Ãbungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie
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Übungen <strong>zur</strong> <strong>Speziellen</strong> <strong>und</strong> <strong>Allgemeinen</strong> Relativitätstheorie<br />
Blatt 5 SS 10<br />
Besprechung: 19.05.2010<br />
Prof. Dr. T. Mannel, S. Faller, S. Gadatsch<br />
1. Minkowski-Diagramm<br />
Zwei Raumstationen R 1 <strong>und</strong> R 2 ruhen im System S im festen Abstand von 1 Lichtst<strong>und</strong>e (Lh)<br />
voneinander. Ihre gleichanzeigenden Uhren seien synchronisiert. Zum Zeitpunkt t 0 D 0 h passiert<br />
das Raumschiff O 8 (mit dem Eigensystem S 0 ) die Station R 1 fahrplanmäßig in Richtung auf R 2 mit<br />
der Geschwindigkeit 0,6 c (Ereignis P). Die Borduhr von S 0 zeigte im Vorbeiflug die Zeit t 0 0 D 0 h<br />
an.<br />
0,5 h nach dem Ereignis P registriert R 2 einen mit der Geschwindigkeit 0,8 c vorbeistreichenden<br />
Meteoriten M in Richtung auf S 0 <strong>und</strong> R 1 .<br />
a) Tragen Sie in einem Minkowski-Diagramm (kartesisches Koordinatensystem für S) die<br />
Weltlinien von R 1 , R 2 , S 0 <strong>und</strong> M ein. [Für die Zeichnung: DIN A4 Querformat;<br />
Zeitachse nach rechts, 10 cm 1 h; 0; 3 h 5 t 5 2 h; +x-Richtung von<br />
R 1 nach R 2 ; Lichtstrahlen unter 45 ı gegen die Achsen]<br />
(4 Punkte)<br />
b) Zu welcher S-Zeit t K <strong>und</strong> in welcher Entfernung x K von R 1 befürchtet die Besatzung von R 2<br />
eine gefährliche Kollission (Ereignis K) von M <strong>und</strong> S 0 ? Ermitteln Sie die Lösung graphisch.<br />
(1 Punkt)<br />
c) Zu welcher S 0 -Zeit tK 0 wäre für S0 das Ereignis K zu erwarten? Berechnen Sie dazu, zu welcher<br />
Zeit t 0 ein Lichtsignal bei S 0 eintrifft, das <strong>zur</strong> Zeit t D 0; 20 h von R 1 ausgeht. Tragen Sie die<br />
t 0 -Skala auf der Weltlinie von S 0 ein <strong>und</strong> ermitteln Sie dann tK 0 .<br />
(2 Punkte)<br />
Ergänzen Sie das Diagramm bei den folgenden Aufgaben.<br />
d) R 2 sendet sofort (t 1 D 0; 5 h) einen warnenden Lichtspruch an S 0 , der <strong>zur</strong> S-Zeit t F dort eintrifft<br />
(Ereignis F).<br />
˛) Berechnen Sie, zu welcher Zeit t F S 0 den Lichtspruch erhält. (2 Punkte)<br />
ˇ) Wie viele Minuten bleiben S 0 in eigener Zeit dann noch bis zu Ereignis K? Berechnen Sie<br />
diese Zeitdauer.<br />
(2 Punkte)<br />
e) Welche Geschwindigkeit hat der Meteorit M für S 0 ? Wie weit ist er bei Eintreffen<br />
des Lichtspruchs für S 0 noch entfernt?<br />
(2 Punkte)<br />
1
f) S 0 passiert den Meteoriten knapp <strong>und</strong> meldet dieses Ereignis mit zwei Lichtsprüchen gleichzeitigt<br />
sofort an R 1 <strong>und</strong> R 2 .<br />
Zur Zeit des Geschehens ist noch ein langsames Versorgungsschiff H zwischen R 1 <strong>und</strong> R 2<br />
unterwegs. Von H aus gesehen erreichen die beiden Lichtsprüche gleichzeitig den jeweiligen<br />
Bestimmungsort. Welche Geschwindigkeit <strong>und</strong> welche Bewegungsrichtung gegenüber R 1 besitzt<br />
H? Ermitteln Sie die Lösung graphisch <strong>und</strong> erläutern Sie mit Stichworten.<br />
(2 Punkte)<br />
2. Metrischer Tensor<br />
Die Determinante des metrischen Tensors g werde definiert, vermöge<br />
g D det g D 1 2 ::: N<br />
g 11 g 22 : : : g NN > 0 :<br />
Die Elemente der total antisymmetrischen Größe 1::: N<br />
werden durch die Zahlen 0 <strong>und</strong> ˙1 festgelegt,<br />
analog zu<br />
8<br />
ˆ<<br />
C1 .˛; ˇ; ; ı/ D gerade Permutationen von (0, 1, 2, 3) ;<br />
"˛ˇı D 1 .˛; ˇ; ; ı/ D ungerade Permutationen von (0, 1, 2, 3) ;<br />
ˆ:<br />
0 sonst :<br />
a) Zeigen Sie, das für den metrischen Tensor @˛g D g g @˛g gilt. (4 Punkte)<br />
p p<br />
b) Beweisen Sie sodann die Relation @ g D g<br />
<br />
. Verwenden Sie dazu Ihr Ergebnis aus<br />
Teilaufgabe 2a.<br />
(2 Punkte)<br />
Ein Tensor T mit ko- <strong>und</strong> kontravarianten Komponenten transformiert sich als direktes Produkt<br />
von ko- <strong>und</strong> kontravarianten Tensoren: T ˛ˇ::: ::: A˛Bˇ : : : C D : : : . Gegeben sei der Lorentz-<br />
Vektor V <strong>und</strong> die partielle Ableitung @ D @=@x .<br />
c) Zeigen Sie, dass unter Lorentz-Transformation das Transformationsverhalten des Tensors T <br />
gegen ist durch<br />
T <br />
7 ! T 0 D @x<br />
@x 0 @x 0<br />
@x T :<br />
Bestimmen Sie sodann das Transformationsverhalten von @ V <strong>und</strong> vergleichen Sie dieses mit<br />
dem des Tensors T .<br />
(6 Punkte)<br />
d) Berechnen Sie das Transformationsverhalten der metrischen Tensoren g <strong>und</strong> g .<br />
(4 Punkte)<br />
2
e) Bestätigen Sie<br />
<br />
7 ! 0 D <br />
˛ N<br />
<br />
N <br />
<br />
˛<br />
N <br />
Nutzen Sie dabei g g <strong>und</strong> @ 0˛ N<br />
@ 0 N <br />
N <br />
˛.<br />
@ 2 x 0<br />
@x @x :<br />
(4 Punkte)<br />
f) Zeigen Sie, das D @ C <br />
das richtige Transformationsverhalten aufweist, d.h.<br />
berechnen Sie D V 7 ! D 0 V 0 <strong>und</strong> D V 7 ! D 0 V 0.<br />
(3 Punkte)<br />
3