Blatt 9 bitte wenden - Theoretische Physik 1 ...

ÜbungenzurTheoretischenPhysik:KomplexeQuantensysteme WS2012/13
Khodjamirian,Gelhausen,Rosenthal
Blatt9 — Ausgabe:Mi,05.12.2012 — Abgabe:Di,11.12.2012
Aufgabe22: StreuungameindimensionalenPotential
IndieserAufgabesolldieLippmann-Schwinger-GleichunganhandeinesraumbegrenztenPotentialsbehandeltwerden.DasPotentialentspreche
{
V0 für 00.
2m
LösenSiedieIntegralgleichungexplizit.
bittewenden

Aufgabe23: BornscheNäherung
BetrachtenSiedieStreuungeinesTeilchens,welchesentlangderz-AchsemitdemImpuls
⃗p=k⃗e z aufeinStreupotentialV(⃗r)zufliegt.DieeffektiveReichweitedesStreupotentialssei
aufr 0 beschränktundimVergleichzumBeobachtungsabstandrdesgestreutenTeilchensvom
Streumittelpunktklein(d.h.r 0 ≪r).MitdiesenRandbedingungenlässtsichdieasymptotische
LösungderzugehörigenIntegralgleichunginderForm
ψ(⃗r)=e ikz + eikr
r
10P
f(θ,φ) (2)
mitderStreuamplitudef(θ,φ)=− m
2π 2 ∫
d 3 r ′ e −ik(⃗er·⃗r′) V(⃗r ′ )ψ(⃗r ′ )schreiben.DerIntegrand
vonf(θ,φ)gibtnureinenBeitrag,wenn⃗r ′ imEinflussbereichdesPotentials(d.h.|⃗r ′ |≤r 0 )
bleibt.UmdieStreuamplitudeberechnenzukönnen,benötigtmaneinenexplizitenAusdruck
fürdieWellenfunktionψ(⃗r).DieserergibtsichdurchiterativesLösenderIntegralgleichung(2)
indenverschiedenenOrdnungendesPotentialsVzu
ψ(⃗r)=
∞∑
ψ (n) (⃗r)
n=0
mitψ (0) (⃗r)=e ikz undψ (n) (⃗r)=− m
2π 2 ∫
d 3 r ′ e −ik(⃗er·⃗r′) V(⃗r ′ )ψ (n−1) (⃗r ′ ).
(i) BestimmenSiedieStreuamplitudedererstenBornschenNäherung(n=1)undbeschränkenSiedasErgebnisfüreinzentralsymmetrischesPotentialV(⃗r
′ )=V(|⃗r ′ |).
Beispiel:
EinTeilchenderMassemwerdeandemabgeschirmtenYukawa-Potential
mitA>0gestreut.
V(r)= A r e− r
R 0
(ii) BerechnenSiedieStreuamplitudef(θ)inersterBornscherNäherungunddendifferentiellenWirkungsquerschnitt.
Hinweis:FürdendifferentellenWirkungsquerschnittgilt dσ
dΩ =|f(θ,φ)|2 .