¨Ubungen zur Theoretischen Physik FII - Theoretische Physik 1 ...

Übungen zur Theoretischen Physik FII SoSe 2008
Prof. Dr. W. Kilian, B. Dassinger, S. Turczyk
Blatt 5 — Ausgabe: 25.04.2008 — Abgabe: Freitag, 02.05.2008
Aufgabe 12: Zwei-Zustandssystem im mikrokanonischen Ensemble
Betrachten Sie N ungekoppelte Spin- 1 Systeme. Die Energie eines Spins ist gegeben
2
durch E i = E 0 (S 3 ) i , wobei S 3 die Werte ± 1 annehmen kann. Damit ist die Gesamtenergie
2
des Systems
N∑
E = E i . (1)
i=1
a) 4 P Berechnen Sie die Entropie dieses Systems mit Hilfe der mikrokanonischen
Gesamtheit. Überlegen Sie dazu kombinatorisch, wieviele verschiedene Zustände
es für eine feste Energie E gibt.
b) 2 P Berechnen Sie die Temperatur dieses Systems. Welche Temperaturbereiche
können angenommen werden?
c) 1 P Skizzieren Sie die Energie in Abhängigkeit von der Temperatur.
Hinweise:
• Die Stirling Näherung für den Logarithmus der Fakultät ist gegeben durch
ln N! ≈ N ln N − N .
Aufgabe 13: Ideales Gas im kanonischen Ensemble
Nehmen Sie für die kinetische Energie E = p 2 /(2m) eines Teilchens an.
a) 3 P Zeigen Sie, dass die Zustandssumme eines Teilchens im Gas durch
√
Z 1 = V λ , λ = 2π 2
Thermische Wellenlänge (2)
3 mk B T
gegeben ist. Berechnen Sie damit die kanonische Zustandssumme des gesamten
idealen Gases. Welche Annahmen kann man hier zur Vereinfachung machen?
b) 1 P Benutzen Sie die Stirling Näherung, um die freie Energie im thermodynamischen
Grenzwert (N → ∞) zu berechnen
F = −Nk B T(ln V + 1) . (3)
Nλ3 c) 1 P Berechnen Sie aus der freien Energie den Druck P des idealen Gases. Zeigen
Sie, dass damit die ideale Gasgleichung durch PV = Nk B T gegeben ist.
d) 2 P Berechnen Sie mit Hilfe der freien Energie die ”
innere“ Energie, die Entropie
und die Wärmekapazität des idealen Gases.
7 P
7 P
bitte wenden

Aufgabe 14: Zweiatomiges Gas im elektrischen Feld
Betrachten Sie ein verdünntes Gas bestehend aus Molekülen mit einem permanenten
elektrischen Dipolmoment µ, siehe Abbildung 1. Die Energie H eines Moleküls im elektrischen
Feld E ∝ e z kann geschrieben werden als
H = T trans + T rot − |µ| |E| cosθ . (4)
Behandeln Sie die Dipole als einen klassischen Stab mit Trägheitsmoment I. Damit ist
10 P
z
E
θ
µ
ϕ
y
x
Abbildung 1: Polares Molekül mit Dipolmoment µ in einem Elektrischen Feld E.
die Rotationsenergie durch
T rot = 1 2 I( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) (5)
gegeben. Nehmen Sie weiter an, dass die kanonische Zustandssumme für das Gas durch
Z = ZN 1
N!
gegeben ist, wobei die Zustandssumme eines einzelnen Moleküls Z 1 = Z Trans · Z rot ist.
a) 6 P Berechnen Sie zunächst die Zustandssumme für den Rotationsanteil. Führen
Sie dazu geeignete kanonische Impulse und Koordinaten ein
(6)
Z rot =
2I sinh βEµ
2 β 2 Eµ . (7)
b) 3 P Zeigen Sie, dass die Polarisation P =
N
〈µ cosθ〉 gegeben ist durch
V
P = N (
µ cothβµE − k )
BT
. (8)
V
E
c) 1 P Betrachten Sie den Grenzfall eines schwachen elektrischen Feldes. Zeigen Sie,
dass in diesem Grenzfall die dielektrische Konstante ǫ mit ǫE = ǫ 0 E + P die
Gleichung
ǫ = ǫ 0 + Nβµ2
(9)
3V
erfüllt. Entwickeln Sie dazu die Polarisation P für kleine βµE.