¨Ubungen zur Theoretischen Physik I - Theoretische Physik 1 ...

Übungen zur Theoretischen Physik I WiSe 2007/2008
Prof. Dr. W. Kilian, C. Breidenbach, B. Dassinger
Blatt 12 — Ausgabe: 29.01.2008 — Abgabe: 05.02.2008
Aufgabe 38: Sphärischer Oszillator
Betrachten Sie einen sphärischen Oszillator mit dem Potential V (r) = αr 2 . Berechnen
Sie die Bahnkurve der Radialbewegung r(t).
Hinweise:
• Das effektive Potential der Radialbewegung in Kugelkoordinaten lautet
V eff (r) = V (r) +
wobei l den konstanten Drehimpuls bezeichnet.
l2
2mr 2 ,
• Zur Lösung des Problems kann die in der Vorlesung hergeleitete allgemeine Formel
für eindimensionale Probleme verwendet werden.
• Substituieren Sie zur Lösung des Integrals r 2 = x. Das verbleibende Integral kann
in einer Integraltabelle nachgeschaut werden.
4 P
Aufgabe 39: Mathematisches Pendel
Ein mathematisches Pendel mit Masse m und Länge r hat die Lagrangefunktion
4 P
L(φ, ˙φ) = mr2
2 ˙φ 2 + mgr cos φ.
a) Skizzieren Sie (ohne Rechnung) das Potential V (φ) und darüber jeweils eine ”
gebundene“
und ”
ungebundene“ Bahnkurve φ(t).
b) Skizzieren Sie die Struktur des Phasenraums, d.h. die Kurven H(φ, p φ ) = const.
in der Ebene (φ, p φ ) und markieren Sie wiederum jeweils eine ”
gebundene“ und
” ungebundene“ Bahnkurve p φ(φ).
bitte wenden

Aufgabe 40: Flugrouten
Nach Aufgabe 36 bewegt sich ein kräftefreier Massepunkt auf einer Mannigfaltigkeit auf
einer Geodäte, d.h. der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten. Benutzen Sie dies,
um die Geodäten auf der Erdkugel in Kugelkoordinaten zu bestimmen.
a) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion für die kräftefreie Bewegung auf einer Kugeloberfläche
(Radius 1, Masse 1) in Kugelkoordinaten.
b) Welche zwei unabhängigen Erhaltungsgrößen hat dieses Problem, und warum?
(Was ist deren physikalische Bedeutung?)
c) Benutzen Sie die Erhaltungsgrößen, um das Problem auf zwei gekoppelte Differentialgleichungen
1. Ordnung zu reduzieren.
Alternativ lässt sich das Problem mit der Hamilton-Jacobi-Methode angehen. Dadurch
lassen sich gekoppelte Differentialgleichungen vermeiden.
d) Geben Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung für die Wirkungsfunktion S(θ, φ, t) an.
e) Zerlegen Sie mit dem Separationsansatz S = f(θ) + g(φ) + h(t) das Problem in
drei unabhängige gewöhnliche Differentialgleichungen, die Sie durch einfache Integration
lösen können. (Das Integral über θ brauchen Sie noch nicht auszuführen.)
f) Bei der Zerlegung treten zwei freie, konstante Parameter auf. Identifizieren Sie
diese mit den obigen Erhaltungsgrößen.
g) Die Ableitungen von S nach diesen Parametern sind ebenfalls freie Konstanten.
Bei einer dieser Ableitungen fällt die Zeit heraus. Berechnen Sie nach der Ableitung
das Integral über θ und bestimmen Sie daraus eine Beziehung zwischen θ und φ
auf der Geodäten.
Hinweise:
• Die Metrik g ij in Kugelkoordinaten ist diagonal und hat die Komponenten
g rr = 1, g θθ = r 2 , g φφ = r 2 sin 2 θ.
• Die Integrale über θ lassen sich mit der Substitution cos θ = α sin χ mit einer
geeigneten Konstante α in eine einfachere Form bringen. Im übrigen: Lösung über
Integraltabelle, falls nötig.
8 P