Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie

Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie
Blatt 5 SS 10
Besprechung: 19.05.2010
Prof. Dr. T. Mannel, S. Faller, S. Gadatsch
1. Minkowski-Diagramm
Zwei Raumstationen R 1 und R 2 ruhen im System S im festen Abstand von 1 Lichtstunde (Lh)
voneinander. Ihre gleichanzeigenden Uhren seien synchronisiert. Zum Zeitpunkt t 0 D 0 h passiert
das Raumschiff O 8 (mit dem Eigensystem S 0 ) die Station R 1 fahrplanmäßig in Richtung auf R 2 mit
der Geschwindigkeit 0,6 c (Ereignis P). Die Borduhr von S 0 zeigte im Vorbeiflug die Zeit t 0 0 D 0 h
an.
0,5 h nach dem Ereignis P registriert R 2 einen mit der Geschwindigkeit 0,8 c vorbeistreichenden
Meteoriten M in Richtung auf S 0 und R 1 .
a) Tragen Sie in einem Minkowski-Diagramm (kartesisches Koordinatensystem für S) die
Weltlinien von R 1 , R 2 , S 0 und M ein. [Für die Zeichnung: DIN A4 Querformat;
Zeitachse nach rechts, 10 cm 1 h; 0; 3 h 5 t 5 2 h; +x-Richtung von
R 1 nach R 2 ; Lichtstrahlen unter 45 ı gegen die Achsen]
(4 Punkte)
b) Zu welcher S-Zeit t K und in welcher Entfernung x K von R 1 befürchtet die Besatzung von R 2
eine gefährliche Kollission (Ereignis K) von M und S 0 ? Ermitteln Sie die Lösung graphisch.
(1 Punkt)
c) Zu welcher S 0 -Zeit tK 0 wäre für S0 das Ereignis K zu erwarten? Berechnen Sie dazu, zu welcher
Zeit t 0 ein Lichtsignal bei S 0 eintrifft, das zur Zeit t D 0; 20 h von R 1 ausgeht. Tragen Sie die
t 0 -Skala auf der Weltlinie von S 0 ein und ermitteln Sie dann tK 0 .
(2 Punkte)
Ergänzen Sie das Diagramm bei den folgenden Aufgaben.
d) R 2 sendet sofort (t 1 D 0; 5 h) einen warnenden Lichtspruch an S 0 , der zur S-Zeit t F dort eintrifft
(Ereignis F).
˛) Berechnen Sie, zu welcher Zeit t F S 0 den Lichtspruch erhält. (2 Punkte)
ˇ) Wie viele Minuten bleiben S 0 in eigener Zeit dann noch bis zu Ereignis K? Berechnen Sie
diese Zeitdauer.
(2 Punkte)
e) Welche Geschwindigkeit hat der Meteorit M für S 0 ? Wie weit ist er bei Eintreffen
des Lichtspruchs für S 0 noch entfernt?
(2 Punkte)
1

f) S 0 passiert den Meteoriten knapp und meldet dieses Ereignis mit zwei Lichtsprüchen gleichzeitigt
sofort an R 1 und R 2 .
Zur Zeit des Geschehens ist noch ein langsames Versorgungsschiff H zwischen R 1 und R 2
unterwegs. Von H aus gesehen erreichen die beiden Lichtsprüche gleichzeitig den jeweiligen
Bestimmungsort. Welche Geschwindigkeit und welche Bewegungsrichtung gegenüber R 1 besitzt
H? Ermitteln Sie die Lösung graphisch und erläutern Sie mit Stichworten.
(2 Punkte)
2. Metrischer Tensor
Die Determinante des metrischen Tensors g werde definiert, vermöge
g D det g D 1 2 ::: N
g 11 g 22 : : : g NN > 0 :
Die Elemente der total antisymmetrischen Größe 1::: N
werden durch die Zahlen 0 und ˙1 festgelegt,
analog zu
8
ˆ<
C1 .˛; ˇ; ; ı/ D gerade Permutationen von (0, 1, 2, 3) ;
"˛ˇı D 1 .˛; ˇ; ; ı/ D ungerade Permutationen von (0, 1, 2, 3) ;
ˆ:
0 sonst :
a) Zeigen Sie, das für den metrischen Tensor @˛g D g g @˛g gilt. (4 Punkte)
p p
b) Beweisen Sie sodann die Relation @ g D g
. Verwenden Sie dazu Ihr Ergebnis aus
Teilaufgabe 2a.
(2 Punkte)
Ein Tensor T mit ko- und kontravarianten Komponenten transformiert sich als direktes Produkt
von ko- und kontravarianten Tensoren: T ˛ˇ::: ::: A˛Bˇ : : : C D : : : . Gegeben sei der Lorentz-
Vektor V und die partielle Ableitung @ D @=@x .
c) Zeigen Sie, dass unter Lorentz-Transformation das Transformationsverhalten des Tensors T
gegen ist durch
T
7 ! T 0 D @x
@x 0 @x 0
@x T :
Bestimmen Sie sodann das Transformationsverhalten von @ V und vergleichen Sie dieses mit
dem des Tensors T .
(6 Punkte)
d) Berechnen Sie das Transformationsverhalten der metrischen Tensoren g und g .
(4 Punkte)
2

e) Bestätigen Sie
7 ! 0 D
˛ N
N
˛
N
Nutzen Sie dabei g g und @ 0˛ N
@ 0 N
N
˛.
@ 2 x 0
@x @x :
(4 Punkte)
f) Zeigen Sie, das D @ C
das richtige Transformationsverhalten aufweist, d.h.
berechnen Sie D V 7 ! D 0 V 0 und D V 7 ! D 0 V 0.
(3 Punkte)
3