¨Ubungen zur Theoretischen Physik FII - Theoretische Physik 1 ...
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Übungen <strong>zur</strong> <strong><strong>Theoretische</strong>n</strong> <strong>Physik</strong> <strong>FII</strong> SoSe 2008<br />
Prof. Dr. W. Kilian, B. Dassinger, S. Turczyk<br />
Blatt 5 — Ausgabe: 25.04.2008 — Abgabe: Freitag, 02.05.2008<br />
Aufgabe 12: Zwei-Zustandssystem im mikrokanonischen Ensemble<br />
Betrachten Sie N ungekoppelte Spin- 1 Systeme. Die Energie eines Spins ist gegeben<br />
2<br />
durch E i = E 0 (S 3 ) i , wobei S 3 die Werte ± 1 annehmen kann. Damit ist die Gesamtenergie<br />
2<br />
des Systems<br />
N∑<br />
E = E i . (1)<br />
i=1<br />
a) 4 P Berechnen Sie die Entropie dieses Systems mit Hilfe der mikrokanonischen<br />
Gesamtheit. Überlegen Sie dazu kombinatorisch, wieviele verschiedene Zustände<br />
es für eine feste Energie E gibt.<br />
b) 2 P Berechnen Sie die Temperatur dieses Systems. Welche Temperaturbereiche<br />
können angenommen werden?<br />
c) 1 P Skizzieren Sie die Energie in Abhängigkeit von der Temperatur.<br />
Hinweise:<br />
• Die Stirling Näherung für den Logarithmus der Fakultät ist gegeben durch<br />
ln N! ≈ N ln N − N .<br />
Aufgabe 13: Ideales Gas im kanonischen Ensemble<br />
Nehmen Sie für die kinetische Energie E = p 2 /(2m) eines Teilchens an.<br />
a) 3 P Zeigen Sie, dass die Zustandssumme eines Teilchens im Gas durch<br />
√<br />
Z 1 = V λ , λ = 2π 2<br />
Thermische Wellenlänge (2)<br />
3 mk B T<br />
gegeben ist. Berechnen Sie damit die kanonische Zustandssumme des gesamten<br />
idealen Gases. Welche Annahmen kann man hier <strong>zur</strong> Vereinfachung machen?<br />
b) 1 P Benutzen Sie die Stirling Näherung, um die freie Energie im thermodynamischen<br />
Grenzwert (N → ∞) zu berechnen<br />
F = −Nk B T(ln V + 1) . (3)<br />
Nλ3 c) 1 P Berechnen Sie aus der freien Energie den Druck P des idealen Gases. Zeigen<br />
Sie, dass damit die ideale Gasgleichung durch PV = Nk B T gegeben ist.<br />
d) 2 P Berechnen Sie mit Hilfe der freien Energie die ”<br />
innere“ Energie, die Entropie<br />
und die Wärmekapazität des idealen Gases.<br />
7 P<br />
7 P<br />
bitte wenden
Aufgabe 14: Zweiatomiges Gas im elektrischen Feld<br />
Betrachten Sie ein verdünntes Gas bestehend aus Molekülen mit einem permanenten<br />
elektrischen Dipolmoment µ, siehe Abbildung 1. Die Energie H eines Moleküls im elektrischen<br />
Feld E ∝ e z kann geschrieben werden als<br />
H = T trans + T rot − |µ| |E| cosθ . (4)<br />
Behandeln Sie die Dipole als einen klassischen Stab mit Trägheitsmoment I. Damit ist<br />
10 P<br />
z<br />
E<br />
θ<br />
µ<br />
ϕ<br />
y<br />
x<br />
Abbildung 1: Polares Molekül mit Dipolmoment µ in einem Elektrischen Feld E.<br />
die Rotationsenergie durch<br />
T rot = 1 2 I( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) (5)<br />
gegeben. Nehmen Sie weiter an, dass die kanonische Zustandssumme für das Gas durch<br />
Z = ZN 1<br />
N!<br />
gegeben ist, wobei die Zustandssumme eines einzelnen Moleküls Z 1 = Z Trans · Z rot ist.<br />
a) 6 P Berechnen Sie zunächst die Zustandssumme für den Rotationsanteil. Führen<br />
Sie dazu geeignete kanonische Impulse und Koordinaten ein<br />
(6)<br />
Z rot =<br />
2I sinh βEµ<br />
2 β 2 Eµ . (7)<br />
b) 3 P Zeigen Sie, dass die Polarisation P =<br />
N<br />
〈µ cosθ〉 gegeben ist durch<br />
V<br />
P = N (<br />
µ cothβµE − k )<br />
BT<br />
. (8)<br />
V<br />
E<br />
c) 1 P Betrachten Sie den Grenzfall eines schwachen elektrischen Feldes. Zeigen Sie,<br />
dass in diesem Grenzfall die dielektrische Konstante ǫ mit ǫE = ǫ 0 E + P die<br />
Gleichung<br />
ǫ = ǫ 0 + Nβµ2<br />
(9)<br />
3V<br />
erfüllt. Entwickeln Sie dazu die Polarisation P für kleine βµE.