Blatt 9 bitte wenden - Theoretische Physik 1 ...
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Aufgabe23: BornscheNäherung<br />
BetrachtenSiedieStreuungeinesTeilchens,welchesentlangderz-AchsemitdemImpuls<br />
⃗p=k⃗e z aufeinStreupotentialV(⃗r)zufliegt.DieeffektiveReichweitedesStreupotentialssei<br />
aufr 0 beschränktundimVergleichzumBeobachtungsabstandrdesgestreutenTeilchensvom<br />
Streumittelpunktklein(d.h.r 0 ≪r).MitdiesenRandbedingungenlässtsichdieasymptotische<br />
LösungderzugehörigenIntegralgleichunginderForm<br />
ψ(⃗r)=e ikz + eikr<br />
r<br />
10P<br />
f(θ,φ) (2)<br />
mitderStreuamplitudef(θ,φ)=− m<br />
2π 2 ∫<br />
d 3 r ′ e −ik(⃗er·⃗r′) V(⃗r ′ )ψ(⃗r ′ )schreiben.DerIntegrand<br />
vonf(θ,φ)gibtnureinenBeitrag,wenn⃗r ′ imEinflussbereichdesPotentials(d.h.|⃗r ′ |≤r 0 )<br />
bleibt.UmdieStreuamplitudeberechnenzukönnen,benötigtmaneinenexplizitenAusdruck<br />
fürdieWellenfunktionψ(⃗r).DieserergibtsichdurchiterativesLösenderIntegralgleichung(2)<br />
indenverschiedenenOrdnungendesPotentialsVzu<br />
ψ(⃗r)=<br />
∞∑<br />
ψ (n) (⃗r)<br />
n=0<br />
mitψ (0) (⃗r)=e ikz undψ (n) (⃗r)=− m<br />
2π 2 ∫<br />
d 3 r ′ e −ik(⃗er·⃗r′) V(⃗r ′ )ψ (n−1) (⃗r ′ ).<br />
(i) BestimmenSiedieStreuamplitudedererstenBornschenNäherung(n=1)undbeschränkenSiedasErgebnisfüreinzentralsymmetrischesPotentialV(⃗r<br />
′ )=V(|⃗r ′ |).<br />
Beispiel:<br />
EinTeilchenderMassemwerdeandemabgeschirmtenYukawa-Potential<br />
mitA>0gestreut.<br />
V(r)= A r e− r<br />
R 0<br />
(ii) BerechnenSiedieStreuamplitudef(θ)inersterBornscherNäherungunddendifferentiellenWirkungsquerschnitt.<br />
Hinweis:FürdendifferentellenWirkungsquerschnittgilt dσ<br />
dΩ =|f(θ,φ)|2 .