¨Ubungen zur Theoretischen Physik I - Theoretische Physik 1 ...
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Übungen <strong>zur</strong> <strong><strong>Theoretische</strong>n</strong> <strong>Physik</strong> I WiSe 2007/2008<br />
Prof. Dr. W. Kilian, C. Breidenbach, B. Dassinger<br />
Blatt 12 — Ausgabe: 29.01.2008 — Abgabe: 05.02.2008<br />
Aufgabe 38: Sphärischer Oszillator<br />
Betrachten Sie einen sphärischen Oszillator mit dem Potential V (r) = αr 2 . Berechnen<br />
Sie die Bahnkurve der Radialbewegung r(t).<br />
Hinweise:<br />
• Das effektive Potential der Radialbewegung in Kugelkoordinaten lautet<br />
V eff (r) = V (r) +<br />
wobei l den konstanten Drehimpuls bezeichnet.<br />
l2<br />
2mr 2 ,<br />
• Zur Lösung des Problems kann die in der Vorlesung hergeleitete allgemeine Formel<br />
für eindimensionale Probleme verwendet werden.<br />
• Substituieren Sie <strong>zur</strong> Lösung des Integrals r 2 = x. Das verbleibende Integral kann<br />
in einer Integraltabelle nachgeschaut werden.<br />
4 P<br />
Aufgabe 39: Mathematisches Pendel<br />
Ein mathematisches Pendel mit Masse m und Länge r hat die Lagrangefunktion<br />
4 P<br />
L(φ, ˙φ) = mr2<br />
2 ˙φ 2 + mgr cos φ.<br />
a) Skizzieren Sie (ohne Rechnung) das Potential V (φ) und darüber jeweils eine ”<br />
gebundene“<br />
und ”<br />
ungebundene“ Bahnkurve φ(t).<br />
b) Skizzieren Sie die Struktur des Phasenraums, d.h. die Kurven H(φ, p φ ) = const.<br />
in der Ebene (φ, p φ ) und markieren Sie wiederum jeweils eine ”<br />
gebundene“ und<br />
” ungebundene“ Bahnkurve p φ(φ).<br />
bitte wenden
Aufgabe 40: Flugrouten<br />
Nach Aufgabe 36 bewegt sich ein kräftefreier Massepunkt auf einer Mannigfaltigkeit auf<br />
einer Geodäte, d.h. der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten. Benutzen Sie dies,<br />
um die Geodäten auf der Erdkugel in Kugelkoordinaten zu bestimmen.<br />
a) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion für die kräftefreie Bewegung auf einer Kugeloberfläche<br />
(Radius 1, Masse 1) in Kugelkoordinaten.<br />
b) Welche zwei unabhängigen Erhaltungsgrößen hat dieses Problem, und warum?<br />
(Was ist deren physikalische Bedeutung?)<br />
c) Benutzen Sie die Erhaltungsgrößen, um das Problem auf zwei gekoppelte Differentialgleichungen<br />
1. Ordnung zu reduzieren.<br />
Alternativ lässt sich das Problem mit der Hamilton-Jacobi-Methode angehen. Dadurch<br />
lassen sich gekoppelte Differentialgleichungen vermeiden.<br />
d) Geben Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung für die Wirkungsfunktion S(θ, φ, t) an.<br />
e) Zerlegen Sie mit dem Separationsansatz S = f(θ) + g(φ) + h(t) das Problem in<br />
drei unabhängige gewöhnliche Differentialgleichungen, die Sie durch einfache Integration<br />
lösen können. (Das Integral über θ brauchen Sie noch nicht auszuführen.)<br />
f) Bei der Zerlegung treten zwei freie, konstante Parameter auf. Identifizieren Sie<br />
diese mit den obigen Erhaltungsgrößen.<br />
g) Die Ableitungen von S nach diesen Parametern sind ebenfalls freie Konstanten.<br />
Bei einer dieser Ableitungen fällt die Zeit heraus. Berechnen Sie nach der Ableitung<br />
das Integral über θ und bestimmen Sie daraus eine Beziehung zwischen θ und φ<br />
auf der Geodäten.<br />
Hinweise:<br />
• Die Metrik g ij in Kugelkoordinaten ist diagonal und hat die Komponenten<br />
g rr = 1, g θθ = r 2 , g φφ = r 2 sin 2 θ.<br />
• Die Integrale über θ lassen sich mit der Substitution cos θ = α sin χ mit einer<br />
geeigneten Konstante α in eine einfachere Form bringen. Im übrigen: Lösung über<br />
Integraltabelle, falls nötig.<br />
8 P