Blatt 7 - Theoretische Physik 1 (Elementarteilchenphysik) / Uni Siegen

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) Übungsblatt 7
Prof. Dr. Thorsten Feldmann Ausgabe: Di, 28. Mai 2013; Abgabe: Di, 11. Juni 2013
Dr. Dirk Seidel
Besprechung der Hausaufgaben: Fr. nach der Abgabe
Hausaufgabe zum 11.06.2013
H19: Magnetisches Dipolmoment (4 + 5 + 3 = 12 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass für 2 glatte Funktionen f(⃗x) und g(⃗x) das folgende Integral verschwindet:
∫ (
d 3 x f(⃗x)⃗j(⃗x) · ⃗∇g(⃗x) + g(⃗x)⃗j(⃗x) · ⃗∇f(⃗x)
)
= 0 ,
für stationäre Ströme, ∇·⃗j ⃗ = 0. Verifizieren Sie damit die in der Vorlesung angegebenen
Relationen
∫
∫ (
)
d 3 x ⃗j(⃗x) = 0 , d 3 x x i j k (⃗x) + x k j i (⃗x) = 0 ,
welche bei der Herleitung der Multipolentwicklung des Vektorpotentials,
⃗A(⃗r) =
⃗µ × ⃗r
r 3 + . . . , (1)
in der Vorlesung verwendet wurden.
(b) Verifizieren Sie die in der Vorlesung angegebene Formel für das Magnetfeld, welches sich
aus dem Dipolbeitrag zum Vektorpotential in (1) ergibt,
⃗B(⃗x) ∣ =
⃗µ
3 ⃗x (⃗x · µ) − ⃗µ r2
r 5 + ⃗µ 4π δ (3) (⃗x) (2)
(c) Betrachten Sie eine vom Strom I durchflossene kreisförmige Drahtschleife mit dem Radius
R. Zeigen Sie durch explizite Integration, dass das magnetische Monopolmoment
verschwindet, und berechnen Sie das magnetische Dipolmoment ⃗µ.
H20: Hohlleiter ( 8 Punkte)
Ein gerader, unendlich langer zylindrischer Hohlleiter mit innerem Radius R 1 und äußerem
Radius R 2 wird von einem homogenen Strom I durchflossen. Berechnen Sie mit Hilfe des
Ampereschen Gesetzes das Magnetfeld ⃗ B in allen Raumgebieten.
— bitte wenden —
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H21: Rotierende Kugel (3 + 4 + 3 = 10 Punkte)
Eine unendlich dünne Kugelschale mit Radius R trage die Ladung Q, welche homogen auf
der Oberfläche verteilt sei, und rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = ˙ϕ um ihre
Symmetrieachse.
(a) Wie lautet die Stromdichte ⃗j(⃗x)? – Verifizieren Sie, dass div⃗j = 0.
(b) Berechnen Sie das dazugehörige magnetische Dipolmoment ⃗µ.
(c) Bestimmen Sie das gyromagnetische Verhältnis, d.h. das Verhältnis des magnetischen
Dipolmoments zum mechanischen Drehimpuls unter der Annahme einer homogenen
Massenverteilung auf der Kugelschale.
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