Kurzfassung Vorlesung 19 - Theoretische Physik 1 ...

Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
22. Juni 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 19 vom 21.6.2013
Wellengleichung der Elektrodynamik und Galileo-Trafos
• Betrachte elementare Lösungen der Wellengleichung,
( )
1 ∂ 2
□U =
c 2 ∂t − ∆ U(⃗x, t) = 0 ⇒ U(⃗x, t) ∝ e i⃗ k·⃗x−iωt
2
mit ω = kc (1)
• Vom transformierten System aus betrachtet, ist ⃗x = ⃗x ′ − ⃗vt und t = t ′ , also
Û(⃗x ′ , t ′ ) ∝ e i⃗ k·⃗x ′ −i(ω+⃗v·⃗k) t ′ (2)
Damit gilt
⎛ ( ) ⎞
2 (
)
□ ′ Û(⃗x ′ , t ′ ⃗v · ⃗k
) ∝ ⎝− k + + k 2 ⎠
(⃗v · ⃗k) (⃗v · ⃗k) 2
Û = − 2 k + Û ≠ 0 (3)
c
c c 2
Die Dispersionsrelation im transformierten Bezugsystem lautet entsprechend
ω ′ = ω + ⃗v · ⃗k = ⃗ k · (⃗e k c + ⃗v)
d.h. effektive Ausbreitungsrichtung/-geschwindigkeit aus ⃗v ′ ≡ ⃗e k c + ⃗v.
• Damit sind Maxwell-Gleichungen offensichtlich nicht invariant under Galileo-Trafos.
(außer ⃗v ⊥ ⃗ k, und im Grenzfall ⃗ k → 0 oder v/c → 0)
Mögliche logische Alternativen:
• Maxwell-Gleichungen sind inkorrekt — unplausibel, weil erfolgreiche Beschreibung
aller elektromagnetischen Phänomene . . .
• Es gibt doch ausgezeichnetes Bezugsystem — aber Widerspruch zum Experiment . . .
1

• Galileo-Transformationen beschreiben nur approximative Symmetrie der Natur, im
statischen Fall (k = 0) bzw. für kleine Geschwindigkeiten v/c → 0.
Obwohl nicht intuitiv, ist letzte Option doch die einzige logisch und empirisch haltbare
Folgerung. Daraus resultiert dann Einsteins (in der damaligen Zeit radikaler) Ansatz für
ein neues Relativitätsprinzip:
(a) Alle Bezugsysteme sind gleichberechtigt.
(b) Der physikalische Raum ist isotrop (alle Richtungen gleichberechtigt) und invariant
unter Raumspiegelungen (Parität).
(c) Der leere Raum ist homogen (beliebiger Koordinatenursprung).
Der absolute Zeitbegriff wird aufgegeben, d.h. Uhren können zunächst nur miteinander
verglichen werden, wenn sie sich am gleichen Ort befinden.
Was sind die Konsequenzen?
• Betrachte 2 Koordinatensysteme K und K ′ , die zur Zeit t = t ′ = 0 den Ursprung
am gleichen Ort haben, ⃗x = ⃗x ′ = ⃗0. K ′ bewegen sich relativ zu K mit konstanter
Geschwindigkeit v in x-Richtung, so dass x ′ (x = vt, t) = 0
• Wegen der Homogenität des Raumes muss die gesuchte Transformationen zwischen
den Orts- und Zeitkoordinaten von K und K ′ linear sein → Ansatz:
x ′ = x ′ (x, t) = γ(v) (x ( − vt) mit γ(0) = 1 ,
t ′ = t ′ (x, t) = µ(v) t − δ(v) v x )
mit µ(0) = 1, δ(0) endlich (4)
c 2
Neu: Dimensionlose Koeffizienten, die von Relativgeschwindigkeit v abhängen können.
• Aus dem Verhalten unter Spiegelung erhalten wir Einschränkung der v-Abhängigket:
x → −x ,
v → −v
!
⇒
x ′ → −x ′ und t ′ unverändert
Das heisst
!
−x ′ = −γ(v)(x − vt) = γ(−v)(−x + vt) ⇒ γ(v) = γ(−v) , (5)
(
t ′ = µ(v) t − δ(v) vx ) (
!
= µ(−v) t − δ(−v) (−v)(−x) )
(6)
c 2 c 2
D.h. γ(−v) = γ(v), µ(−v) = µ(v), δ(−v) = δ(v) sind gerade Funktionen von v.
• Weiterhin muss die inverse Transformation dem Fall v → (−v) entsprechen, also
(
(
x ′′ = γ(x ′ + vt ′ ) = γ γ(x − vt) + vµ t − δ vx ))
c 2
2

=
)
(γ 2 − δγµ v2
x + ( vµγ − vγ 2) t = ! x (7)
c 2
woraus folgt, dass (mit γ(0) = 1)
µ(v) = γ(v) und γ 2 (
1 − δ v2
c 2 )
= 1 ⇔ µ(v) = γ(v) =
Bis auf δ(v) sind somit schon alle Koeffizienten bestimmt.
√
1
(8)
1 − δ(v) v2
c 2
• Prüfe wieder Transformation des Phasenfaktors in elmg. Welle nach:
k ′ x ′ − ω ′ t ′ = k ′ γ(x − vt) − ω ′ γ(t − δ vx ((k
c ) = γ ′ + δ v )
)
ω ′
x − (ω ′ + k ′ v) t
((
2 c c
ω ′ =ck
= ′
γ 1 + δ v ) (
k ′ x − 1 + v ) )
ω ′ t ≡ kx − ωt (9)
c
c
Offensichtlich muss δ ≡ 1 sein, damit die Dispersionsrelation ω = ck erhalten bleibt.
Lorentz-Transformationen
Aufgabe des absoluten Zeitbegriffs ermöglicht Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c. Instrinsische
Eigengschaft von Raum und Zeit (Symmetrietransformation zwischen bewegten
Bezugsystemen). Medium für die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen ist die (leere)
Raum-Zeit selbst (kein Äther). Relativistische Phänomene werden relevant, wenn
• v/c ∼ O(1) (z.B. Teilchenbeschleuniger, elmg. Wellen, kosmische Höhenstrahlung)
• große Präzision angestrebt (z.B. magnetisches Moment von Elektronen/Myonen)
Das obige Beispiel einer Koordinatentransformation wird “Lorentz-Boost” genannt,
x ′ =
x − vt √
1 − v2 /c 2 , t′ = t − vx/c2 √
1 − v2 /c 2
• Für c → ∞ ergeben sich wieder Galileo-Trafos.
• Wir hatten am Beispiel der elmg. Wellen gesehen, dass Richtungen ⊥ zu ⃗v nicht
beeinflusst werden, also für obiges Beispiel y ′ = y und z ′ = z.
• Lorentz-Boosts in beliebige Richtungen erhalten wir durch Kombination mit gewöhnlichen
Rotationen im 3D-Raum (Euler-Winkel).
Zentrale Eigenschaft der Lorentz-Transformationen (Rotationen und Boosts)
s 2 ≡ c 2 t 2 − ⃗x 2 = const. (10)
• Für Rotationen trivial, wegen Invarianz von ⃗x 2 und t = t ′ .
3

• Für Boost (1D),
(s ′ ) 2 = c 2 (t ′ ) 2 − (x ′ ) 2 = c 2 γ 2 (t − vx/c 2 ) − γ 2 (x − vt) 2
= (c2 − v 2 ) t 2 − (1 − v 2 /c 2 ) x 2
1 − v 2 /c 2 = c 2 t 2 − x 2 = s 2 √
(11)
• Relativistische Schreibweise:
( ) ct
s 2 = x µ x µ = (ct, −⃗x)
⃗x
⎛
⎞ ⎛
1 0 0 0
= (ct, x, y, z) ⎜ 0 −1 0 0
⎟ ⎜
⎝ 0 0 −1 0 ⎠ ⎝
0 0 0 −1
ct
x
y
z
⎞
⎟
⎠ ≡ xµ g µν x ν (12)
g heisst “Metrischer Tensor” bzw. hier speziell Lorentz- oder Minkowski-Metrik. 1
Matrixschreibweise für Lorentz-Transformationen
• Lorentz-Transformationen parametrisiert durch Matrix (bzw. Tensor) Λ, so dass
x µ → x ′µ = Λ µ νx ν (13)
Dann
s 2 = g αβ x α x β !
= g µν x ′µ x ′ν = g µν (Λ µ αx α ) ( Λ ν βx β)
⇒ g αβ = (Λ T ) α µ g µν Λ ν β bzw. g = Λ T gΛ
Lorentz-Trafos lassen also gerade die Minkowski-Metrik invariant.
( )
1 −v/c
• In unserem Beispiel: Λ = γ
, so dass
−v/c 1
Λ T ( 1 0
0 −1
= γ 2 ( 1 − v 2 /c 2 0
0 v 2 /c 2 − 1
) ( ) ( 1 −v/c 1 −v/c
Λ = γ 2 −v/c
) (
1
)
v/c −1
1 0 √
=
0 −1
)
Rapidität
Man kann Lorentz-Boosts eleganter schreiben, wenn man die sog. “Rapidität” einführt,
tanh η ≡ v c
(analog zu tan θ = y/x für Rotationen) (14)
1 Vgl. “Euklidische Metrik”: ⃗x 2 = x i δ ij x j mit positiv definiter Matrix δ ij = (1) ij , so dass ⃗x 2 > 0.
Einheitsmatrix ist invariant unter Rotationen im R 3 , T T 1T = 1.
4

• Aus cosh 2 η − sinh 2 η = cosh 2 η(1 − tanh 2 η) = 1 folgt
cosh η =
1
√
1 − v2 /c 2 = γ , sinh η = tanh η cosh η = v c γ . (15)
Damit lassen sich L-Boosts in x-Richtung parametrisieren durch 2
Λ =
⎛
⎜
⎝
cosh η − sinh η 0 0
− sinh η cosh η 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ (16)
• Die Hintereinanderausführung von Lorentz-Boosts ergibt demnach
( ) ( ) ( )
cosh η3 − sinh η 3
cosh η2 − sinh η
=
2 cosh η1 − sinh η 1
− sinh η 3 cosh η 3
(
− sinh η 2 cosh η 2 − sinh η
) 1 cosh η 1
cosh(η1 + η
=
2 ) − sinh(η 1 + η 2 )
(17)
− sinh(η 1 + η 2 ) cosh(η 1 + η 2 )
D.h. Rapiditäten (nicht Geschwindigkeiten) werden einfach addiert!
• Kompositionsverhalten der Geschwindigkeiten ergibt sich daraus als
v 3
c
= tanh η 3 = sinh(η 1 + η 2 )
cosh(η 1 + η 2 ) = sinh η 1 cosh η 2 + sinh η 2 cosh η 1
cosh η 1 cosh η 2 + sinh η 1 + sinh η 2
=
sinh η 1 cosh η 2 + sinh η 2 cosh η 1
= (v 1 + v 2 )/c
(18)
(1 + tanh η 1 tanh η 2 ) cosh η 1 cosh η 2 1 + v 1 v 2 /c 2
– Für kleine v 1 oder v 2 ergibt sich wieder der nicht-relativistische Limes √
– Für positive v 1 , v 2 ist v 3 < v 1 + v 2 .
– Speziell für v 1 = c und v 2 endlich ergibt sich
v 3
c = 1 + v 2/c
1 + v 2 /c = 1
d.h. Lichtgeschwindigkeit bleibt konstant. √
Im Teilchenbild heisst das, das sich Photonen immer mit Lichtgeschwindigkeit
bewegen. – Es gibt keine L-Transformation zu System, in dem Photonen ruhen!
2 vgl. Λ =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 cos θ − sin θ 0
0 sin θ cos θ 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ für Rotationen um ⃗e 3
5