Z 2m
2 ` Z 2 Z R
D N m
dz 0 d' 0
ˇ
0 0 0
ı.r ? r? 0 / ı.z z 0 /ı.' ' 0 /
h%i D N m
`
2`
r?
0 Z R
2m
D N m
ˇ
0
3N
2
dr ? r ? exp
exp
ˇm!
exp˚ 2
r 2 2 ?
ˇm!
2
2
ˇm!
2
r 2 ?
2
2`
r 2 ?
2 ˇm!
exp˚ 2
R 2 1 :
ˇm! 2 2
dr 0 ? r 0 ? exp ˇm!
2
N 1
1
exp
ˇm! 2
2
r 02
?
2
ˇm!
2
1 ;
146

Aufgabe 2
a) Die Wahrscheinlichkeiten p i .x i / sind voneinander unabhängig, somit ist die Wahrscheinlichkeit
einen Zustand x i , i D 1; : : : ; n, des Systems zu finden
P.x 1 ; : : : ; x n / D
nY
p i .x i / :
iD1
Die Entropie ist damit
Z
Z
S D k B d P ln P D k B dx 1 dx n p 1 p n ln.p 1 p n /
Z
D k B dx 1 dx n ln.p 1 p n / p 1p n
Z
Z Z
D k B dx 1 p 1 ln p 1 dx 2 p 2 dx n p n C : : :
„ ƒ‚ …
D 1
Z Z Z
C dx 1 p 1 dx 2 p 2 dx n p n ln p n
Z
Z
D k B dx 1 p 1 ln p 1 C C dx n p n ln p n
nX
Z
) S D k B
iD1
dx i p i ln p i
:
b) Die Wahrscheinlichkeiten des Systems haben die Eigenschaft
Z 1
dv i p i .v i / D 1 ;
1
(10.2)
m
dv i p i
2 v2 i D 1 2 k BT : (10.3)
Z 1
1
Vermittelst der Methode der Lagrangschen Multiplikatoren erhält mit (10.2) und (10.3)
aus der Entropie aus Teilaufgabe a die Funktion
X
Z
Z Z
f D k B dv i p i ln p i C ˛0i
dv i p i C ˇi dv i p i vi
2
D
D
iD1
X
Z
k B
iD1
X
Z
k B
iD1
dv i p i ln p i C ˛0
i p i C p i v 2 i
dv i p i ln p i C ˛0
i C v2 i
147

Die erste Ableitung ergibt
Z
df
D k B dv j ln p j C ˛0
j
p C ˇjv 2 j
j
Z
D k B
damit folgt
C p j
1
p j
dv j
ln p j C ˛0
j C ˇjv 2 j C 1
0 ;
ln p j D ˇjv 2 j ˛0
j 1 D ˇjv 2 j ˛ mit ˛j D ˛0
j C 1
) p j D exp˚ ˇjv 2 j
˛j
:
Für die Lagrangeschen Multiplikatoren erhält man
1 (10.2)
D
Z 1
1
dv i e ˇi v 2 i
˛i
D e ˛i
Z 1
1
dv i e ˇiv 2 i
D e ˛i
r ˇi
; (10.4)
1
2 k BT (10.3)
D m Z 1
2 e ˛i dv i v 2 i e ˇi v 2 i D m s
1
4
ˇ3i
e ˛i
(10.4)
D
m
4ˇi
: (10.5)
Aus Gleichung (10.5) liest man
ˇi D
m
2k B T
(10.6)
ab. Eingesetzt in (10.4) liefert
r m
e ˛i D
2k B T : (10.7)
Die Wahrscheinlichkeit p i .v i / ist
r m
p i .v i / D
2k B T e
m
2k B T v2 i
) P.Ev/ D
m
2k B T
3
2 mEv
2
exp
2k B T
:
c) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b erhählt man für die Wahrscheinlichkeit P D p 1 p 2 p 3
die Geschwindigkeitskomponenten q im Bereich .v 1 ; v 1 C d v 1/, .v 2 ; v 2 C dv 2 /, .v 3 ; dv 3 /
zu finden mit jEvj D v D v 2 1 C v2 2 C v3 3 und d 3 Ev D 4v 2 dv,
P.Ev/d 3 Ev D
m
2k B T
3
2 mEv
2
exp 4v 2 dv :
2k B T
148

Aufgabe 3
a) Es gilt für die Anzahl der Teilchen pro Zeit durch die Öffnung
Z
dN
D d 3 Ev P.v/j.Ev/ ;
dt
mit j.Ev/ als dem Teilchenfluss durch die Öffnung bei gegebener Geschwindigkeit Ev. Nur
Teilchen mit ' D 0 und # D können durch die Öffnung fliegen, d.h.
2
Z
PN D n
Z
D n
D n
Z
d' ı.'/
Z
d' ı.'/
m
2k B T
d# ı #
d# ı #
3
2
v
3
x exp
P.Ev/v 2 v x dv x
2
2
mEv
2
x
2k B T
m
2k B T
dv x
3
2 mEv
2
exp
v 2 v x dv x
2k B T
b) Die Teilchen verlassen die Blende mit der Geschwindigkeit v x in x-Richtung. Auf die
Teilchen wirk dann die Schwerkraft in positive z-Richtung, dann gilt
Px.t/ D v x ) x.t/ D v x t ; (10.8)
Rz.t/ D g ) z.t/D g 2 t 2 : (10.9)
Aus (10.8) berechnet man für die Flugzeit zum Durchfliegen der Strecke `, t 0 D `
v x
.
Einsetzen der Flugzeit in z.t/ ergibt
z.t 0 / D g 2
2
r
`
g`2
) v x D
v x 2z
) dv x D 1
r
g`2
2 2z dz : 3
Die Verteilung d P N =dz auf dem Schirm ist somit
n m
3 2
g`2
2 2k B T 2z
) I.z/ D
m
n
2k B T
d PN
dz D
3
2
exp
3
2
g 2`4
8z 2
m
2k B T
exp
r
g`2 g`2
2z 2z 3
mg`2
4k B T z
:
149

Aufgabe 4
Die Teilchen mit z-Koordinaten q i befinden sich im Gravitationspotential, d.h.
V .q i / D mgq i :
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen 1 in .q 1 ; q 1 C dq 1 /, das Teilchen 2 in .q 2 ; q 2 C dq 2 /, : : : ,
zu findent ist
nX
mg
P q dq 1 : : : dq n D C i exp
k B T q i dq 1 : : : dq n
iD1
nY
mg
D C i exp
k B T q i dq i
D
D
R 1
iD1
iD1
Q n
iD1
expf
mg
k B T q 1g dq i
dq 0 i expf. mgq i =.k B T /g
nY
k B T mg
mg exp k B T q i dq i ;
d.h. speziell für ein Teilchen findet man die Wahrscheinlichkeit zwischen .z; z C dz/ zu sein
mit
P z dz D mg mgz
k B T exp dz :
k B T
Multiplikation mit N ergibt die Anzahl der Teilchen im Bereich dz. Mit V D A dz erhält man
für die Dichte
%.z/ D mgN mgz
Ak B T exp ;
k B T
und vermittelst der allgemeinen Gasgleichung pV D N k B T erhält man für den Druck
p D N V k BT D %k B T ) p.z/ D %.z/ k B T :
150

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 11
1. Ein System bestehe aus N unabhängigen Teilchen. Jedes Teilchen kann zwei Energiezustände,
" 0 ; " 0 , einnehmen.
a) Zeigen Sie, dass die Anzahl der Zustände mit vorgegebener Energie E < 0 durch
˝.E/ D
gegeben ist.
N !
Π1 2 .N M /! Π1 2 .N C M /! ; M D N C N ;
b) Berechnen Sie vermittelst der Stirlingschen Formel, ln x! x ln x x, die Temperatur
T des Systems.
c) Berechnen Sie die Energie E und die Wärmekapazität C in Abhängigkeit von
der Temperatur T des Systems. Skizzieren Sie C=.N k B / für den Bereich 0
k B T =" 0 6.
2. Betrachten Sie ein System aus drei Teilchen, die jeweils in den Quantenzustände mit
den Energien E D 0 und E D " 0 > 0 sein können. Bestimmen Sie die kanonische
Zustandssumme für
a) unterscheidbare Teilchen,
b) Fermi-Teilchen
c) Bose-Teilchen.
3. Betrachten Sie ein ideales Gas aus N 1 Teilchen. Die Hamiltonfunktion dieses Systems
ist durch
H D
3NX
iD1
p 2 i
2m
gegeben.
a) Berechne Sie die freie Energie F.T; V; N / und die freie Enthalpie
G D k B T ln Y ; Y.T; P; N / D
Z 1
0
dV Z.T; V; N / e ˇPV ;
mit ˇ D 1=.k B T /. Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Stirlingsche Formel und
N C 1 ! N für N 1.
151

) Bestimmen Sie das chemische Potential des Systems. Verwenden Sie Ihre Ergebnisse
aus Teilaufgabe a.
4. Eine Oberfläche habe N Möglichkeiten Gasmoleküle zu absorbieren und sei im Kontakt
mit einem idealen Gas mit chemischen Potential .T; P/. Ein absorbiertes Teilchen hat
in Bezug auf ein freies Teilchen die Energie " 0 . Berechnen Sie aus der großkanonischen
Zustandssumme Y das Verhältnis
D
hAnzahl absorbierter Teilcheni
Gesamtzahl der Teilchen
D hN 1i
N
Verwenden Sie an geigneter Stelle Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe 3b..
5. In einem Volumen V befinde sich ein ideales Gas. Durch Einschieben einer Trennwand
wird das Volumen in zwei gleiche Volumina geteilt. Für diesen Vorgang gilt d Q D
d W D 0.
a) Geben Sie die kanonische Zustandssumme Z für das ideale Gas an und berechnen
Sie die Änderung F der freien Energie.
b) Lassen Sie nun den Faktor 1=N ! im Ausdruck für Z aus Teilaufgabe a weg. Bestimmen
Sie die Änderung F für den betrachteten Prozess. Begründen Sie die
Richtigkeit des Ergebnisses aus Teilaufgabe a.
152

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Die Gesamtenergie E < 0 des Systems ist
E D N C " 0 N " 0 D .N C N /" 0 D M" 0 ; M D .N C N / : (11.1)
Mit der Gesamtzahl N D N C C N erhält man
N C D 1 2 .N C M / ; N D 1 .N M / : (11.2)
2
Die Teilchen sind unabhängig, d.h. die Möglichkeit N C -Teilchen aus den N -Teilchen
auszuwählen und auf das Energieniveau " 0 zu verteilen ist
˝.E/ D N !
N C !N !
(11.2)
H) ˝.E/ D
N !
Π1 2 .N C M /! Π1 2 .N M /! (11.3)
Anzahl der Möglichkeiten zwei von vier Teilchen auf den Energiezustand " 0 zu verteilen:
" 0
" 0
b) Für die Temperatur gilt mit S D k B ln ˝.E/,
1
T D @S
@E D k B
d ln ˝.E/
dE
Aus (11.2) erhält man N D N N C und damit
N !
ln ˝.E/ D ln
N C !N ! ln N !
N C !.N N C /! D ln N ! ln N C! ln.N N C /!
N ln N ✚✚N N C ln N C C ✚ ✚ N C
.N N C / ln.N C N C / C ✚N ✚ ✚ N C
D N ln N N C ln N C .N N C / ln.N N C / : (11.4)
Die Differentiation nach E kann in eine nach N C umgewandelt werden,
E D .N C N /" 0 D ŒN C .N N C /" 0 D 2" 0 N C N " 0
) dE D 2" 0 dN C ;
153

somit
ln ˝.E/
D ln N N C
C ✓ ✓ C ln.N N C /
dN C ✓N C
D ln N C C ln N D ln N N C
:
✘✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘ 1 ✘✘
.N N C /
.N N C /
Die Temperatur des Systems ist dann
1
T D k B
2" 0
ln N N C
: (11.5)
c) Nach (11.1) gilt für die Energie des Systems
E D .N C N /" 0 ) E D N C
N " 0 N
Aus (11.5) berechnet man
N
N :
ln N N C
D 2 " 0
k B T 2x ) N N C
D e 2x ; (11.6)
und damit
N
N D
N C
N D
N
N C C N D N C e 2x
N C C N C e 2x D
N C
N C C N
D N e 2x
N e 2x C D
e2x
1 C e D e x
2x
e x
e 2x C 1 D
e x C e ; x (11.7)
e x
e x C e : x (11.8)
Die Energie kann damit geschrieben werden als
E
D e
x e x
N " 0 e x C e D ex e x
x e x C e D tanh x D tanh "0
: (11.9)
x k B T
0.2
E=.N "0/
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6
k B T =" 0
154

Für die Wärmekapazität gilt mit dx D
" 0
k B T 2 dT
C D dE
dT D " 0 dE
k B T 2 dx
D " 0
k B T . N " 0/ d
2 dx tanh x D N k B
) C
N k B
D
x2
cosh 2 x D
"0
k B T
2
"0
k B T
2
1
cosh 2
"0
k B T
cosh 2 x
: (11.10)
0.4
C=.N kB/
0.3
0.2
0.1
0.0
0 1 2 3 4 5 6
k B T =" 0
Bemerkungen
1. Mit
e
.sinh x/ 0 x
e x 0
D
D ex C e x
D cosh x ;
2
2
e
.cosh x/ 0 x C e x 0
D
D ex e x
D sinh x ;
2
2
ist die Ableitung des tanh x gegeben durch
.tanh x/ 0 D
0 sinh x
D cosh2 x sinh 2 x
cosh x cosh 2 x
D
1
cosh 2 x :
2. Schreibt man den cosh 2 x als
cosh 2 x D .ex C e x / 2
4
D e 2x .1 C e 2x /
4
155
;

so lautet die Gleichung (11.10) mit 2" D E,
C
D 1 2 E e E=.k BT /
N k B 4 k B T Œ1 e E=.k BT /
Der Höcker in der Wärmekapazität ist ein Charakeristikum für 2-Niveau-Systeme und
wird in diesem Zusammenhang als Schottky Anomalie bezeichnet [7].
Aufgabe 2
Die kanonische Zustandssumme ist gegeben durch
Z.E/ D X r
e ˇE r
; ˇ D 1
k B T ; (11.11)
und r als dem Mikrozustand.
a) Für drei unterscheidbare Teilchen erhält man folgende Möglichkeiten:
" 0
Aus der oberen Abbildung kann man ablesen:
1 Jeweils einen Mikrozustand, in dem alle drei Teilchen entweder im unteren - E 1 D
0 - oder im unteren - E 2 D 3" 0 - Zustand sind.
2 Drei Mikrozustände in denen jeweils nur ein Teilchen im oberen Energiezustand
ist, E 3 D " 0 , und
3 drei Mikrozustände in denen jeweils zwei Teilchen im oberen Energiezustand, E 4 D
2" 0 , sind.
156

Die kanonische Zustandssumme ist damit
Z kl D 1 C 3e ˇ" 0
C 3e 2ˇ" 0
C e 3ˇ" 0
b) Fermionen sind Teilchen mit halbzahligen Spin, für die das Pauli-Prinzip gilt.
Die Zustandssumme ist
Z Fermionen D 2e ˇ" 0
C 2e 2ˇ" 0
:
c) Bosonen sind indentische, nicht-unterscheidbare Teilchen, die nicht dem Pauli-Prinzip
unterliegen. Die Gesamtwellenfunktion muss symmetrisch sein. Die drei Mikrozustände
in 2 und 3 bilden für Bosonen jeweils den selben Zustand, d.h. die Zustandssumme ist
Z Bosonen D 1 C e ˇ" 0
C e 2ˇ" 0
C e 3ˇ" 0
:
Aufgabe 3
a) Für die freie Energie F gilt F D k B T ln Z. Die kanonische Zustandssumme ist
Z D 1
N !h 3N Z
d e ˇH ; d D
3NY
iD1
D 1 Z
Y 3N
dq
N !h 3N 1 dq 3n dp i exp
„ ƒ‚ … iD1
D
D
V Z
N
N !h 3N
V N 2m
N !h 3N ˇ
D V N
dp exp
3N
2
3N ˇ
2m p2
D V N
N !
2m kB T
h 2
dp i dq i ;
ˇ
2m p2 i
3N
2
: (11.12)
157

Die freie Energie F ist somit
F D
k B T ln
N ln V ln N ! C 3N 2 ln.k BT / C N ln .2m/ 3 2
k B T N ln V N ln N C N C 3N 2 ln.k BT / C N ln .2m/ 3 2
) F D N k B T ln V N C 3 2 ln.k BT / C ln .2m/ 3
2 e
: (11.13)
h 3
Es gilt
Y D
Z 1
0
dV Z.T; V; N / e ˇPV
(11.12)
D 1 2m kB T
N ! h 2
3N
2 Z 1
0
h 3
dV V N e ˇPV : (11.14)
h 3
mit
Z 1
0
dx x n e ax D
erhält man für (11.14)
n Z @ 1
dxe ax D
@a 0
n @ 1
@a a D n!
a nC1
Y D 1 3N
2m kB T
2
✟N !
✟N ! h 2 .ˇP/ N C1
3N
2m kB T
2 N C1
k B T 2m kB T
D
h 2 P
h 2
3N
2 k B T
P
N
; (11.15)
und damit
G D
D
3N
2m kB T
2 N
k B T
k B T ln
h 2 P
5N
k B T
2 ln.k BT / N ln P C N ln .2m/ 3
2
5
) ˚ D N k B T
2 ln.k BT / ln P C ln .2m/ 3 2
h 3
h 3
: (11.16)
158

Für das chemische Potential gilt D .@F=@N / T;V ,
D @
@N
D
D
N k B T ln V N C 3 2 ln.k BT / C ln .2m/ 3
2 e
k B T ln V N C 3 2 ln.k BT / C ln .2m/
3
2
C 1
h 3
1
N k B T
N
V .2mk B T / 3 2
k B T ln
N h 3
N
) .T; V; N / D k B T ln
V
h 3
.2mk B T / 3 2
h 3
; (11.17)
bzw. aus G D N mit (11.16)
P h 3
.T; P; N / D k B T ln
k B T .2mk B T / 3 2
: (11.18)
Aufgabe 4
Werden N 1 Teilchen absorbiert, dann ist die Energie E D N 1 " 0 . Die Anzahl der Möglichkeiten
N 1 ununterscheidbare Teilchen auf N freie Plätze zu verteilen ist
N !
N 1 !.N N 1 /! ; (11.19)
damit
Z N1 D
N !
N 1 !.N N 1 /! eˇN 1" 0
: (11.20)
Für die großkanonische Zustandssumme erhält man
Y D
NX
N 1 D0
Z N1 eˇN 1 D
D
NX
N 1 D0
NX
N 1 D0
N !
N 1 !.N
N 1 /! eˇN 1" 0 CˇN 1
N !
N 1 !.N N 1 /! Œeˇ." 0C/ N 1
1 N N 1
D Œ1 C eˇ." 0C/ N : (11.21)
159

Die Wahrscheinlichkeit P.N 1 /, das N 1 Teilchen absorbiert werden, ist durch eˇN 1 Z N1 =Y
gegeben. Damit ist der Mittelwert hN 1 i der Anzahl der absorbierten Teilchen
hN 1 i D
NX
N 1 D0
N 1 P.N 1 / D 1 Y
NX
N 1 D0
N 1 eˇN 1 Z N1 :
Aus dem Logarithmus der großkanonischen Zustandssumme berechnet man
@
@ ln Y D 1 Y
@Y
@ D 1 Y
der Mittelwert ist somit
NX
N 1 D0
Z N1 ˇN 1 eˇN 1 D ˇ
Y
NX
N 1 D0
N 1 Z N1 eˇN 1 ;
hN 1 i D
@ (11.21)
ln Y D
Nˇ
ˇ@
Œ1 C eˇ." 0C/ N
Œ1 C eˇ." 0C/
1ˇeˇ." 0C/
D
N
Œe ˇ." 0C/
C 1 : (11.22)
Die Rate lautet demnach
D hN 1i
N
(11.22)
H) D
1
Œe ˇ." 0C/
C 1
: (11.23)
Mit dem chemischen Potential (11.18) für das ideale Gas folgt
e ˇ D k BT
p
3
2mkB T
2
a k B T D
h 2 p
:
Annahme: Das ideale Gas unterliege der Boltzmann-Statistik,
P 0 .T / D k B T
3
2mkB
2
T e ˇ" 0
) e ˇ" 0
D P 0.T /
h 2 a k B T ;
folgt für die Rate
D
ak B T
P
1
P 0
C 1 ) D P
P 0 C P
ak B T
Aufgabe 5
a) Nach (11.12) - Teilaufgabe 3a – gilt
Z D
V N
3N
2mkB
2
T
N !h 3N h 2
160

für die Zustandssumme des Gases im Volumen V . Die freie Energie ist durch (11.13)
gegeben,
F.T; V; N / D
N k B T ln V
.2mk B T / 3 2
C 1 : (11.24)
N h 2
Für die zwei Teilvolumnia mit jeweils V =2 und N=2 gilt
2F.T; V =2; N=2/ D
2 N
2 k BT ln V
.2mk B T / 3 2
C 1 ; (11.25)
N h 2
d.h. die beiden Ausdrücke (11.24) und (11.25) sind gleich,
F 0 :
b) Ohne den Faktor 1=N ! folgt aus der Zustandssumme (11.24)
F .T; V; N / D
D
k B T ln V N 2mkB T
N k B T ln V
h 2
3N
2
für die freie Energie. Nach Unterteilung ergibt sich
2F.T; V =2; N=2/ D
d.h.
D
F D N k B T ln.2/ ¤ 0 :
3
2mkB T
2
(11.26)
h 2
2 N V
2 k BT ln
2
V
N k B T ln
2
3
2mkB T
h 2
3
2mkB T
2
h 2
D F .T; V; N / C N k B T ln.2/ ; (11.27)
Thermodynamisch gilt für den Vorgang der Unterteilung d Q D d W D 0, d.h. E D
0. Der Prozess ist reversibel, also S D 0, damit
F D E T S D 0 :
Der Widerspruch zwischen dem Ergebnis aus Teilaufgabe a und b kann durch Einführung
des Faktors 1=N ! in der Zustandssume Z aufgelöst werden.
2
161

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 12
1. Für das großkanonische Potential J D J.T; V; / eines idealen Quantengases gilt
J.T; V; / D P.T; / V D 2 3
E.T; V; /
mit
D 2 3 k BT a.T; V /
Z 1
0
dx
x 3 2
e x ˇ ˙ 1 ;
a.T; V / D
Das
Vg 3
2mkB
2
T
1
; x D ˇ" ; ˇ D
.2/ 2 2 k B T :
C Zeichen steht für ein
Fermi
Bose
–Gas. Betrachtet werden sollen die ersten Korrekturen
des idealen Quantengases gegenüber dem klassischen Grenzfall eˇ 1.
a) Zeigen Sie, dass
E.T; V; N / N k B Ta.T; V /
gilt. Nutzen Sie ggf.
5
2
eˇ eˇ
1
2 5 2
.˛/ D
Z 1
0
dx x˛ 1 e x :
b) Die Energie hat als natürliche Variable die Teilchenzahl N . Stellen Sie den Faktor
eˇ durch N dar. Verwenden Sie ein iteratives Verfahren und bestätigen Sie, dass
in erster Ordnung
eˇ.1/ 3
N
2 a.T; V / . 5 / 1 ˙ 1
3 N
2 a.T; V / . 5 / 2 2
gilt.
2 3 2
D NN 1 ˙ NN
2 3 2
c) Geben Sie, vermittelst Ihres Ergebnisses aus Teilaufgabe b, die Energie E.T; V; N /
aus Teilaufgabe a bis zur Ordnung O.N 2 / an. Diskutieren Sie die Effekte der Quantenstatistik
auf die Zustandsgleichung.
162

2. Betrachten Sie ein Kristall aus N -Atomen, wie es die nebenstehende
Abbildung zeigt. Punktdefekte können z. B.
dadurch enstehen, dass Atome aus ihren regulären Gitterplätzen
in die Räume zwischen die Atome verschoben
werden. Das Atom auf dem Zwischengitterplatz und
die enstandene Lücke werden als Frenkel-Paar bezeichnet.
Ein Gitter habe n, 1 n N , Frenkel-Paare. Die Energie
zur Erzeugung eines Frenkel-Paares sei " 0 . N 0 ist die
Anzahl der Zwischengitterplätze.
Das System sei für die Temperatur T im thermischen Gleichgewicht. Zeigen Sie, dass
für " 0 k B T
n 2
.N n/.N 0 n/ D e " 0=.k B T /
bzw. n p NN 0 e " 0=.2k B T /
gilt.
3. The energy level of an oscillator with frequency ! is given by
" D 1 2 ! ; 3
2 ! ; : : : ; n C 1
! ; : : : :
2
When a system consisting of N almost independent oscillators has the total energy
E D N 2
! C M ! ;
with M D n 1 C n 2 C C n N . Find the thermodynamic weight Z.E/, and determine
the relation between the temperature of this system and E.
Hint: For the thermodynamic weight, find the number of ways of distributing M white
balls among N labelled boxes.
4. When a particle with spin 1 is placed in a magnetic field B, its energy level split into
2
˙mB and it has a magnetic moment m or m along the direction of the magnetic field,
respectively. Suppose a system consisting of N such particles is in a magnetic field B and
is kept at temperature T . Find the entropy, the internal energy, the total magnetic moment
M and the specific heat of this system with the help of the canonical distribution. Assume
that the spins are independent of each other.
163

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Für die Energie folgt aus dem groSSkanonischen Potential
E D k B T a.T; V /
Z 1
0
dx
x 3 2
e x ˇ ˙ 1 D k BT a.T; V /
Z 1
0
eˇ x
dx x 3 2
1 ˙ : eˇ x (12.1)
Mit eˇ 1 gilt auch eˇ x 1, d.h.
.1 ˙ ˛/ 1 1 ˛ C O.˛2/
;
und somit für (12.1)
E k B T a.T; V /
D k B T a.T; V /
D k B T a.T; V /
Z 1
0
Z 1
eˇ
0
Z 1
dx x 3 2 eˇ x 1 eˇ x C : : :
dx x 3 2 eˇ x e 2.ˇ x/ C : : :
0
dx x 3 2 e x e 2ˇ Z 1
0
dx x 3 2 e 2x C : : : : (12.2)
Für das erste Integral erhält man mit der Darstellung der -Funktion
Z 1
Z 1
5
dx x 3 2 e x D dx x 5 2 1 e x D : (12.3)
2
0
0
Das zweite Integral von (12.2) ist mit 2x D ,
Z 1
dx x 3 2 e 2x D 1 3
1
2
2 2 Z 1
d 5 2 1 e D 1
0
Die Energie ist
E k B T a.T; V /
b) Es gilt N D @J=@,
N D 2 3 k BT a.T; V /
D 2 3 ✟✟✟ k B T a.T; V /
5
2
Z 1
0
Z 1
0
0
eˇ eˇ
1
dx x 3 2
2 5 2
2 5 2
@ 1
@ e x ˇ ˙ 1
ˇ
dx x 3 2
✁✁ˇex Œe x ˇ ˙ 1 2
5
: (12.4)
2
: (12.5)
164

Für den Integranden gilt
e x ˇ
Œe x ˇ ˙ 1 D ex ˇ 2.ˇ x/
e 2 Œ1 ˙ eˇ x 2
somit
D
eˇ x
Œ1 ˙ eˇ x 2
eˇ x 1 2eˇ x C : : : ;
N 2 Z 1
3 a.T; V / dx x 3 2 x eˇ
1 2eˇ x C : : :
D 2 3 a.T; V /
0
eˇ Z 1
D 2 5
3 a.T; V / eˇ ✁2 1 2 ✁2
D 2 3 a.T; V / eˇ 5
2
0
dx x 3 2 e x 2e 2ˇ Z 1
1
23
2
0
5
2e 2ˇ
dx x 3 2 e 2x C : : :
1 eˇ
2 3=2
: (12.6)
In nullter Ordnung erhält man aus (12.6)
N D 2 5
3 a.T; V / eˇ.0/ ) eˇ.0/ D 3 N
2
2 a.T; V / . 5 / ;
2
eingesetzt in (12.6) ergibt
N D 2 5
3 a.T; V / eˇ 1 3 N
2 2 3=2 2 a.T; V /
. 5 2 / 2
) eˇ.1/ D 3 N
2 a.T; V / . 5 / ˙ 1 2
3 N
2 3=2 2 a.T; V / . 5 / 2 2
) eˇ.1/ D NN 1 ˙ NN
: (12.7)
2 3=2
c) Mit dem Ergebnis (12.5) aus Teilaufgabe a und (12.7) aus Teilaufgabe b lautet die Energie
bis zur Ordnung O.N 2 /,
5
E k B T a.T; V / NN ˙
2 NN
2
1 1
NN ˙ NN
2
:
2 3=2 2 5=2 2 3=2
5 N
k B T a.T; V / NN
2
2 2 NN ˙
25=2 2 3=2
5
Dk B T a.T; V / NN 1 ˙
2 NN
2 5=2
165

Dk B T ✘ ✘✘ ✘ a.T; V /
5 3
2 2
N
✘✘ a.T; ✘✘ V / ✟ ✟
✟
D 3
2 N k BT 1 ˙ N
2 3 5=2 2 .2/2
Vg
Mit
n C 1
D
2
. 5 / 1 ˙ 1 3 N
2 5=2 2
2
a.T; V /
3
.2mk B T / 1
3=2 . 5 / :
2
1 3 .2n 1/ p 5 ) D
2n
2
folgt schlieSSlich
E D 3
2 N k BT 1 ˙ N
✁3
5=2
✟2 ✟
✁2 2 2 2 3
Vg ✟2 3=2 ✟ .mk B T / ✁42
3=2 ✁3 1=2
) E D 3 2 N k BT
1 ˙ N 3
3
2
2Vg mk B T
Aus J folgt die Zustandsgleichung
pV D 2 3 E ) pV D N k BT
1 ˙ N
3
2Vg
Daraus liest man ab,
mk B T
3
2 :
. 5 2 /
2 C 1
D 3
2 4p
Fermistatistik: Zunahme des Drucks gegenüber dem klassischen Wert; Austauscheffekte
bewirken eine zusätzliche AbstoSSung zwischen den Teilchen.
Bosestatistik: Effektive Anziehung der Teilchen und damit Druckerniedrigung.
Aufgabe 2
Die Anzahl der Möglichkeiten n Atome auf N Gitterplätze zu verteilen ist
N !
n!.N n/! ;
entsprechend ist die Anzahl der Möglichkeiten n Atome auf N 0 Zwischengitterplätze zu verteilen,
N 0 !
n!.N 0 n/! :
Die mikrokanonische Zustandssumme lautet somt
˝.E/ D
N !
n!.N n/! N 0 !
n!.N 0 n/! : (12.8)
166

Im thermischen Gleichgewicht ist die freie Energie F D E TS minimal. Zunächst berechne
man aus die Entropie S D k B ln ˝.E/. Mit 1 n N; N 0 , erhält man vermittelst der
Sterlingschen Formel,
ln ˝.E/ D ln N ! ln n! ln.N n/! C ln N 0 ! ln n! ln.N 0 n/!
DN ln N ✚ ✚ N n ln n C✚n .N n/ ln.N n/ C .✚ ✚ N ✚n/
C N 0 ln N 0 ✚✚N 0 n ln n C✚n .N 0 n/ ln.N 0 n/ C .✚✚N 0 ✚n/
DN ln N C N 0 ln N 0 2n ln n .N n/ ln.N n/ .N 0 n/ ln.N 0 n/ :
Die freie Energie des Kristalls ist F D DeltaE TS D E k B T ln ˝. Der Energieunterschied
E ist der Unterschied zwischen der Energie des perfekten Kristalls und des defekten
Kristalls, dieser ist gerade
E.n/ D n" 0 :
Die freie Energie soll minimal sein, d.h
dF
dn D 0 D" 0 k B T 2 ln n 2 C ln.N n/ C 1 C ln.N 0 n/ C 1
n 2
D" 0 C k B T ln
.N n/.N 0 n/
n 2
) ˇ" 0 D ln
.N n/.N 0 n/
) e ˇ" 0
D
n 2
.N n/.N 0 n/ :
Mit der Näherung n N , n N 0 folgt
e ˇ" 0
n 2
.N n/.N 0 n/ D n 2
NN 0 1
) n p NN 0 e " 0=.2k B T /
:
n
N
n2
NN 0
Exercise 3
Quantum number of the i-th oscillator ist denoted by n i , the statemetn that the total energy of
the system is equal to 1 2 N ! C M ! implies that M D n 1 C n 2 C C n N . Therefore, the
thermodynamic weight Z.E/ of a macroscopic state with the total Energie E is equal to the
number of ways of distributing M white balls among N labelled boxes.
167

1 2 3 4 5 6 M C N 1
A box may be emtpy, since n i D 0 is possible. As is evident from the picture above, one can
get this number by finding the number of permutations of placing in a row all the withe balls
together with .N 1/ red balls that designate the dividing walls. If one labels all the balls with
the the running numbers, 1; 2; : : : ; M C N 1, the number of permutations is .M C N 1/!.
When one erases these numbers there appear indistinguishable distributions, the number of
which is equal to the number of permutations among the (numbered) balls with the same color,
M !.N 1/!. Therefore
Z.E/ D
.M C N 1/!
M !.N 1/!
(12.9)
The temperature of the system is given by the relation
1
T D @S
@E D k @ log Z.E/
B : (12.10)
@E
Using Sterling formulae under the assumption, N 1, M 1, one has for the entropie
S Dk B
.M C N / ln.M C N / .✟ ✟ M C ✚ ✚ N / ✟ ✟ M log M C M N ln N C ✚ ✚ N
Dk B
.M C n/ ln.M C n/ M ln M N ln N
:
Insert
E D N !
2
into Eq. (12.10)
C ! M ) dE D ! dM (12.11)
1
T D k B @ ln Z.E/
! @M
D k B
ln.M C N / C 1 ln M 1
!
D k
B M C N
! ln M
D k
B M C
1
! ln N C 1 N
2 2
M
1 N C 1 N 2 2
168

k E 1
B
! ln N C 1 N C 1 N
! 2 2 2
E 1
N 1 N C 1 N D k E
B
! ln C 1 !
N 2
E 1
! ! 2 2 2 N 2
) ! E
k B T D ln C 1 !
N 2
E 1
! N 2
(12.11)
D
Solving this for E, one gets
E eˇ! 1
2 N ! eˇ! D E C 1 2 N !
)E eˇ! 1 D 1 1
2 N ! C eˇ!
) eˇ! D E C 1 N ! 2
: (12.12)
E 1 N !
2
)E D 1 eˇ! 2 N ! C 1
eˇ! 1 D 1 eˇ! 2 N ! 1 C 2
eˇ! 1
1 !
) E D N ! C : (12.13)
2 eˇ! 1
Note
From Eq. (12.13) one gets the dimensionsless equation
E
N ! D 1 2 C 1
eˇ! 1 D 1 2 C 1
e 1 x 1 ;
where
x D k BT
! :
In the picture below E=N ! is plotted against x.
1.5
E=.N!/
1.0
0.5
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
x
169

Exercise 4
Since the spins are independent of each other, the partition function of the total system Z N is
equal to the N th power of the partition function for the individual spin
Z 1 D eˇmB C e ˇmB D 2 cosh.ˇmB/ :
Hence
Z N D Z N 1 D Œ2 cosh.ˇmB/N :
The free energy is
F D k B T ln Z N D N k B T lnŒ2 cosh.ˇmB/
With
ˇ D 1
k B T ! dT D 1
k Bˇ2 dˇ
one gets
D Nˇ ln eˇmB C e ˇmB : (12.14)
S D
@F
@T D k Bˇ2 @F
@ˇ
D k Bˇ2 Nˇ2
lnŒ2 cosh.ˇmB/
N
ˇ
mBeˇmB
mBe ˇmB
eˇmB C e ˇmB
eˇmB e ˇmB
D N k B lnŒ2 cosh.ˇmB/ mBˇ eˇmB C e ˇmB
) S D N k B
lnŒ2 cosh.ˇmB/ mBˇ tanh.ˇmB/
:
From the relation E D F C TS one finds for the internal energy,
E D F C TS D N k B T lnŒ2 cosh.ˇmB/
C N k B T lnŒ2 cosh.ˇmB/ mBˇ tanh.ˇmB/
) E D N mB tanh.ˇmB/ :
The magnetic moment is
M D
@F
@B D N ✁ ✁ˇ 1
✁2 cosh.ˇmB/ ✁2 ✁ ✁ˇm sinh.ˇmB/
) M D N m tanh.ˇmB/ ;
170

and the specific heat is
@E
C D D
@T
B
k Bˇ2
D k Bˇ2 @
@ˇ
@E
@ˇ
B
D k Bˇ2N
mB
N mB tanh.ˇmB/
1
cosh 2 .ˇmB/ mB ) C D N k B.ˇmB/ 2
cosh 2 .ˇmB/ :
171

Übungen zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Blatt 13
1. Befindet sich ein magnetisches Moment in einem magnetischen Feld B, dann nimmt
es die diskreten Werte g B m, m D J; J 1; : : : ; J C 1; J , an. g ist der Landé-
Faktor und B das Bohrsche Magneton. Ein Körper enthalte n nicht-wechselwirkende
magnetische Momente pro Einheitsvolumen.
a) Zeigen Sie, dass die Zustandssumme durch
Z D sinh ˇg B B 2J C 1
2
sinh 1 2ˇg BB
n
; ˇ D 1
k B T ;
gegeben ist. Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Relation
nX
kD n
x˛k D x ˛n 2nX
lD0
x˛l D .x˛.2nC1/ 1/
x˛n .x˛ 1/
D x ˛
2 .2nC1/ x ˛
2 .2nC1/
x ˛
2 x ˛
2
b) Bestätigen Sie, dass die Magnetisieriung des Körpers durch
M D ng B JB J mit B J WD 1
J C 1
coth 2J C 1
J 2 2
:
1
2 coth
;
2
D ˇg B B, gegeben ist. Die Funktion B J wird als Brillouin-Funktion bezeichnet.
c) Bestimmen Sie die magnetische Suszeptibilität D @M=@B für ein schwaches
Feld bei hoher Temperatur .g B JB k B T / an. Diskutieren Sie den Grenzfall
J D 1 2 und J ! 1 . B ! 0 und g B J ! 0 /).
2. Atoms in a solid state vibrate about their respective equilibrium positions with small
amplitudes. Debye approximated the normal vibrations with the elastic vibrations of an
isotropic continous body and assumed that the number of vibrational modes g.!/ d!
having angular frequencies between ! and ! C d! is given by
g.!/ D
C 2 ! 2 9N ! 2 ct
3 ! D
3 D .! < ! D /
0 .! > ! D / :
(
V 1
2 2 c 3 l
Here, c l and c t denote the velocities of longitudinal and transverse waves, respectively.
The Debye frequency ! D is determined by
Z !D
0
d! g.!/ D 3N
where N is the number of atoms and hence 3N is the number of degrees of freedom.
172

a) Calculate the partition function of a quantum mechanical oscillator with mass m
and angular frequency !.
b) Calculate the heat capacity of a solid at constant volume with this model. Use the
notations D D ! D =k B and D ˇ!. Examine its temperature dependence at
high .T D / as well as at low .T D / temperatures. In the low temperature
regime, the upper limit of the resulting integral is very large and my be replaced by
infinity, use the formula for Riemann -functions
Z 1
0
d
s e
.e 1/ D s! X 1
1
2 n D s!.s/ ;
s
nD1
where .2/ D 1 6 2 ; .3/ D 1:202; .4/ D 4 =90.
3. Betrachten Sie ein ideales Bose Gas im Volumen V , das aus N Teilchen besteht. N 0 ist
die Anzahl der Teilchen im niedrigsten energetischen Zustand . Ep D E0/ und N 0 ist die
Anzahl der Teilchen in den angeregten Energiezuständen . Ep ¤ E0/. Zeigen Sie, fällt die
Temperatur T unterhalb eine bestimmte Temperatur T c , dann gilt N 0 N 0 und das chemische
Potential verschwindet. Verwenden Sie an geigneter Stelle die Zustandsdichte
D.E/ D 2 V h 3 .2m/ 3 2
p
E
für ein freies Teilchen und
F 3 .˛/ D 2 Z 1
p dx x 1 2
2 0 e D xC˛
1X
nD1
e n˛
n 3 2
;
F 3 .0/ D 3 2 2 D 2; 612.
4. Berechnen Sie die mittlere Zahl von Photonen in einem Strahlungshohlraum mit dem
Volumen V bei gegebener Temperatur T . Verwenden Sie an geeigneter Stelle
Z 1
0
dx x˛ 1
e x 1
D .˛/ .˛/ :
5. Berechnen Sie das chemische Potential eines entarteten idealen Fermiegases, das aus
Spin 1 -Teilchen zusammengesetzt ist bis zur Ordnung T 4 . Die Gesamtzahl der Teilchen
2
ist N . Der Wert des chemischen Potentials bei T D 0 ist " F D 0 . Beachten Sie, ist g."/
eine stetige, an der Stelle " D beliebig oft differenzierbare Funktion, die im Intervall
j" j k B T nur langsam varriert, dann ist
Z 1
" 0
d" g."/f ."/ D
Z
6ˇ2
" 0
d" g."/ C 2
173
dg."/
d"
ˇ C 74
ˇ"D 360ˇ4
d 3 g."/
d" 3 ˇˇˇˇ"D
C : : : ;

mit f ."/ D Œexpfˇ." /g C 1 1 . Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Näherung
.1 C x/ n=m 1 C n x C n2 mn
x 2 : : : für x 1.
m 2m
2 2 4
Ergebnis: D 0 1
2 k B T 4 k B T
12 0 80 0
C : : :
174

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Ist M das gesamte magnetische Moment des Körpers, so ist die Energie im Magnetfeld
B,
nX
nX
E D MB D g B B m i D m i ; g B B : (13.1)
iD1
iD1
Die kanonische Zustandssumme ist dann
Z D
D
D
JX
m 1 D J
JX
m 1 D J
nY
jD1
JX
m n D J
eˇm 1
e ˇE D
JX
m n D J
e 2 .2J C1/ e 2 .2J C1/
e 2 e 2
JX
m 1 D J
eˇm n
D
D
nY
JX
m n D J
JX
jD1 m j D J
sinh
2
eˇ P i m i
eˇm j
.2J C 1/
sinh 2
sinh
.2J C 1/ n
2
) Z D
sinh : (13.2)
2
b) Die Magnetisierung ist M D @F . Mit der freien Energie F D k @B
Magnetisierung
M D k B T @ ln Z
@B :
Aus (13.1) erhält man d D ˇg B dB, und somit
M D ✟
✟ ✟ k B T ✁ ✁ˇg B
@ ln Z
@
n
BT ln Z folgt für die
D g B
@ ln Z
@ : (13.3)
Vermittelst (13.2) berechnet man
@ sinh
@ ln .2J C 1/
2
sinh 2
sinh 2J C1
cosh 2
D
.2J C 1/ 2 2 sinh sinh .2J C 1/ 1 2 2 2 cosh 2
sinh .2J C 1/ 2 sinh 2 2
D J C 1
coth 2 2 .2J C 1/ 1
2 coth 2 ;
175

eingesetzt in (13.3)
M D ng B J 1
J C 1
coth J 2 2 .2J C 1/ 1
2 coth
2
) M D ng B JB J
c) Für die magnetische Suszeptibiltität gilt
D @M
@B D ˇg@M @
Mit der Näherung g B JB k B T ! J 1 erhält man mit
coth x D 1 x C x 3 C O.x3 /
für die Brillouin-Funktion
B.J/ ' 1
J C 1
1
J 2 .J C 1 / C .J C 1 /
2
3
2
D 1
1 ✄ ✄ .2J C 1/2
C
1
✄ ✄
J ✄ 12 ✄
12
D 1 4J 2 C 4J C ✁1 ✁1
D J C 1 ;
J 12
3
und damit
M ' ng B J J C 1
3
) D nˇg 2 2 B J J C 1
3
Für den spezialfall J D 1 2 ,
1
2
D n
1 3
2 2 g2 2 B
3k B T
.g B BJ k B T /
D n
g2 2 B
4k B T :
) D nJ.J C 1/g2 2 B
3k B T
1 2
2 C
C : : :
3 2
Für J ! 1 mit g B J ! 0 und ! 0 ist die Brillouinfunktion
: (13.4)
1✁✕
B 1 ./ D lim 1 C
J !1 2J ✁ ✁
1
D coth J
0
coth
J C 1
✄ ✄
✄ 2
2
C : : :
1
coth
2J ✚ ✚✚✚❃ 2
J C : : : 176

Damit lautet die Magnetisierung
1
M D n 0
coth J
J
Aus (13.4) berechnet man für ein schwaches Feld
nJ 2 g 2 2 B
D lim
J !1 3k B T
C nJg2 2 B n
2
0
D lim
3k B T J !1 3k B T C n 2
✚ ✚✚✚✚❃0
0
3Jk B T
) 1 D n2 0
3k B T :
Exercise 2
a) The energy level of a quantum mechanic oscillator is " n D .n C 1 !/. The partition
2
function is given by
Z j D
1X
e ˇ" n
D
nD0
1X
e ˇ.nC 1 2 /! D e 1 2 !
nD0
D e 1 2 !
1 e D 1
ˇ!
e !
2k B T
e
!
2k B T
D
X 1
e nˇ! j
nD0
ˇ!
2 sinh
2
1
:
b) The partition function for a harmonic oscillator having an angular frequency ! j is given
by
Z D Y Z j D Y 1 ˇ!
2 sinh
2
j j
The heat capacity at constant volume is given by
@E
C V D : (13.5)
@V
V;N
The internal energy E can be calculated from the free energy
dF D dE C SdT ) @F
@T D S ;
and
F D E C TS ) E D F TS D F C T
177
@F
: (13.6)
@T

With
@
@T
F
T
D
F T 2 C 1 T
@F
; (13.7)
@T
one find
E (13.6)
D
(13.7)
@ F
T 2 @T T V;N
The free energy is given by
Y
1 ˇ!j
F D k B T ln Z D k B T ln 2 sinh
2
j
D k B T X 1 ˇ!j
ln 2 sinh D k B T X ˇ!j
ln 2 sinh :
2
2
j
j
(13.8)
Let the number of oscillators whose angular frequencies lie between ! and ! C d! be
denoted by g.!/ d!. Then,
Z 1
F.T; V; N / D k B T d! ln 2 sinh ˇ!
g.!/ (13.9)
2
0
where V ist the volume; N is the number ov atoms. The internal energy is (13.8)
Z @ 1
E D T
k 2 B d! ln 2 sinh ˇ!
g.!/
@T 0
2
Z 1
D k B T 2 d! @
ln 2 sinh ˇ!
g.!/
0 @T 2
„ ƒ‚ …
D ".!/
Z 1
D k B T 2 d! ".!/ g.!/ : (13.10)
0
where ".!/ is the mean energy of harmonic oscillators,
1 @
ˇ!
".!/ D
k B T 2 @ˇ ln 2 sinh 1
; dˇ D
2
k B T dT
2
1 1
ˇ!
D
✁2 cosh ! k B T 2 ✁2 sinh. ˇ! / 2 2
2
D ! ˇ!
2k B T coth 2 2
178

With
coth x D cosh x
sinh x D ex C e x
e x e D e2x C 1
x e 2x 1 D e2x C 1 C 1 1
e 2x 1
D e2x 1
e 2x 1 C 2
e 2x 1 D 1 C 2
e 2x 1
the mean energy is given by
".!/ D
!
ˇ!
2k B T coth 2 2
and the internal energy
E D
D
Z
✟ k✟ ✟
B T 2 1 1
d!
✟k ✟✟ B T 2 0
!
d!
2 C !
Z 1
0
The heat capacity (13.5) is
C D @
@T
Z 1
0
and with the derivative
eˇ! 1
D
1 !
k B T 2 2 C !
;
eˇ! 1
!
2 C !
g.!/ :
d! ".!/g.!/ D 1
k B T
eˇ! 1
Z 1
0
g.!/
d! @".!/
@ˇ g.!/ ;
@".!/
@ˇ
D @ !
@ˇ 2 C !
eˇ! 1
D
.!/2 eˇ!
.eˇ! 1/ 2
one has
C D 1
k B T 2 Z 1
D 9N k B
! 3 D
0
Z !D
0
d!
d!
.eˇ!
eˇ!
eˇ!
1/ 2 .!/2 g.!/
.eˇ! 1/ 2 .ˇ!/2 ! 2
Notations: D ˇ!, D D ! D =k B ) D
T D ˇ! D.
C D 9N k B
! 3 D
Z D =T
0
d
ˇ
e
T 3 Z D =T
D 9N k B d
D
0
.e 1/ 2 2 2
.ˇ/ 2
4 e
.e 1/ 2 : (13.11)
179

In particular, if T D , D =T 1 and 1. Therefore, the integrand in (13.11)
can be approximated by 2 ,
3 Z T
D =T
3 T
C V 9N k B d 2 D 9N k B 1 D D 3
0
3 D
) C V 3N k B . D T / : (13.12)
At low temperatures, T D . The upper limit of the integral (13.11) is very large and
my be replaced by infinity,
3 Z T
D =T
C V D 9N k B d
D
0
4 e
.e 1/ 2
D 9N k B
T
D
3
4!.4/ D 9N k B
T
D
3
4! 4
90
3 T 4 4
D 3N k B
D 5
4 4 T 3
) C V D 3N k B
5 D
. D T / : (13.13)
Aufgabe 3
Für das ideale Bose Gas gilt
N D X i
1
eˇ." i /
1 D 1
e ˇ 1 C X i¤0
1
T
eˇ." i /
1 D N 0 C N 0 ;
mit " i als dem Ein-Teilchen Energiezustand. Mit der Zustandsdichte D.E/ folgt
3 Z p 2m
N 0 2 1 "
D 2V
d"
h 2 eˇ." / 1 :
0
Die Substitution x D ˇ" ! dx D ˇ d" folgt
3 Z 2m
N 0 2 1
dx x 1 2ˇ 1
2
D 2V
h 2 0 ˇ eˇ." / 1
3 Z 2m
2 1
x 1 2
D 2V
dx
ˇh 2 0 eˇ." / 1
3 Z 2m
2
2 1
x 1 2
D V p dx
ˇh 2 0 eˇ." / 1
3
2m
2
D V F
ˇh 2 3 .˛/ .˛ D ˇ/ : (13.14)
2
180

Die Funktion F 3 .˛/ ist nur im Bereich ˛ D
2
Funktion F 3.˛/ liest man
2
F 3
2
.˛/ F 3 .0/ D
2
1X
1
nD1
n 3 2
D 2; 612 . D 0/ ;
ab. Mit (13.14) folgt
3
2m
N 0 2
< V 2; 612 D N
0
ˇh 2 max .T / ;
ˇ > 0 definiert. Aus der Darstellung für die
d.h. es existiert eine obere Grenze für die Anzahl der Teilchen in einem höheren Energiezustand,
diese obere Grenze ist temperaturabhängig.. Wenn Nmax 0 .T / kleiner als die Gesamtzahl
N wird, müssen N Nmax 0 .T /-Teilchen müssen in den Grundzustand " D 0 gehen. Die kritische
Temperatur T c ist damit
3
N
V D 2; 612 2mkB
2
T c
h 2
:
Aufgabe 4
Photonen sind Bosonen; wg. der Polarisation ist ein Faktor 2 zu berücksitigen. Die mittlere
Zahl ist im gegebenen Volumen V ist
Z
NN D 2V
d 3 k E 1
.2/ 3 eˇ! 1
Mit ! D cj E kj ) d! D c dk, folgt
NN D
D
Z 1
✁2V
.✁2/ ✁4 3 0
V Z 1
d!
2 c 3
0
dk
! 2
; " D ! :
k 2
eˇ! 1 D V Z 1
2
eˇ! 1 :
0
d!
c 3
mit der Substitution x D ˇ! ! dx D ˇ d! folgt
NN D
V Z 1
dx 1 x 2
2 c 3 0 ˇ .ˇ/ 2 e x 1
Z
V 1
D
dx
x2
2 c 3 .ˇ/ 3 0 e x 1 D V
2 c 3 .ˇ/ 3
V
D 2 1; 202
2 c 3 .ˇ/ 3
) NN D
2; 404 V
2 c 3 3 .k B T / 3 :
181
.3/.3/

Aufgabe 5
Mit der Zustandsdichte aus Aufgabe 3,
D.E/ D 2 2 V h 3 .2m/ 3 2
p
E ;
unter Berücksichtigung eines Faktors 2 für den Spin folgt für die Gesamtzahl N der Teilchen
Z
1
N D d" f ."/D."/ ; f ."/ D
eˇ." / C 1 : (13.15)
Für T D 0 ist f ."/ D 1 und D 0 ,
N D
Z 0
0
d" D."/ D 4V Z 0
.2m/ 3
h 3 2
) 3 2
0 D 3 N
2 4V
3
2m
2
h 2
0
d" " 1 2 D 4V
2m
h 2 3
2
) 0 D h2 3N
3
2m 8V
Für T > 0 lautet die Zustandsdichte mit (13.16),
2m
D."/ 0 D ✘✘✘
4V
3
h 2
) D."/ D 3N p " ;
2 0
und damit
N D
Mit
Z 1
0
2
N
✘✘✘
4V
3
h 2
2 2m
3
2 p" D
3N
2
p
E
2 3
2
0
: (13.16)
d" D."/f ."/ D 3N Z 1
d" p " f ."/ : (13.17)
2 3 2 0
0
g."/ D " 1 2 ; g 0 ."/ D 1 2 g 1 2 ; g 00 ."/ D 1
4 " 3 2 ; g 000 ."/ D 3 8 " 5 2
erhält man
N D 3N Z
2
d" e 1
2 3 2 C
2 0
0
D 3N
2 3 2
0
2
3 3 2 C
2
6ˇ 1 2 1 2 C
7 4
360ˇ4 5 2 C : : :
2 6ˇ 1 2 C
3 7 4
8 360ˇ4 5 2 C : : :
182

3
2
D N 1 C 2
0
) 1 D
8ˇ2 2 C 74
640ˇ4 4 C : : :
0
3
2 1 C 2
8ˇ2 2 C 74
640ˇ4 4 C : : :
) D 0
1 C 2
8ˇ2 2 C 74
640ˇ4 4 C : : :
Mit der angegebenen Näherung
' 0
1
D 0
1
D 0
1
2
3
:
2 1
3 8 2 C 7
640 4 C 5 1
9 8 2 C 7 2
640 4 C : : :
1 7
12 2 960 4 C 5
576 4 C : : :
2
12 .ˇ/ 2 C 4
720 .ˇ/ 4 C : : : ;
in erster Näherung
D 0
1
2
12 .ˇ 0/ 2 : : :
(13.18)
und in zweiter Näherung mit dem Ansatz
2 4
D 0
1 C a C b C : : : D 0 1 C ax 2 C bx 4 C : : :
ˇ 0 ˇ 0
) .ˇ/ 2 D .ˇ 0 / 2 1 C ax 2 C bx 4 C : : : 2 ' .ˇ 0 / 2 1 2ax 2 C : : : :
Eingesetzt in den Ansatz ergibt
1 C ax 2 C bx 4 D 1 C a x 2 2ax 4 C bx 4 D 1 C ax 2 C b 2a 2 x 4 ;
mit a D 1 und b D 1 folgt schließlich
12 720
1
D 0
1
1
12 x2 C
) D 0
1
2
12
1
x 4 C : : :
72
720
kB T
2
4
0 80
kB T 4
C : : :
0
183

1. Klausur zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
1. Die Zustandsgleichung für ein Gas sei p D p.T; V /, d.h. der Druck p ist Funktion der
Temperatur T und des Volumens V . Diese Zustandsgleichung lasse sich eindeutig nach
V auflösen.
a) Zeigen Sie, dass für den isochoren Spannungskoeffizienten D 1 @p
, den
p @T
V
isobaren Ausdehnungskoeffizienten ˇ D 1 @V
und den isothermen Kompressionskoffezienten
D
die Relation ˇ D p
V @T p
gilt.
1 V
@V
@p
b) Verifizieren Sie diese Relation für ein ideales Gas.
T
c) Verifizieren Sie, dass die oben definierten Größen die Konsistenzbedingung
@
@p ŒV ˇ T
D
@
@T ŒV p
erfüllen müssen.
d) Für ein System seien
ˇ D 1
1 C 3a
T V T 2
und
D 1 p
1 C a
VT 2
gegeben. Dabei ist a eine beliebige Konstante. Verifizieren Sie, dass dieses System
die Konsistenzbedingung c) erfüllt und bestimmen Sie die Zustandsgleichung in
der Form V D V .p; T /.
(7 BE)
2. Ein ideales Gas .pV D nRT , E D C V T / durchlaufe den folgenden Kreisprozess
a) Skizzieren Sie den Kreisprozess in den .p; V /, .T; V / und .p; T / Diagrammen.
b) Berechnen Sie für jedenTeilschritt die geleistete Arbeit und die ausgetauschte Wärme
und bestimmen Sie den Wirkungsgrad.
(5 BE)
3. Die thermische Zustandsgleichung eines thermodynamischen Systems lautet p.T; V / D
T f .V / C g.V /, d.h. die unbekannten Funktionen hängen nur vom Volumen V ab.
Zeigen Sie, dass die Wärmekapazität bei konstantem Volumen .C V / nur vom Volumen
abhängt und verifizieren Sie, dass die innere Energie von der Form E.T; V / D
R
dT 0 C V .T 0 / C G.V / ist. Geben Sie den Zusammenhang zwischen G.V / und g.V /
an.
(4 BE)
4. Eine paramagnetische Substanz werde durch das Curie-Gesetz M D C H=T und die
innere Energie E D a T 4 beschrieben. Dabei sind a und C Materialkonstanten.
184

a) Berechnen Sie die von der Substanz abgegebene Wärmemenge Q, wenn das Magnetfeld
bei konstanter Temperatur T 1 von 0 auf H erhöht wird.
b) Das Magnetfeld werde nun adiabatisch auf 0 abgesenkt. Berechnen Sie die Temperatur
T 2 , die die Substanz dann auweist.
(4 BE)
5. Betrachten Sie ein Gas aus Molekülen, die drei Energiewerte 1 < 2 < 3 annehmen
können, als ein Gemisch von drei idealen Gasen mit der Eigenschaft, dass die jeweiligen
molaren inneren Energien durch e i D L i festgelegt seien. Alle Sorten haben identische
Entropie pro Mol und das Gemisch befinde sich bei festem Druck p in einem konstanten
Volumen V . Es seien Übergänge von 1 $ 2 und 2 $ 3 möglich.
a) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingungen ausgehend von der freien Enthalpie auf.
b) Bestimmen Sie die Verhältnisse der Molzahlen n 2 =n 1 und n 3 =n 1 als Funktion der
Temperatur und der zugehörigen Differenzen i j .
c) Was ändert sich, wenn auch Übergänge n 2 $ n 3 erlaubt sind? (5 BE)
185

Lösungsvorschlag
bfAufgabe 1
a) Es gilt
p D p 1
V
@V
@p
T
mit
@p @V @T
@V
T
@T
p
@p
V
1 @p
p @T
V
D
@V
@p
D 1 @V @p
V @p
T
@T
V
1
T
@p
@T
1
V
@V
D 1
@T
p
;
folgt
p D 1
V . 1/ @V
@T
p
ˇ
b) Aus der Zustandsgleichung
pV D nRT ! V D nRT
p
(1.1)
des idealen Gases folgt
D 1 @V
D 1 nR
p @T V p V D ✟✟ nR
✟nRT ✟ D 1 T ;
ˇ D 1 @V
D 1 nR
D 1 V @T p V p T ;
D 1 @V
D 1 nRT
D 1 V @p V p 2 p :
Daraus berechnet man
p D p 1 p 1
T D 1 T D ˇ
T
c) Einsetzen von ˇ und und ausdifferenzieren ergibt
@
@p ŒV ˇ T
D
@
V 1 @V
@p V @T p T
D @2 V
@p@T
186

@
@T ŒV p
D
@
V
@T
1 @V
D @2 V
V @p T p @T @p ;
die Konsistenzbedingung ist damit erfüllt.
alternativ: Es gilt
@V
Vˇ D ; V D
@T
p
@V
@p T
:
Aus V D V .T; p/ erhält man
@V @V
dV D dT C
@T @p
p
T
dp D Vˇ dT V dp ;
daraus folgt
@
ŒV
@p
ˇˇˇˇˇT
D
@
@T
ŒV ˇˇˇˇp
d) Für das System gilt
ˇ D 1
1 C 3a
D 1 T V T 2 V
@V
) D V @T
p
T
D 1
1 C a
D 1
p V T 2 V
@V
) D
V @p p
T
@V
@T
p
1 C 3a
V T 2
D V T C 3a
@V
@p T
V T 2
1 C a
T 3 ; (1.2)
D 1
V C a
: (1.3)
p T 2
Die Gleichung (1.3) kann durch Trennung der Variablen integriert werden,
dV
V C a D dp
) ln p D ln V C a
C f .T / : (1.4)
p
T
T 2 2
Die Ableitung dieser Gleichung nach der Temperatur T für konstanten Druck p ergibt
1 @V 2a df .T /
0 D
V C a
C
@T
T 2 p T 3 dT
(1.2)
D
1
V C a
T 2 V
T C 3a
T 3
2a df .T /
C
T 3 dT
187

1 V
D
V C a T C a
df .T /
C
T 3 dT D 1
1
T
T 2 ✘✘ .V C ✘ ✘✘ a V
/ ✟ ✟✟✟✟ C a
C
T 2 ✟ T 2
D 1 df .T /
C
T dT
df .T /
)
dT D 1 ) f .T / D ln T C const: D ln.RT / ;
T
eingesetz in (1.4) ergibt
ln p D ln V C a
p
C ln.RT / )
T 2 ln D
RT
und daraus erhält man
ln V C a
;
T 2
df .T /
dT
V C a
T D RT
2 p
) V D RT
p
a
T 2 :
bfAufgabe 2
a) Diagramme
p
T
p
B
C
T 2
p 1
A
D
V 1 V 2
V
T 1
V 1 V 2
p
V 2
T
T 1 T 2
b) Für die einzelnen Prozesse berechnet man aus pV D nRT und E D C V T ,
Arbeit
Wärme
A ! B
d W D pdV D 0, W 1 D 0 dE D d Q
) Q 1 D C V .T 2 T 1 /
B ! C
dV
d W D dQ
d Q D pdV D nRT 2 V
Q 2 D nRT 2 ln.V 2 =V 1 / D W 2
C ! D
Q 3 D C V .T 1 T 2 / W 3 D 0
D ! A
Q 4 D W 4 D nRT 1 ln.V 1 =V 2 /
Die aufgenommene Wärme ist
Q 1 C Q 2 D C V .T 2 T 1 / C nRT 2 ln V 2
V 1
:
188

Der Wirkungsgrad der Maschine ist
D W 2 C W 4
Q 1 C Q 2
D
nR.T 2 T 1 / ln V 2
V 1
C V .T 2 T 1 / C nRT 2 ln V 2
V 1
< nR.T 2 T 1 / ln V 2
V 1
D T 2 T 1
D
nRT 2 ln V Carnot :
2 T 2
V 1
bfAufgabe 3
Aus dem Differential für die innere Energie folgt
dE D T dS C p dV ) dS D 1 T dE C p T dV ;
somit ist
@S
D 1 @T T
und
@
@T
V
@S
@V
@S
@V
T
@E
@T V
T
V
D 1 T
)
@E
@V
@ @S
@V @T V T
T
C p T ;
D
@2 S
@V @T D 1 T
D 1 @E
C 1
@ 2 E @.p=T /
T 2 @V
T
T @T @V C @T
(1.5)
H) 0 D 1 @.p=T /
C
)
@E
@V
@E
T 2 @V
T
T
D T 2 @.p=T /
@T
Aus der thermischen Zustandsgleichung folgt
p D T f .V / C g.V / ) p T
D f .V / C
g.V /
T
V
@ 2 E
@V @T ; (1.5)
@T
V
: (1.6)
V
)
@.p=T /
@T
V
D g.V /
T 2 :
Die Gleichung (1.6) lautet damit
@E
D g.V / : (1.7)
@V
T
Die Ableitung der Wärmekapazität
@E
C V WD
@T
V
189
(1.8)

ergibt
@CV
@V
T
@ @E
D
@V @T V T
) C V C V .T / :
D
@
@T
@E
@V T V
(1.7)
D
@
@T g.V / V
D 0
Aus (1.8) erhält man damit
Z
E.T; V / D dT 0 C V .T 0 / C G.V /
undmit(1.7)gilt dG.V/
dV D g.V/ :
bfAufgabe 4
Für das Differential der inneren Energie gilt mit der Magnetisierung M ,
dE D d Q C H dM : (1.9)
Aus E D aT 4 folgt
dE D 4aT 3 dT : (1.10)
a) Das Magnetfeld wird bei konstanter Temperatur von 0 auf H erhöht, d.h.
dT D 0
(1.10)
H) dE D 0
(1.9)
H) d Q D H dM :
Mit M D C H=T ) dM D C=T dH erhält man für die Wärme
d Q D H C T dH ) Q D C T 1
H 2 :
b) Adiabatische Temperaturabsenkung, d.h. d Q D 0, aus (1.9) erhält man
dE D H dM (1.10)
H) 4aT ✁32 dT D T
C M dM ;
Integration ergibt für die Absenkung von H auf 0
4aC 1 3 .T 3 2 T 3 1 / D 1 2 .M 2 2 M 2 1 / D C 2 H
2
2
H 2
1
D C 2 H 2
2 T 2 T 2 1
2T 2 1
) T 2 2 T 2 1 D 3C H 2
) T 3
8a T1
2 2 D T 3 3CH 2
1 ;
8aT1
2
d.h. T 2 < T 1 , Abkühlung.
190

fAufgabe 5
Für die freie Enthalpie eines mehrkomponentigen Systems gilt
G D X
n i i .T; p/ C RT ln n
i
n
i
(1.11)
und für das chemische Potential
i D e i T s i C pv ; e i D L i : (1.12)
a) Mit der Gleichgewichtsbedingung G D 0 folgt aus (1.11),
X
ın i i .T; p/ C RT ln n
i
0 : (1.13)
n
i
b) Für n 2 =n 1 ist ın 3 D 0. Aus ın 1 D ın 2 berechnet man vermittelst (1.13)
. 1 2 / C RT ln n 1
n
RT ln n 2
n D . 1 2 / C RT ln n 1
n 2
0 ;
damit
n 2 1 2 L.2 1 /
D exp D exp
;
n 1 RT
k B T
die Boltzmann-Verteilung. Analog erhält man für n 3 =n 1 ,
n 3 L.3 1
D exp
:
n 1 k B T
c) Nicht, da
n 3 L.3 2
D exp
:
n 2 k B T
191

2. Klausur zur
Theoretischen Physik FII - SS 09
Aufgabe 1 (Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung)
In einem Ofen der Temperatur T befindet sich ein Gas. Durch ein kleines Fenster an der Seite
des Ofens werden mit einem Spektrometer die Spektrallinien der Gasmoleküle beobachtet, wie
es die untenstehende Abbildung zeigt. Die Spektrallinien weisen eine Dopplerverschiebung
auf, d.h. in Richtung des Spektrometers gilt für die Wellenlänge .Ev/
.v x / D 0 1 C v
x
;
c
mit c als der Lichtgeschwindigkeit und 0 als der Wellenlänge der Moleküle in Ruhe. Die
Gasmoleküle unterliegen einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung,
f . Ep/ D
m
2k B T
3
2
exp
Ep 2
:
2mk B T
Die Dichte des Gases im Ofen werde mit n bezeichnet.
T
Ev
Mol
Ev x
x
Spektrometer
Die Intensität J./ ist proportional zur Anzahl der Moleküle, welche Licht mit der Wellenlänge
in Richtung des Spektrometers emittieren. Zeigen Sie, dass für die Intensität
J./ exp
mc 2 . 0 / 2
2 2 0 k BT
gilt.
(4 BE)
Aufgabe 2 (Lineare Kette)
Eine eindimensionale Kette besteht aus n 1 Kettengliedern der Länge a. Anfangs- und
Enpunkt der Kette haben den Abstand x. Die Anzahl der Glieder, welche nach rechts orientiert
sind ist n C , vice versa die nach links n .
192

a) Bestimmen Sie die Entropie S der Kette als Funtktion von x. Verwenden Sie an geeigneter
Stelle die Stirlingsche Formel.
(2 BE)
Zur Aufrechterhaltung der Länge x ist eine äußere Spannung notwendig. Die zum Parameter
x gehörende verallgemeinerte Kraft ist die Spannung .
b) Geben Sie die Spannung in Abhängigkeit von der Temperatur T der Kette an, wenn
sich die Kettengelenke frei drehen können (dE D 0).
(2 BE)
Aufgabe 3 (Absorbierende Oberfläche)
Betrachten Sie eine Oberfläche, welche N 0 Moleküle binden kann. Die Wechselwirkungen
zwischen den absorbierten Molekülen können Sie vernachlässigen. Zeigen Sie, dass das chemische
Potential der Moleküle durch
N
D k B T ln
N 0 N ln a.T / ;
mit a.t/ als der Zustandsfunktion eines absorbierten Moleküls und N , 1 N N 0 , als
der Anzahl der absorbierten Moleküle, gegeben ist. Absorbtionszentren, welche ein Molekül
binden, sind in einem Zustand mit der Energie " i .
(4 BE)
Aufgabe 4 (Äußeres Magnetfeld)
Befindet sich ein Elektron in einem magnetischen
Feld EB so hat es die Energie ˙ B B je
nachdem ob sich der Spin parallel oder antiparallel
zum Feld einstellt.
Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilität
D @M=@B, mit M als dem totalen
magentischen Moment, eines Systems freier
Elektronen im Volumen V bei einer Temperatur
von 0 ı K, wenn das System total entartet
ist und 0 B B gilt.
(4 BE)
ŒHinweis: Einteilchen-Zustandsdichte p D.E/ D
2 V .2m/ 3 h 3 2 E
Zustandsdichte:
+ Spin
"
0
B B
0
B B
Zustandsdichte:
− Spin
193

Aufgabe 5 (Zweitatomiges Molekül)
Betrachten Sie die Rotation eines starren zweitamotigen
Moleküls. Das Trägheitsmoment des
Moleküls sei I. Die Rotation wird beschrieben
durch die Winkel und ' mit den zugehörigen
kanonisch konjugierten Impulsen p und p ' .
Die Rotationsenergie des Moleküls sei gegeben
durch
z
y
Z 1
1
d 3 Ep " rot D 1
2I p2 C 1
2I sin 2 p2 ' :
Zeigen Sie, dass die Zustandsfunktion durch
x
'
z rot .T / D 2Ik BT
2
gegeben ist. Berechnen Sie sodann die Entropie und die Wärmekapazität (pro Molekül).
(4 BE)
194

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
Die Teilchen unterliegen der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung,
f . Ep/ D
m
2k B T
3
2
exp
Für die Intensität gilt damit
Ep 2
:
2mk B T
3 Z m
2 1 Z 1
m.v
2
x C vy 2
J n
dv y dv z exp
C v2 z /
2k B T 1 1
2k B T
3 m
2 mv
2
Z 1
D n
exp x
mv
2 Z 1
y
dv y exp
dv z exp
2k B T 2k B T 1 2k B T 1
s r
m
D n
3 .2kB T / 2 mv
2
exp x
.2k B T / 3 m 2 2k B T
r
m mv
2
D n
exp x
;
2k B T 2k
„ ƒ‚ …
B T
D const:
mit
D 0 1 C v
x
c
folgt
) v x D c 0
mc 2 . 0 / 2
J exp
2 2 0 k :
BT 2
mv
2
z
2k B T
Aufgabe 2
a) Für die Gesamtlänge x der Kette gilt,
x D a.n C n / ; n D n C C n :
Die Anzahl der nach rechts, n C , und der nach links, n orientierten Kettenglieder ist
x D a.n C n C n C / D a.2n C n/ ) n C D x C an ;
2
x D a.n n n / D a.n 2n / ) n D x C an
2
195
:

Die Anzahl der Möglichkeiten der Zustände mit gleicher Länge x ist
W D n!
n C !n ! ;
die statistische Entropie lautet somit
n!
S D k B ln W D k B ln
n C !n !
D k B˚n ln n n nC ln n C C n C n ln n C n
D k B˚n ln n nC ln n C n ln n
D k B˚.nC C n / ln n n C ln n C n ln n
D k B n C ln n C
n ln n
n n
an C x an C x an x an x
D k B ln
ln
2a 2an 2a 2an
1
D nk B 1 C x
ln 1 C x
C 1
1 C x
ln 2
2 an an 2 an
1 x x
1 ln 1 C 1
x
1 ln 2
2 an an 2 an
1
) S D nk B
ln 2 1 C x
ln 1 C x
1 x
1 ln 1
2 an an 2
an
b) Äußere Kraft : d W D dx,
x
an
:
dE D T dS C dx : (2.1)
Kettenglieder sind frei drehbar, d.h. dE D 0. Legendré Transformation von (2.1) ergibt
für die freie Energie
@F
dF D S dT C dx ) D :
@x
T
Mit F D E TS folgt
@S
D T
@x
T
1
D nk B T
1
2an ln C x
an
D nk B T . 1/ 1 C
x
2an ln an
1
x
an
x
C 1
an 2an
) D k
BT 1 C
x
2a ln an
1
1
2an C 1
2an ln 1
x
an
196

Aufgabe 3
Die Anzahl der Möglichkeiten N nicht unterscheidbare Teilchen auf N 0 Plätze zu verteilen ist
W D
N 0 !
N !.N 0 N /! :
Die Zustandsfunktion eines absorbierten Moleküls ist
a D X i
e ˇ" i
;
damit ist die Zustandssumme
Z D
N 0 !
N !.N 0 N /! aN : (2.2)
Für das chemische Potential gilt D @F=@N D
k B T @ ln Z
@N ,
N 0 !
ln Z D ln
N !.N 0 N /! aN
D N 0 ln N 0 N 0 N ln N C N .N 0 N / ln.N 0 N / C .N 0 N / C N ln a
D N 0 ln N 0 N ln N .N 0 N / ln.N 0 N / C N ln a
D @F
@N D k BT ˚ ln N 1 C ln.N N 0 / C 1 C ln a
D k B T
ln
N 0
N
N
C ln a
) D k B T ln
N 0
N
N
C ln a
Aufgabe 4
Die Zustandsdichte für ein freies Teilchen ist
D."/ D 2 V h 3 .2m/ 3 2
p " ;
für die Anzahl N˙ erhält man daraus
N˙ D 2 V h 3 .2m/ 3 2
D 4V
3h 2 .2m/ 3 2
Z "
0
p 3
p
.2m/
3
2 p
"
3
3
) N˙ D 4V
3h 2 p3˙ :
d" 0 p " D 2 V h 3 .2m/ 3 2
Für die Energie des Elektrons im Magnetfeld gilt " D p2
˙ 2m BB. Der Skizze entnimmt man
(
" D p2
2m 2 Œ0; B B für ",
Œ0; C B B für #.
197

Die Teilchenzahl ist demnach
N C D 4V
3h 2 p3 C ; p 2 C
2m D 0 B B ;
N
D 4V
3h 2 p3 ;
p 2
2m D 0 C B B ;
Für das totale magnetische Moment erhält man somit
M D B .N C N / D 4V
3h 3 B p 3 C p 3
D B
4V
3h 3 2m.0
C B B 3 2
D B
4V
3h 3 .2m 0/ 3 2
' B
4V
3h 3 .2m 0/ 3 2
D 3B 2 B
1 C 3
2
BB
0
1 C 3 2
4V
3h 3 .2m 0 / 3 2
0
:
2m.0 B B 3 2
B
0
1 C 3 2
1
Die Ableitung nach B ergibt die Suszeptibilität,
D @M
@B D 32 B
4V
3h 2 2m 0 / 3 2
0
:
Mit N D 2 4V
3h 2 .2m 0 / 3 2 erhält man
3
B B
0
B
0
C : : :
2
D 3 2 2 B
N
D 3 2 B N :
0 2 k B T 0
Aufgabe 5
Für die Zustandsfunktion berechnet man
z rot D 1 h 2 Z
d Eq d Ep e ˇ" rot
D 1 Z
d
h 2
0
D 2
h 2 Z
0
d
Z 2
0
Z 1
1
Z 1 Z 1
d' d Ep d Ep ' exp
1 1
Z 1
1
d Ep d Ep ' exp ˇ
1
198
1
ˇ
2I p2 C 1
2I sin 2 p2 '
2I p2 C 1
2I sin 2 p2 '

D 2
h 2 Z
0
D 2
h 2 Z
0
d
d
Z 1
1
s
2I
ˇ
) z rot D 2Ik BT
2 :
dp exp
s
2I sin 2
ˇ
Die Entropie S wird aus der freien Energie
2IkB T
F D k B T ln z rot D k B T ln
berechnet. Es gilt
S D
@F
@T
V
D k B ln
2IkB T
2
) S D k B C k B ln 2Ik BT
2 :
Z 1
ˇp2
dp ' exp
2I 1
2
D
C k B T
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ˇ 2
0
2
2Ik B T 2Ik B
2
Daraus folgt die Wärmekapazität C D T .@S=@T / V ,
C V D T
k 2
B
2Ik B T 2Ik
B
2
) C V D k B :
p 2
'
ˇ
2I sin 2
d sin D 2I
ˇ 2
199

Literaturverzeichnis
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200

Sachregister
A
Ableitung
partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 53
Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Atomstrahlofen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
Ausdehnungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B
Barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . 10
Besetzungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Binominalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 110
Bosekondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Brillouin-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C
Carnot
Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 26, 67
chemische Reaktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
Clausius-Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . 36
D
Debye
Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Debye Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Debye Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Debye-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 30, 53
Differentialgleichung
partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Dirac-Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 28
Duhem-Gibbs-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
E
Eigenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Eigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 122
Elektronenmasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Energie
Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
freie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 67, 76
Energie-Impuls
nicht-relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Energie-Impuls-Beziehung . . . . . . . . . . . 13, 15
Energielücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 76
freie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 76, 88
Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 20, 34 f., 76, 122
Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . 14 f., 17, 19
Eulersche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . 43
Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Expansionskoeffizient
thermischer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
F
Federwaage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Fermienergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ferromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 40, 109
Freie Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 36, 151
Frenkel-Paar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Funktion
partiell differenzierbare . . . . . . . . . . . . . . 53
201

G
Gas
Bose–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 46, 173
Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 f.
hochrelativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Gasgemisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Gefrierpunktserniedrigung . . . . . . . . . . . . . . . 36
Gesamtheit
großkanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
mikrokanonische. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Geschwindigkeitsverteilung. . . . . . . . . . . . . .13
Gleichgewicht
thermisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 163
H
Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 141
Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 133
harmonischer Oszillator . . . . .12, 40, 132, 163
ein-dimensionaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Hauptsatz
erster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
hermitesche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
I
Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 27, 31
Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Kreisprozess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 62
Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Innere Energie . 7, 15, 20, 25, 29, 32, 34 f., 88
Integrierender Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Intensiät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Isobare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Ausdehnungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . 31
Isochore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Spannungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . .31
Isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 31
Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
J
Kompressionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . 5
Joule-Thomson Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . 27
Joule-Thomson Prozess . . . . . . . . . . . . . . 10, 23
K
Kelvin-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 32
Kettenmolekül. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Koeffizient
stöchimetrischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Kohäsionsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Koheränzlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kompressibilität
adiabatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kompressionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . 76
adiabatischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Koordinaten, kritische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kovolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7 f., 26, 31 f.
L
Lagrange–Multiplikator . . . . . . . . . . . . . . 18, 42
Landé-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
Leitungsband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
M
Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . 163, 172
Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 48, 172
Makrozustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Makrozustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Massendichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
202

Maxwell-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Mikrozustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 42
Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Molekül
zweiatomiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Molenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Molvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 31, 61, 88
Molzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
N
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 110
O
Ordnungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Oszillator
harmonischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 f., 29
Ottomotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 32
P
Paramagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Phasenübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Phasenraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27, 29
Phasenraumverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Phasenumwandlung
2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 30, 53
chemisches . . . . 19 f., 28, 35, 46, 152, 173
großkanonisches . . . . . . . . . . . . 17, 76, 162
thermodynamisches . . . . . . . . . . . 8, 25, 76
Punktdefekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Q
Quantengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Quantenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
R
Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
S
Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . 8, 35, 76
Schmelzwärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Schwankung
relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
thermische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Schwankungsquadrat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Spannungskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 23, 40
Stirilingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Stirlingsche Formel . . . . . 11, 39, 41, 132, 151
Strahlungsformel
Planck–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21, 48
Strahlungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 172
T
Teilchen
Bose– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 27
Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 27
nicht-relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ultra-relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Teilchendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
mittlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Teilchenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 20, 25
absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
ideale Gasthermometer . . . . . . . . . . . . . . 61
kritische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
V
Valenzband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
203

van der Waals Gas . . . . . . . . . . . . 25, 35, 61, 77
Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Verdampfungswärme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Verteilung
Bose– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 151
kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Maxwell–. . . . . . . . . . . . . .11, 39, 142, 151
mikrokanonische. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Vibrationszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Virialentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 67
Virialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27, 31
Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Einheitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
n-dim Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
thermische . . . . . . . . . . . .34, 42, 67, 77, 88
Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . 15, 23, 28, 172
großkanonische . . . . . . . . . . . . . 20, 42, 152
ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
kanonische . . 18, 27, 29, 40, 42 f., 48, 152
mikrokanonische. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Zustandsvariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Zwischengitterplatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
W
Wärme
-kapazität . . . . . . . . . 28, 40, 42, 62, 67, 77
spezifische 7, 14 f., 20, 26, 28 f., 34 f., 43,
48, 62, 89
Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 26
Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . 141
Wechselwirkung
Zwei-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 f., 26, 67
Z
-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 46, 173
Zustandsänderung
adiabatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Zustandsdichte
Fermion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7, 25
Dieterici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 99
kalorische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
204